一、单项选择题：
1．设集合 A= 若 A B,则实数 a,b 必满足
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，若 A B，则有 或
2．已知向量 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B． C．15 D．
【答案】B
【解析】∵ （a，﹣1）， （2b﹣1，3）（a＞0，b＞0）， ∥ ，
∴3a+2b﹣1＝0，即 3a+2b＝1，
∴ （ ）（3a+2b）
＝8
≥8
＝8 ，
{ } { }| 1, , 2, .x x a x R B x x b x R− < ∈ = − ∈ ⊆
3a b+ ≤ 3a b+ ≥
3a b− ≤ 3a b− ≥
{ } { }| 1, | 1 1A x x a x R x a x a= − < ∈ = − < < +
{ } { }2 2 2B x x b x x b x b= − = + < −或 ⊆ 2 1b a+ ≤ − 2 1b a− ≥ +
3a b∴ − ≥
( , 1)m a= − (2 1,3)n b= − ( 0, 0)a b> > m n
2 1
a b
+
8 4 3+ 10 2 3+
m = n = m n
2 1
a b
+ = 2 1
a b
+
4 3b a
a b
+ +
4 32 b a
a b
+ ⋅
4 3+当且仅当 ，即 a ，b ，时取等号，
∴ 的最小值为：8 ．
故选：B．
3．在数列 中， ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， 可得，
， ， ，故数列是以 周期的数列，
所以 .
故选：A
4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三
辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
4 3b a
a b
= 3 3
6
−= 3 1
4
−=
2 1
a b
+ 4 3+
{ }na 1 1a = 1 2n na a +⋅ = − ( 1 2 3 )n = ， ， ， 8a =
2− 1
2
− 1 2
1 1a = 1 2n na a +⋅ = −
2 2a = − 3 1a = 4 2a = − 2
8 2a = −C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】对于 A，由图象可知当速度大于 40km/h 时，乙车的燃油效率大于 5km/L，
∴当速度大于 40km/h 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km，故 A 错误；
对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1
升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误；
对于 C，由图象可知当速度为 80km/h 时，甲车的燃油效率为 10km/L，
即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km，燃油为 8 升，故 C
错误；
对于 D，由图象可知当速度小于 80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故 D 正确
故选 D．
5．方程 的实数根个数为（ ）
A．3 个 B．5 个 C．7 个 D．9 个
【答案】A
【解析】解：方程 的实数根个数等价于函数 与函数
的图像的交点个数，
在同一直角坐标系中，函数 与函数 的图像如图所示，
由图可知，函数 与函数 的图像的交点个数为 3 个，
sin( ) lg3x x
π+ =
sin( ) lg3x x
π+ = sin( )3y x
π= + lgy x=
sin( )3y x
π= + lgy x=
sin( )3y x
π= + lgy x=则方程 的实数根个数为 3 个，
故选：A.
6．已知奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意 ，故函数 是周期为 4 的函数，
由 ，则 ，即 ，
又函数 是定义在 R 上的奇函数，
则 ，
故选：A.
7．在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 的等边三角形，
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
sin( ) lg3x x
π+ =
( )f x ( ) ( 4)f x f x= + (0,1)x∈ ( ) 2xf x = ( )2log 12f =
4
3
− 23
32
3
4
3
8
−
( ) ( 4)f x f x= + ( )f x
23 log 12 4< < 21 log 12 4 0− < − < 20 4 log 12 1< − <
( )f x
( ) ( ) ( ) 2
2
4
4 log 12
2 2 2 log 12
2 4log 12 log 12 4 4 log 12 2 2 3f f f −= − = − − = − = − = −
P ABC− PAB ⊥ ABC ABC∆ 2 3
7PA PB= =A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示，取 中点 ，连接 ，三角形的中心 在 上，
过点 作平面 垂线.在垂线上取一点 ，使得 ，
因为三棱锥底面是一个边长为 的等边三角形， 为三角形的中心，
点即为球心，
因为 为 中点，所以 ，
因为平面 平面
平面 ，则 ，
，
，
设球的半径为 ,则有 ，
作 于 ，则 为矩形，
16π 65
4
π 65
16
π 49
4
π
AB D ,PD CD E CD
E ABC O PO OC=
2 3 E
,OA OB OC∴ = = O∴
,PA PB D= AB PD AB⊥
PAB ⊥ ,ABC
PD∴ ⊥ ABC / /OE PD
2 2 212 3 3, 2, 13CD CA AD CE CD DE CD CE= − = − = = = = − =
2 2 2PD PB BD= - =
r 2, 4PO OC r OE r= = = −
OG PD⊥ G OEDG，即 ,解得 ，
故表面积为 ，故选 B .
8．已知双曲线 的左焦点为 ，以 为直径的圆与双曲线
的渐近线交于不同原点 的 两点，若四边形 的面积为 ，则双曲
线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意， ，双曲线 的焦点 到 的一条渐近线 的距离为
，则 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以双曲
线 的渐近线方程为 .
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．若点 D，E，F 分别为 的边 BC，CA，AB 的中点，且 ， ，则下列结
论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】如图，
2 2 2( )PD DG OG PO− + = ( )2
2 2 22 4 1r r− − + = 2 65
16r =
2 654 4S r
ππ= =
2 2
2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b
− = > > F OF C
O A B， AOBF ( )2 21
2 a b+
C
2
2y x= ± 2y x= ± y x= ± 2y x= ±
OA AF⊥ C F C by xa
= ±
2 2
bc b
a b
=
+ | |AF b= | |OA a= ( )2 21
2ab a b= + 1b
a
=
C y x= ±
ABC∆ BC a= CA b=
1
2AD a b= − − 1
2
BE a b= +
1 1
2 2
CF a b= − + 1
2EF a= 在 中， ，故 A 正确；
，故 B 正确；
， ，故 C 正确；
，故 D 不正确．
故选：ABC
10．已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 为
奇函数，则（ ）
A．函数 是周期函数 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 为 上的偶函数 D．函数 为 上的单调函数
【答案】ABC
【解析】因为 ，所以 ，即 ，故 A 正确；
因为函数 为奇函数，所以函数 图像关于原点成中心对称，所以 B
正确；
又函数 为奇函数，所以 ，根据 ，令
ABC∆ 1 1
2 2AD AC CD CA CB b a= + = − + = − −
1
2BE BC CE a b= + = +
AB AC CB b a= + = − − 1 1 1 1( )2 2 2 2CF CA AB b b a a b= + = + × − − = − +
1 1
2 2EF CB a= = −
R ( )y f x= ( ) ( )2f x f x+ = − ( )1y f x= −
( )y f x= ( )y f x= ( )1,0−
( )y f x= R ( )y f x= R
( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x+ = − + = 4T =
( )1y f x= − ( )1y f x= −
( )1y f x= − ( ) ( )1 1f x f x− − = − − ( ) ( )2f x f x+ = − 1x −代 有 ，所以 ，令 代 有 ，即
函数 为 上的偶函数，C 正确；
因为函数 为奇函数，所以 ，又函数 为 上的偶函数， ，
所以函数不单调，D 不正确.
故选：ABC.
11．已知函数 有两个零点 ， ，且 ，则下列说法正确的是( )
A． B．
C． D． 有极小值点 ，且
【答案】ABD
【解析】由题意，函数 ，则 ，
当 时， 在 上恒成立，所以函数 单调递增，不符合题意；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为函数 有两个零点 且 ，
则 ，且 ，
所以 ，解得 ，所以 A 项正确；
又由 ，
取 ，则 ，
x ( ) ( )1 1f x f x+ = − − ( ) ( )1 1f x f x+ = − − 1x − x ( ) ( )f x f x− =
( )f x R
( )1y f x= − ( )1 0f − = ( )f x R ( )1 0f =
( ) xf x e ax= − 1x 2x 1 2x x<
a e> 1 2 2x x+ >
1 2 1x x > ( )f x 0x 1 2 02x x x+ <
( ) xf x e ax= − ( ) xf x e a′ = −
0a ≤ ( ) 0xf x e a′ = − > R ( )f x
0a > ( ) 0xf x e a′ = − > lnx a> ( ) 0xf x e a′ = − < lnx a<
( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞
( ) xf x e ax= − 1 2,x x 1 2x x<
ln(ln ) ln ln (1 ln ) 0af a e a a a a a a a= − = − = − < 0a >
1 ln 0a− < a e>
2
1 2 1 2 1 2 1 2ln( ) 2ln ln( ) 2 ln( )x x a x x a x x x x+ = = + > +
2
2
ea = 2
2(2) 2 0 2, (0) 1 0f e a x f= − = = = >所以 ，所以 ，所以 B 正确；
由 ，则 ，但 不能确定，所以 C 不正确；
由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数的极小值点为 ，且 ，所以 D 正确；
故选 ABD.
12．设非负实数 满足 则 的（ ）
A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为
【答案】AC
【解析】令 ， ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
，
所以 ， ，
10 1x< < 1 2 2x x+ >
(0) 1 0= >f 10 1x< < 1 2 1x x >
( )f x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞
0 lnx a= 1 2 02 2lnx x x a+ < =
,x y 2 1,x y+ = 2 2x x y+ +
4
5
2
5 1 1 2
3
+
cosx r θ= siny r θ= 0, 0, 2r
πθ > ∈
2 1x y+ = 2 cos sin 1r rθ θ+ = 1
2cos sinr θ θ= +
2
2
2 2
2
2 2
1 tan 2 1
1 tancos 1 2cos 2cos sin 1 tan 2tan2 22
1 tan 1 tan2 2
x x y r r
θ
θ
θθ θ θθ θ
θ θ
−
+
+++ + = + = =+ −
⋅ +
+ +
[ ]2
2
1 1 tan 0,121 5tan tan 1 tan2 2 2 2 4
θ
θ θ θ
= = ∈ − + + − − +
( )2 2
2max
1 1
1 5
2 4
x x y+ + = =
− +
( )2 2
min 2
1 4
5 50 4
x x y+ + = =
− +取最大值时 或 1，此时 或 ，
取最小值时 ，此时 .
故选：AC.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13． 是虚数单位，则 的值为__________.
【答案】
【解析】 ．
14．已知直线 与抛物线 交于 两点；若直线过抛物线的焦点，
则抛物线的准线方程为__________，若 ，则 的值为__________．
【答案】
【解析】（1）由于直线过抛物线的焦点，令 y=0 得 x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0),
所以抛物线的准线方程为 x=-1.
（2）联立 得 ，
设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
tan 02
θ = 0
1
x
y
=
=
1
2
0
x
y
=
=
1tan 2 2
θ =
3
10
2
5
x
y
=
=
i 5
1
i
i
−
+
13
5 (5 )(1 ) 2 3 131 (1 )(1 )
i i i ii i i
− − −= = − =+ + −
1y x= − ( )2 2 0y px p= > ,A B
OA OB⊥ p
1x = − 1
2
2 2
1
y px
y x
=
= −
2 (2 2 ) 1 0x p x− + + =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 22 2 , 1x x p x x+ = + ⋅ =
OA OB⊥ 1 2 1 2 1 2 1 20, ( 1)( 1) 0x x y y x x x x+ = ∴ + − − =所以 ，
所以 .
故答案为：(1). (2).
15．将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单
位长度，得到函数 的图象，则函数 具有性质__________．（填入所有正确性质
的序号）
①最大值为 ，图象关于直线 对称；
②图象关于 轴对称；
③最小正周期为 ；
④图象关于点 对称；
⑤在 上单调递减
【答案】②③④
【解析】
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到
的图象向上平移 个单位
长度，得到函数 的图象，对于函数 ：它的最大值为 ，由于当
时， ，不是最值，故 图象不关于直线 对称，故排除①；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于 轴对称，故②正确；它的最小周期为 ，
1 2 1 2( ) 2 1 0x x x x− + + ⋅ + =
12 2 3 0, 2p p− − + = ∴ =
1x = − 1
2
( ) 3 cos(2 ) 13f x x
π= + −
3
π
( )g x ( )g x
3 3x
π= −
y
π
( ,0)4
π
(0, )3
π
( ) 3 cos 2 13f x x
π = + − 3
π
3 cos 2 13 3y x
π π = + + −
( )3 cos 2 1 3 cos2 1x xπ= + − = − − 1
( ) 3 cos2g x x= − ( )g x 3
3x
π= − ( ) 3
2g x = ( )g x
3x
π= −
y 2
2
π π=故③正确；当 时， ，故函数的图象关于点 对称，故正④确；在
上， 不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④.
16．已知函数 ，其中 e 是自然数对数的底数，若 ，
则实数 a 的取值范围是_________。
【答案】
【解析】
因为 ，所以函数 是奇函数，
因为 ，所以数 在 上单调递增，
又 ，即 ，所以 ，即 ，
解得 ，故实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）设数列 的前 项和为 ，且 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 。
【答案】（1） ；（2）
【解析】(1)由 ，且 ，可得 当
4x
π= ( ) 0g x = ,04
π
0, 3
π
( )22 0, ,3x g x
π ∈
( ) 3 x
x
1f x =x 2x+e - e
− ( ) ( )2f a-1 +f 2a 0≤
1[ 1, ]2
−
3 1( ) 2 ( )x
xf x x x e f xe
− = − + + − = − ( )f x
2 2'( ) 3 2 3 2 2 0x x x xf x x e e x e e− −= − + + ≥ − + ⋅ ≥ ( )f x R
2( 1) (2 ) 0f a f a− + ≤ 2(2 ) (1 )f a f a≤ − 22 1a a≤ − 22 1 0a a+ − ≤
11 2a− ≤ ≤ a 1[ 1, ]2
−
{ }na n 2
nS an bn= + 1 21, 3a a= =
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= { }nb n nT
2 1na n= −
2 1n
nT n
= +
2
nS an bn= + 1 2a 1,a 3= = 1 0a b= =， 2 n nn a S= −时，(2)∵
18．（本小题满分 12 分）已知函数 ，
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 ，讨论 的零点个数；
【答案】（1） 单调递减区间为： ， ；单调递增区间为： ，
；（2）当 时， 在 上有 2 个零点，当 时， 在
上无零点.
【解析】∵ ∴ 为偶函数，
只需先研究
当 ， ，当 ， ，
所以 在 单调递增，在 ，单调递减
所以根据偶函数图像关于 轴对称，
2 2
1 1 1( 1) 2 1 1 1nS n n n n S a，当 时， ；− = − − = − = = =
1 2 3
1
1 1 1 1 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n
n n
b T b b b ba a n n n n+
= = = − ∴ = + + +…+ = − + − +
1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 1
n
n n n
− + − +…+ − = − + +
21( ) sin cos 2f x x x x ax= + + [ , ]x π π∈ −
0a = ( )f x
0a > ( )f x
( )f x ,02
π − ,2
π π
, 2
ππ − −
0, 2
π
2
20 a π< ≤ ( )f x [ , ]−π π
2
2a π> ( )f x
[ , ]−π π
( ) ( )f x f x− = ( )f x
[0, ]x π∈
( ) sin cosf x x x x= +
( ) sin cos sin cosf x x x x x x x′ = + − =
0, 2x
π ∈ ( ) 0f x′ ≥ ,2x
π π ∈ ( ) 0f x′ ≤
( )f x 0, 2x
π ∈ ,2x
π π ∈
y得 在 单调递增，在 单调递减，
.故 单调递减区间为： ， ；单调递增区间为： ，
（2）
① 时， 在 恒成立
∴ 在 单调递增
又 ，所以 在 上无零点
② 时， ，
使得 ，即 .
又 在 单调递减，
所以 ， ， ，
所以 ， 单调递增， ， 单调递减，
又 ，
（i） ，即 时
在 上无零点，
又 为偶函数，所以 在 上无零点
（ii） ，即
( )f x , 2x
ππ ∈ − − ,02x ∈ −
π
( )f x ,02
π − ,2
π π
, 2
ππ − − 0, 2
π
( ) cos (cos )f x x x ax x x a′ = + = +
1a ≥ ( ) (cos ) 0f x x x a′ = + ≥ [0, ]x π∈
( )f x [0, ]x π∈
(0) 1f = ( )f x [ , ]x π π∈ −
0 1a< < 0 (0, )x π∃ ∈
( )0 0cos 0x x a+ = 0cos x a= −
cos x (0, )π
( )00,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )0 ,x x π∈ ( ) 0f x′ <
( )00,x x∈ ( )f x ( )0 ,x x π∈ ( )f x
(0) 1f = 21( ) 12f aπ π= −
21 1 02 aπ − > 2
2 1aπ < <
( )f x [0, ]π
( )f x ( )f x [ , ]−π π
21 1 02 aπ − ≤ 2
20 a π< ≤在 上有 1 个零点，
又 为偶函数，所以 在 上有 2 个零点
综上所述，当 时， 在 上有 2 个零点，当 时， 在
上无零点.
19．（本小题满分 12 分）已知四棱柱 的底面为菱形， ，
， ， 平面 ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求钝二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：连接 交 于点 ，易知 为 中点，
∵ 为 中点，∴在 中， ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）∵ 平面 ，∴ ，
∵ 且 为 的中点，
( )f x [0, ]π
( )f x ( )f x [ , ]−π π
2
20 a π< ≤ ( )f x [ , ]−π π
2
2a π> ( )f x [ , ]−π π
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AB AA= =
3BAD
π∠ = AC BD O= AO ⊥ 1A BD 1 1A B A D=
1 / /B C 1A BD
1B AA D− −
1
7
−
1AB 1A B Q Q 1AB
O AC 1AB C∆ 1
1/ / 2OQ B C
OQ ⊂ 1A BD 1B C ⊄ 1A BD
1 / /B C 1A BD
AO ⊥ 1A BD 1AO AO⊥
1 1A B A D= O BD∴ ，
∵ 平面 且 ，
∴ 平面 ，如图，建立空间直角坐标系 .
易得： ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，∴ ，
令 ，得 ，
∴ .
同理可得平面 的一个法向量为 ，
∴ ，
∴钝二面角 的余弦值为 .
20．（本小题满分 12 分）根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的 PM2.5
（PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓
1AO BD⊥
AO BD ⊂、 ABCD AO BD O=
1AO ⊥ ABCD O xyz−
( )3,0,0A ( )0,1,0B ( )0, 1,0D − ( )1 0,0,1A
( )1 3,0,1AA = − ( )3,1,0AB = −
1A AB ( ), ,n x y z=
1n AA
n AB
⊥
⊥
3 0
3 0
x z
x y
− + =
− + =
1x = 3y z= =
( )1, 3, 3n =
1A AD ( )1, 3, 3m = −
1cos , 7
m nm n
m n
⋅< >= =
1B AA D− − 1
7
−度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米. 某城
市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据，数
据统计如下：
（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，
判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（3）将频率视为概率，对于去年的某 2 天，记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均
浓度符合环境空气质量标准的天数为 ，求 的分布列及数学期望 和方差 .
【答案】（1）众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米． （2） ，该居
民区的环境需要改进．
（3）变量 的分布列为
（天）,或 （天） ；
【解析】（1）众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米．
（2）去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为
（微克/立方米）．因
为 ，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，
X X )(XE )(XD
40.5
ξ
1 18 810 1 2 1.8100 100 100Eξ = × + × + × = 92 1.810E nPξ = = × =
18.0=ξD
7.5 0.1 22.5 0.3 37.5 0.2 52.5 0.2 67.5 0.1 82.5 0.1 40.5× + × + × + × + × + × =
40.5 35>故该居民区的环境需要改进．
（3）记事件 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”，
则 . 随机变量 的可能取值为 0,1,2.且 .
所以 ， 所以变量 的分布列为
（天）,或 （天）
21．（本小题满分 12 分）如图，直线 ，点 是 之间的一个定点，过点 的直线
垂直于直线 ， （ 为常数），点 分别为 上的动点，已知
.设 （ ）.
（1）求 面积 关于角 的函数解析式 ；
（2）求 的最小值.
A
9( ) 10P A = ξ
9(2, )10Bξ
2
2
9 9( ) ( ) (1 ) ( 0,1,2)10 10
k k kP k C kξ −= = − = ξ
1 18 810 1 2 1.8100 100 100Eξ = × + × + × = 92 1.810E nPξ = = × =
18.0=ξD
1 2l l// A 1 2,l l A EF
1l ,AE m AF n= = ,m n ,B C 1 2,l l
60BAC∠ = ° ACF α∠ = 0 60α° < < °
ABC∆ S α ( )S α
( )S α【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意 , ,∴ ,
在 中, , ,
,
在 中, .
∴ 的面积 ,
∴ 的面积 ,
∴梯形 的面积 .
∴
.
（2）令
1 1( ) tan( 30 )2 tanS mnα α α
° = + + 3mn
1EF l⊥ 1 2l l// 2EF l⊥
Rt ACF∆
tan
nCF α= 0 60α° < < °
180 60 (90 ) 30EAB α α° ° ° °∠ = − − − = +
Rt ABE∆ tan( 30 ) tan( 30 )EB AE mα α° °= + = +
ACF∆ 2
1
1 1 1
2 2 tanS AF CF n α= ⋅ = ⋅
ABE∆ 2
2
1 1 tan( 30 )2 2S AE EB m α °= ⋅ = +
EFCB 1 1( ) ( ) tan( 30 )2 2 tan
nS EB CF EF m n m α α
° = + ⋅ = + + +
1 2( )S S S Sα = − −
2 21 1 1 1( ) tan( 30 ) tan( 30 )2 tan 2 tan 2
nm n m n mα αα α
° ° = + + + − ⋅ − +
1 1tan( 30 )2 tanmn α α
° = + +
1 sin( 30 ) costan( 30 ) tan cos( 30 ) siny
α αα α α α
°
°
°
+= + + = ++
sin( 30 )sin cos( 30 )sin
sin cos( 30 )
α α α α
α α
° °
°
+ + += +
cos[( 30) ]
3 1sin cos sin2 2
α α
α α α
+ −= −
.
∴当 时,即 时, 取得最小值 ,
此时 取得最小值 .
22．（本小题满分 12 分）椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左焦点
到点 的距离是 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 ： 被圆 ： 截得的弦长为 3，且 与椭圆 交于 ，
两点，求△ 面积 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）借助条件布列 的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面
积函数，转求最值.
试题解析：（1）由题意可得 ， ，
2
cos30
3 1sin cos sin2 2
α α α
°
=
−
3
3 1 cos2sin 22 2
αα
=
−−
3
1sin(2 30 ) 2
α °
=
+ −
2 30 90α ° °+ = 30°=α y 2 3
( )S α 3mn
E
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 2
2 1F
(2,1)P 10
E
l y kx m= + O 2 2 3x y+ = l E A B
AOB S
2
2 12
x y+ = max
2
2S =
ba、
2
2
ce a
= = 2(2 ) 1 10c+ + =解得 ， ， ，
即有椭圆的方程为 ；
（2）∵ 到 的距离 ，
∴ ，∴ ．
设 ， ，把 代入得
，
∴ ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 ，即 时， ．
1c = 2a = 2 2 1b a c= − =
2
2 12
x y+ =
O l 2 23 9 3( ) 32 4 2d r= − = − =
2
| | 3
21
md
k
= =
+
2 23 ( 1)4m k= +
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y y kx m= +
2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
4
1 2
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
2 2
1 2
mx x k
−= +
2
1 2| | 1 | |AB k x x= + − 2 2
1 2 1 21 ( ) 4k x x x x= + ⋅ + −
2 2 2
2
2 2 2
16 8( 1)1 (1 2 ) 1 2
k m mk k k
−= + −+ +
2
2
2
2(1 5 )1 1 2
kk k
+= + ⋅ +
2 2
2
( 1)(5 1)2 1 2
k k
k
+ += ⋅ +
1 3| | | |2 4S AB d AB= ⋅ =
2 2
2
(3 3)(5 1)2= 4 1 2
k k
k
+ +⋅ +
2 2
2
1 (3 3 5 1)2 22
4 1 2 2
k k
k
+ + +
≤ ⋅ =+
2 23 3 5 1k k+ = + 1k = ± max
2
2S =
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