一、单项选择题：
1．已知集合 ，则 = ( )
A． 或 B． 或 3 C．1 或 D．1 或 3
【答案】B
【解析】
因为集合 ， ，且 ，所以 或 ，
若 ，则 ，满足 ；
若 ，则 或 ，
当 时， ，满足 ；
当 时，集合 A 中元素不满足互异性，舍去，
故选 B.
2．如图，若向量 对应的复数为 z，则 表示的复数为（ ）
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
【答案】D
【解析】
{ } { }1,3, , 1, ,A m B m B A= = ⊆ m
0 3 0 3
{ }1,3,A m= { }1,B m= B A⊆ 3m = m m=
3m = { } { }1,3, 3 , 1,3A B= = B A⊆
m m= 0m = 1m =
0m = { } { }1,3,0 , 1,0A B= = B A⊆
1m =
OZ 4z z
+由题图可得 Z（1，－1），即 z＝1－i，所以 z＋ ＝1－i＋ ＝1－i＋ ＝1－i
＋ ＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
故选：D.
3．已知 ，则 的值等于（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【解析】 ,
，
，
，故选 B.
4．锐角 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由锐角 满足 ，所以 ，
4
z
4
1 i−
4(1 )
(1 )(1 )
i
i i
+
− +
4 4
2
i+
2 , 0( ) ( 1), 0
x xf x f x x
>= + ≤
4 4( ) ( )3 3f f+ −
2− 4−
2 , 0( ) ( 1), 0
x xf x f x x
>= + ≤
4 4 8( ) 23 3 3f∴ = × =
4 4 1 1 2( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )3 3 3 3 3f f f f f∴ − = − + = − = − + = 2 42 3 3
= × =
4 4 8 4( ) ( ) 43 3 3 3f f∴ + − = + =
α 2sin 3 3
π α − = sin 6
π α + =
2
3
2
3
−
5
3
− 5
3
α 2sin 3 3
π α − =
22 5cos 13 3 3
π α − = − = 所以 ，
故选：D
5．已知 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递增。若实数 满足
，则 的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
,选 D.
6．已知向量 满足 ，且 与 夹角为 ，则 （ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】B
【解析】 .
故选：B
7．若函数 与函数 的图象存在公切线，则正实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
sin si 5
2 os3 c 3n 36
π π πα απ α − − − =
+ = =
( )f x ( ),0−∞ a
( ) ( )12 2af f− > − a
1, 2
−∞
1 3, ,2 2
−∞ +∞
3 ,2
+∞
1 3,2 2
( ) ( )12 2af f− > − 1
1 1 1 2( 2 ) ( 2) 2 2 2 2a a af f− − −⇒ − > − ⇒ − > − ⇒ <
1 1 1 1 31 12 2 2 2 2a a a⇒ − < ⇒ − < − < ⇒ < <
,a b | | 2,| | 3a b= = a b
3
π
( 2 ) (2 )a b a b+ ⋅ − =
2 2 2 2( 2 ) (2 ) 2 3 2 2 2 3 2 3 cos 2 3 13a b a b a a b b
π+ ⋅ − = + ⋅ − = × + × × × − × = −
2( ) 1f x x= − ( ) ln 1g x a x= − a
(0, )e (0, ]e (0,2 )e (0,2 ]e【答案】D
【解析】 的导函数 ， 的导函数为 .设切线与
相切的切点为 ，与 相切的切点为 ，所以切线方程为
、 ，即 、
.所以 ，所以 ，由于 ，所
以 ，即 有解即可.令 ，
，所以 在 上递增，在 上递减，最大值为 ，
而 时 ，当 时， ，所以 ，所以 .所以正
实数 的取值范围是 .
故选：D
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，B 为虚轴的一个端
点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】已知 ，因为 ，则在 中 ，
所以 即 ，又 ，联立得 ，所以 .
故选：D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多
2 1y x= − ' 2y x= ln 1y a x= − ' ay x
= 2 1y x= −
( )2, 1n n − ln 1y a x= − ( ), ln 1m a m −
( ) ( )2 1 2y n n x n− − = − ( ) ( )ln 1 ay a m x mm
− − = − 22 1y nx n= − −
ln 1ay x a a mm
= − + −
2
2
1 1 ln
an m
n a a m
=
+ = + −
2
2 ln4
a a a mm
= − 0a >
2 1 ln4
a mm
= − ( )2 1 ln4
a m m= − ( ) ( )( )2 1 ln 0g x x x x= − >
( ) ( )' 1 2lng x x x= − ( )g x ( )0, e ( ),e +∞ ( )
2
eg e =
0 x e< < ( ) 0g x > x e> ( ) 0g x < 0 4 2
a e< ≤ 0 2a e< ≤
a (0,2 ]e
2 2
2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2,F F
1 2 120F BF °∠ =
3 3
2
6
2
2,OB b OF c= = 1 2 120F BF °∠ = Rt ABC 2 60OBF∠ =
2 3OF OB= 3=c b 2 2 2c a b= + 2 22
3a c= 6
2
ce a= =项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．下列说法错误的是（ ）
A．长度等于半径的弦所对的圆心角为 1 弧度
B．若 ，则
C．若角 的终边过点 ，则
D．当 时，
【答案】ABC
【解析】对于 A，长度等于半径的弦所对的圆心角为 弧度，命题错误；
对于 B，若 ，则 ，命题错误；
对于 C，若角 的终边过点 ，则 ，命题错误；
对于 D，当 时， ，命题正确.
故选：ABC
10．如图，在长方体 中， ， ， ， 分别为棱
， 的中点，则下列说法正确的是（ ）
tan 0α ≥ ( )2k k k Z
ππ α π≤ ≤ + ∈
α ( )( )3 ,4 0P k k k ≠ 4sin 5
α =
2 2 ( )4k k k Z
ππ α π< < + ∈ sin cosα α<
3
π
tan 0α ≥ ( )2k k k Z
ππ α π≤ < + ∈
α ( )( )3 ,4 0P k k k ≠ 4sin 5
α = ±
2 2 ( )4k k k Z
ππ α π< < + ∈ sin cosα α<
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 4AA AB= = 2BC = M N
1 1C D 1CCA． 四点共面 B．平面 平面
C．直线 与 所成角的为 D． 平面
【答案】BC
【解析】
对于 A，由图显然 、 是异面直线，故 四点不共面，故 A 错误；
对于 B，由题意 平面 ，故平面 平面 ，故 B 正确；
对于 C，取 的中点 ，连接 、 ，可知三角形 为等边三角形，故 C 正确；
对于 D， 平面 ，显然 与平面 不平行，故 D 错误；
故选：BC
11．以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）.
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B．每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如 ，在不超过 14 的素数
中随机选取两个不同的数，其和等于 14 的概率为
C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字 l，2，3，4，5，6）先后抛
掷 2 次，观察向上的点数，则点数之和是 6 的概率是
A M N B、 、 、 ADM ⊥ 1 1CDD C
BN 1B M 60 / /BN ADM
AM BN A M N B、 、 、
AD ⊥ 1 1CDD C ADM ⊥ 1 1CDD C
CD O BO ON BON
/ /BN 1 1AA D D BN ADM
1
3
8 3 5= +
1
15
5
36D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
【答案】BCD
【解析】
对于 A，画树形图如下：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有 9 种，这些结果出现的可能性相等，P（甲
获胜） ，P（乙获胜） ，故玩一局甲不输的概率是 ，故 A 错误；
对于 B，不超过 14 的素数有 2，3，5，7，11，13 共 6 个，从这 6 个素数中任取 2 个，
有 2 与 3，2 与 5，2 与 7，2 与 11，2 与 13，3 与 5，3 与 7，3 与 11，3 与 13，5 与 7，5
与 11，5 与 13，7 与 11，7 与 13，11 与 13 共 15 种结果，其中和等于 14 的只有一组 3
与 11，所以在不超过 14 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 14 的概率为 ，
故 B 正确；
对于 C，基本事件总共有 种情况，其中点数之和是 6 的有 ， ， ，
， ，共 5 种情况，则所求概率是 ，故 C 正确；
对于 D，记三件正品为 ， ， ，一件次品为 B，任取两件产品的所有可能为 ，
， ， ， ， ，共 6 种，其中两件都是正品的有 ， ， ，
共 3 种，则所求概率为 ，故 D 正确.故选 BCD.
12．已知函数 y＝f（x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若 f
（0）＝M，f（2）＝N（M＞0，N＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（ ）
1
2
1
3
= 1
3
= 2
3
1
15
6 6 36× = 15（，） 2 4（ ，） 3 3（ ，）
4 2（ ，） 51（ ，） 5
36
1A 2A 3A 1 2A A
1 3A A 1A B 2 3A A 2A B 3A B 1 2A A 1 3A A 2 3A A
3 1
6 2P = =A．必存在 x∈[0，2]，使得 f（x） B．必存在 x∈[0，2]，使得 f（x）
C．必存在 x∈[0，2]，使得 f（x） D．必存在 x∈[0，2]，使得 f（x）
【答案】ABD
【解析】因函数 y＝f（x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，
，所以 ；
对 A，若 成立，则 ，即 ，显然成立；
对 B，若 成立，则 ，即 ，显然成立；
对 C，若 成立，则 ，先证 ，假设成立，
则 ，即 ，
如 时，不成立，则 C 不成立；
对 D，若 成立，则化简后为： ，即
，左侧化简后 成立，右侧化简后 成立，
故 D 成立
故选：ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
.13．已知数列 满足： （ ），若 ，则 .
【答案】
2
M N+= MN=
2
M N+=
2
1 1
M N
=
+
( ) ( )0 , 2f M f N= = ( ) [ ],f x M N∈
( )
2f x M N+=
2
M NM N
+< < 2 2
2 2 2
M M N N+< <
( )f x MN= M MN N< < 2 2M MN N< <
( )
2
M Nf x
+=
2M M N N< + <
2M M N< +
2 2 1
2
1 02 2M MM N M N< −+ ⇒ − <
2 21 1 8 1 1 804 16 4 16
N NM M
+ + − − < ⇒ −
= −
≠ × − + −
7 1( , ) ( ,1) (1, )2 2
−∞ − ∪ ∪ +∞
7
4
7( , 3)4
− −
x数， 表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人 次关于活动推出天数 的回归方程
适合用 来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第 天使用扫码支付的人次；
（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式 现金 会员卡 扫码
比例
商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受 折优惠，扫码支
付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受 折优惠的概率为
，享受 折优惠的概率为 ，享受 折优惠的概率为 ．现有一名顾客购买了 元的商
品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平
均费用是多少？
参考数据：设 ， ， ，
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率
和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ．
y
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
y x
xy c d= ⋅ 8
20% 50% 30%
8
7
1
6 8 1
3 9 1
2
a
lgi iv y=
7
1
1 1.527 i
i
v v
=
= ≈∑ 7
1
49.56i i
i
x v
=
⋅ ≈∑ 0.5210 3.31≈
( )1 1,u v ( )2 2,u v ( ),n nu v ˆˆˆv uα β= + ⋅
1
22
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v nuv
u nu
β =
=
−
=
−
∑
∑
ˆˆ v uα β= −【答案】（1）回归方程为： ；活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 331
（2）一名顾客购物的平均费用为 元
【解析】（1）由 ，两边同时取常用对数得： ；
设
， ，
，
把样本中心点 代入 ,得: ，
，
关于 的回归方程为： ；
把 代入上式， ；
活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 331；
（2）记一名顾客购物支付的费用为 ，
则 的取值可能为： ， ， ， ；
； ；
；
0.25ˆ 3.31 (10 )xy = ×
0.85a
xy c d= ⋅ lg lg( ) lg lgxy c d c d x= ⋅ = + ⋅
lg y v= lg lgv c d x∴ = + ⋅
4, 1.52x v= =
7
2
1
1 4 9 16 25 36 49 140i
i
x
=
= + + + + + + =∑
7
1
7 2
2 2
1
7 49.56 7 4 1.52 7lg 0.25140 7 4 28
ˆ
7 4
i i
i
i
i
x v x v
d
x
=
=
− ⋅ − × ×∴ = = = =− ×− ×
∑
∑
(41.52)， lg lgv c d x= + ⋅ g 2ˆl 0.5c =
0.52 0 5ˆ .2v x∴ = +
lg 0.52 0ˆ .25y x∴ = +
y∴ x 0.52 0.25 0.52 0.25 0.2510 1ˆ 0 10 3.31 (10 )x x xy += = × = ×
8x = 23.31 33ˆ 10 1y = × =
ξ
ξ a 0.9a 0.8a 0.7a
( ) 0.2P aξ = = 1( 0.9 ) 0.3 0.152P aξ = = × =
1( 0.8 ) 0.5 0.3 0.63P aξ = = + × = 1( 0.7 ) 0.3 0.056P aξ = = × =分布列为：
所以，一名顾客购物的平均费用为：
（元）
21．（本小题满分 12 分）在 中， ，且 边上的中线长为 ，
(1)求角 的大小；
(2)求 的面积.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】(1)由正弦定理边角互换可得 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，整理得 .
ξ a 0.9a 0.8a 0.7a
P 0.2 0.15 0.6 0.05
0.2 0.9 0.15 0.8 0.6 0.7 0.05 0.85a a a a a+ × + × + × =
ABC△ sin 6 2
b ca B
π + + = BC 13
2
3AB =
A
ABC△
3A
π= 3 3
4
sin sinsin sin 6 2
B CA B
π + + =
3 1 sin sinsin sin cos2 2 2
B CA B B
++ =
( )sin sin sin cos cos sinC A B A B A B= + = +
3 1 sin sin cos cos sinsin sin cos2 2 2
B A B A BA B B
æ ö + +ç ÷+ =ç ÷è ø
3sin sin sin cos sin sin cos cos sinA B A B B A B A B+ = + +
3sin sin sin cos sinA B B A B= + ( )sin 3sin cos 1 0B A A− − =因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 。
(2)设 的中点为 ，根据向量的平行四边形法则可知
所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，解得 （负值舍去）.
所以 。
22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ．经过点
且倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 、 两点（其中点 在 轴上方），
的周长为 8．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，把平面 沿 轴折起来，使 轴正半轴和 轴确定的半平面，与 负半轴
和 轴所确定的半平面互相垂直．
①若 ，求异面直线 和 所成角的余弦；
②若折叠后 的周长为 ，求 的正切值．
【答案】（1） （2）① ②
( )0,B π∈ sin 0B ≠
3sin cos 1 0A A- - =
3sin cos 2sin 16A A A
π − = − =
1sin 6 2A
π − =
( )0,A π∈
6 6A
π π− =
3A
π=
BC D 2AB AC AD+ =
( )2 2
4AB AC AD+ = 2 2 2
2 cos 4AB AC AB AC A AD+ + =
3AB c= =
3A
π= 2 23 3 13b b+ + = 1b =
1 3 3sin2 4ABCS bc A= =
Γ ( )1 1,0F − ( )2 1,0F 1F
( )0θ θ π< < l Γ A B A x
2ABF∆
Γ
xOy x y x y
x
3
πθ = 1AF 2BF
2ABF∆ 15
2
θ
2 2
14 3
x y+ =
28
13
14
353±【解析】（1）设椭圆的标准方程为： ， ，
由椭圆的性质可知： ， ，
则 的周长 ，即 ， ，
∴椭圆的标准方程： ；
（2）①设直线 ： ，
代入椭圆方程 ，解得： ， ，
则 ， ，
折叠后主要是 四点位置．擦去椭圆如下图，建立空间直角坐标系，
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1c =
1 2 2AF AF a+ = 1 2 2BF BF a+ =
2ABF∆ 4 8l a= = 2a = 2 2 2 3b a c= − =
2 2
14 3
x y+ =
l ( )0 3 1y x− = +
( )
2 2
3 1
14 3
y x
x y
= +
+ =
0
3
x
y
= =
8
5
3 3
5
x
y
= −
= −
( )0, 3A 8 3 3,5 5B
− −
1 2, , ,A B F F在空间直角坐标系中， ， ，
， ， ， ，
异面直线 和 所成角为 ，则 。
②折叠后 对应点记为 ，如图
设折叠前 ， ，则 ， ，
由 ， ，则 ，
设折叠前直线方程为 ，
则 ，整理得： ，
( )1 0, 1,0F − ( )0 0 3A , ,
3 3 8, ,05 5B
−
( )2 0,1,0F ( )1 0,1, 3F A =
2
3 3 13, ,05 5BF
= −
1AF 2BF θ 1 2
1 2
13cos 28
F A BF
F A BF
θ
⋅
= =
⋅
,A B ,A B′ ′
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )1 1' 0, ,A x y ( )2 2' , ,0B y x−
2
15' ' ' ' 2A F B F A B+ + = 2 8AF BF AB+ + = 1' ' 2AB A B− =
1my x= +
2 2
1
14 3
my x
x y
= + + =
( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − =则 ， ，
则 ， ，
∴ ，（1）
∴ ，
∴ ，（2）
∴由（1），（2）可知： ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，则 ，
解得： ， ．
1 2 2
6
3 4
my y m
+ = − + 1 2 2
9
3 4y y m
⋅ = − +
( ) ( )2 22
1 2 1 2' 'A x y yB x= − + + − ( ) ( )2 2
1 2 1 2A yB x x y− + −=
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22
1 2 1 2 1 2 1 2' ' x x y yAB A B x x y y= − + − − − + −− + 1
2
=
( ) ( ) ( )
1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 1
2
y y
x x y y x x y y
− =
− + − + − + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22
1 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x y y− + − + − + + − 1 24y y= −
( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2
1 24x x y y y y− + − = −
( ) ( ) ( )( )2 2 22
1 2 1 2 1 21x x y y m y y− + − = + −
2
1 2
1 24 y y = −
( ) 2 2
2
2 2 2
6 36 1 91 23 4 3 4 4 3 4
mm m m m
− + − + = − × + + +
2 22
2 2
1 1 18144 3 4 4 3 4
m
m m
+ = + + +
2
2 2
12 12 1 18
3 4 4 3 4
m
m m
+ = ++ +
2 2312 12 1 184m m+ = + +
2 28
45m = 1 3 35tan 14m
θ = = ±
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