一、单项选择题：
1．已知集合 ，则满足条件
的集合 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】求解一元二次方程，得
，易知 .
因为 ，所以根据子集的定义，
集合 必须含有元素 1,2，且可能含有元素 3,4，
原题即求集合 的子集个数，即有 个，故选 D.
2．下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i)
【答案】A
【解析】由题意，对于 A 中，复数 为纯虚数，所以正确；
对于 B 中，复数 不是纯虚数，所以不正确；
对于 C 中，复数 不是纯虚数，所以不正确；
对于 D 中，复数 不是纯虚数，所以不正确，故选 A.
3．已知命题 ，使得 ，则命题 是
{ } { }2| 3 2 0, , | 0 5,A x x x x R B x x x N= − + = ∈ = < < ∈ A C B⊆ ⊆
C
{ } ( )( ){ }2| 3 2 0, | 1 2 0,A x x x x x x x x= − + = ∈ = − − = ∈R R
{ }1,2= { } { }| 0 5, 1,2,3,4B x x x= < < ∈ =N
A C B⊆ ⊆
C
{ }3,4 22 4=
2(1 ) 2i i+ =
2 (1 ) 1i i i⋅ − = − +
2(1 ) 2i i⋅ + = −
(1 ) 1i i i⋅ + = − +
:P x R∃ ∈ 2 0x
x
+ < P¬ ( )A． ，都有 B． ，使得
C． ，都有 或 D． ，都有 或
【答案】C
【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题 是： ，都有 或 ，
故选： ．
4．已知函数 在 处的切线与直线 平行，则二项式
展开式中 的系数为（ ）
A．120 B．140 C．135 D．100
【答案】C
【解析】由函数的解析式可得： ，
函数 在 处的切线与直线 平行，则 ，
则二项式 ，
的展开式的通项公式为 ，
故分别令 ,可得展开式中 的系数为 .
故选 C.
5．已知 ，过 作 的三条切线，三个切点横坐标成等差数列，则
（ ）
A．2 B． C． D．
x R∀ ∈ 2 0x
x
+
x R∃ ∈ 2 0x
x
+
x R∀ ∈ 2 0x
x
+
0x = x R∃ ∈ 2 0x
x
+
0x =
P¬ x R∀ ∈ 2 0x
x
+
0x =
C
( ) 3110sin 6f x x x= + 0x = 0nx y− =
( )( )21 1 nx x x+ + − 4x
( ) 21' 10cos 2f x x x= +
( ) 3110 6f x sinx x= + 0x = 0nx y− = ( )0 10n f= ′ =
( ) ( ) ( )2 2 10 3 91 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )nx x x x x x x x+ + − = + + − = − ⋅ −
( )91 x− 1 9 ( )r r
rT C x+ = ⋅ −
4, 1r r= = 4x ( )4 1
9 9 135C C− − =
0a > ( ),0a 3 3y x x= − a =
6 2 2 10【答案】B
【解析】设切点一般形式为 ，则 ，
即 ，化简得： ，
由题意知：此方程有 3 个不同解，设为 ，则
，对应系数得：
，
把 代入①得： ④，
由②得： ，
故 代入③得： ⑤，
由④： 代入⑤得： ．
故选 B．
6．已知 是边长为 4 的等边三角形， 、 是 内部两点，且满足
，则 的面积为（ ）.
( ),x y 20 3 3y y xx a
− ′= = −−
3
23 3 3x x xx a
− = −−
3 22 3 3 0x ax a− + =
1 2 3x x x、 、
( )( )( ) ( ) ( )3 2 3 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 32 3 3 2 2x ax a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + = − − − = − + + + + + −
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3
2
0
3
2
ax x x
x x x x x x
ax x x
+ + =
+ + =
= −
①
②
③
1 3 22x x x+ = 2 2
33 2 2
a ax x= ⇒ =
( )2 1 3 3 1 0x x x x x+ + =
2 2
2 1 3 1 3 22 0 2x x x x x x+ = ⇒ = − 3
2
32 2x a− = −
2 2
ax =
3 32 62 2
a a a − = − ⇒ =
ABC D P ABC
1 ( ),4AD AB AC= + 1
8AP AD BC= + ADP△A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以 为原点，以 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系．
等边三角形△的边长为 4，
， ，
由足 ， ， ， ，
， ， ， ，
的面积为 ，
故选： ．
7．数列 的前 项和 为( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由数列前几项易得： ，
3
4
3
3
3
2 3
A BC y
( 2, 2 3)B∴ − − (2, 2 3)C −
1 1( ) [( 24 4AD AB AC= + = − 2 3) (2− + 2 3)] (0− = 3)−
1 (08AP AD BC= + = 13) (48
− + 10) (2
= 3)−
ADP∴∆ 1 1 1 3| | | | 32 2 2 4S AD DP= = × × =
A
，，，，
16
178
154
132
11 n nS
1
2
2
11 −−+
nn nn 2
122 −+
nn 2
112 −+
1
2
2
12 −−+
nn
nn na 2
1)12( −=
]2
112[8
154
132
11 nn nS +−+++++++= ）（）（）（）（ .
故选 C.
8．如图，在长方体 中，M，N 分别是棱 BB1，B1C1 的中点，若∠
CMN=90°，则异面直线 AD1 和 DM 所成角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】D
【解析】以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,
如图,
设 ,则 , ,
n
n
n nnnn 2
11
2
11
)2
11(2
1
2
)]12(1[)2
1
8
1
4
1
2
1()]12(531[ 2 −+=
−
−
+−+=+++++−++++=
1 1 1 1ABCD A B C D−
1D 1 1 1 1 1, ,D A D C D D , ,x y z
1 1 1 1 1, ,D A a D C b D D c= = = (0, , ), ( , , ), ( , ,0)2 2
c aC b c M a b N b ( ,0, ), (0,0, )A a c D c,
因为 ,所以 ,即有 .
因为 ,所以 ,即异面直线 和 所成角为
.
故选：D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．设 都是正数，且 ，那么（ ）
A． B． C．
D． E.
【答案】AD
【解析】由题意,设 ,则 , , ,
对于选项 A,由 ,可得 ,因为
,故 A 正确,B 错误;
对于选项C, , ,
故 ,即 C 错误;
对于选项 D, , ,故
,即 D 正确;
( ,0, ) ( ,0, )2 2 2
c a cCM a MN= − = − − ， 1( , , ) ( ,0, )2
cDM a b D A a c= − = ，
90CMN∠ = ° 0CM MN⋅ = 2 22c a=
2
2 2 2
1 02
cDM D A a a a⋅ = − = − =
1DM AD⊥ 1AD DM
90°
, ,a b c 4 6 9a b c= =
2ab bc ac+ = ab bc ac+ = 2 2 1
c a b
= +
1 2 1
c b a
= − 2 1 2
c a b
= +
( )4 6 9 0a b c k k== >= 4loga k= 6logb k= 9logc k=
2ab bc ac+ = 2b b
c a
+ = 6 6
9 4
log log
log log
k kb b
c a k k
+ = + = log 9 log 4
log 6 log 6
k k
k k
+
6 6log 9 log 4= + 6log 36 2= =
4 6log lo
2 1 2 1 2log 4 log 6 logg 96k k kk ka b
+ = + = + =
9
2 2 2log 9 log 81log k kc k
= = =
2 2 1
c a b
≠ +
6 4log log
2 1 2 1 2log 6 log 4 log 9k k kk kb a
− = − = − =
9
1 1 log 9log kc k
= =
1 2 1
c b a
= −对于选项 E, , ,故 ,即
E 错误.
故选:AD.
10．若函数 在 上有最大值，则 a 的取值可能为（）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】令 ，得 ， ，
当 时， ；当 或 时， ，
则 的增区间为 ，减区间为 ，
从而 在 处取得极大值 ，
由 ，得 ，解得 或 ，
又 在 上有最大值，
所以 ，即 ，
故选 ABC.
4 6
1 2 log 4 2log 6 log 1441 2
log log k k ka b k k
= + =+ += 2 log 81kc
= 2 1 2
c a b
≠ +
3 2( ) )(2 0f x x ax a= − < 6,2 3( )a a +
6− 5− 4− 3−
( ) 2 (3 )f x x x a′ = − 1 0x = 2 ( 0)3
ax a= <
03
a x< < ( ) 0f x′ <
3
ax < 0x > ( ) 0f x′ >
( )f x ( ), , 0,3
a −∞ +∞ ,03
a
( )f x
3
ax = 3
( )3 27
a af = −
3
( ) 27
af x = − 2 2( ) (3 ) 03
a ax x− + =
3
ax =
6
ax = −
( )f x 6,2 3( )a a +
6
3 3 6
a a a+< − 4a −11．已知函数 的部分图象如图所示，下列说法
错误的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递减
D．该图象对应的函数解析式为 ．
【答案】ABC
【解析】由函数的图象可得 ，由 ， ,得 ．
再由最值得 ， ，又 ，得 ，
得函数 ，故选项 D 正确.
当 时， ，不是最值，故 A 不成立；
当 时， ，不等于零，故 B 不成立；
( ) ( )sin 0, 0, 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > > ω 2ω =
2 212 2k
π πϕ π× + = + k Z∈
2
πϕ <
3
πϕ =
( ) 2sin 2 3f x x
π = +
6x
π= − ( ) 0f x =
5
12x
π= − ( ) 2f x = −得 ， ，故 C 不成立；
故选：ABC．
12．已知抛物线 的焦点为 、准线为 ，过点 的直线与抛物线交于两点
， ，点 在 上的射影为 ，则 （ ）
A．若 ，则
B．以 为直径的圆与准线 相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条
【答案】ABC
【解析】对于选项 A,因为 ,所以 ,则 ,故 A 正确；
对于选项 B,设 为 中点,设点 在 上的射影为 ,点 在 上的射影为 ,则由梯形
性质可得 ,故 B 正确；
对于选项 C,因为 ,所以 ,故 C 正确；
对于选项 D,显然直线 , 与抛物线只有一个公共点,设过 的直线为 ,
联立 ,可得 ,令 ,则 ,所以直线 与抛物线
也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故 D 错误；
故选：ABC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3+2 2 +22 3 2k x k
π π ππ π≤ + ≤ 7+ +12 12k x k
π ππ π≤ ≤ k Z∈
2: 4C y x= F l F
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y P l 1P
1 2 6x x+ = 8PQ =
PQ l
( )0,1M 1 2PM PP+ ≥
( )0,1M C
2p = 1 2 2x x PQ+ + = 8PQ =
N PQ N l 1N Q l 1Q
1 1
1 2 2 2
PP QQ PF QF PQNN
+ += = =
( )1,0F 1 2PM PP PM PF MF+ = + ≥ =
0x = 1y = M 1y kx= +
2
1
4
y kx
y x
= +
=
( )2 2 2 4 1 0k x k x+ − + = 0∆ = 1k = 1y x= +13．用 17 列货车将一批货物从 A 市以 的速度匀速行驶直达 B 市.已知 A、B 两市
间铁路线长 ，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于 ,则这批货
物全部运到 B 市最快需要________ ,此时货车的速度是________ .
【答案】8，100
【解析】这批货物全部运到 B 市需要时间为
当 ，即 ，速度越快，时间越短，
所以最快需要 的速度行驶，需要 8 小时，
故答案为 8,100.
14．椭圆 1 和双曲线 y2＝1 的公共焦点为 F1、F2，P 是两曲线的一个交点，
那么 cos∠F1PF2 的值是___________
【答案】
【解析】设 P 是双曲线右支上的一点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n．
则 ，解得 mn＝3．
|F1F2|＝4．
∴cos∠F1PF2 ．
故答案为 ．
/vkm h
400km
2
20
v km
h /km h
2
400 16 400 16 400 1620 2 8400 400
v
v v
v v v
+ = + ≥ × =
400 16
400
v
v
= 100v =
100 /km h
2 2
6 2
x y+ =
2
3
x −
1
3
2 3
2 6
m n
m n
− =
+ =
2 2 2 2 24 ( ) 2 4 24 6 16 1
2 2 2 3 3
m n m n mn
mn mn
+ − + − − − −= = = =×
1
315．有下列四个说法：
①已知向量 ， ，若 与 的夹角为钝角，则 ；
②先将函数 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 后，再将所得函
数图象整体向左平移 个单位，可得函数 的图象；
③函数 有三个零点；
④函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）
【答案】②③④
【解析】点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．
对①，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，即 ，解得
且 ，所以①错误；
对②，先将函数 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 后，得函数
的图象，再将图象整体向左平移 个单位，可得函数
的图象，②正确；
对③，函数 的零点个数，即 解的个数，亦即函数 与
的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：
(1,2)a = ( 2, )b m= − a b 1m <
siny x= 1
2
6
π
sin(2 )3y x
π= +
( ) sin lgf x x x= −
( ) sinf x x x= 02
π − ， 0 2
π
，
a b 0a b⋅
(1,2)P 22 2 1p= × 2p =
2 4y x= 1x = −
PA 2 ( 1)( 0)y k x k− = − ≠
2 1yx k
−= + 2 4y x= x
2 4 8 4 0y yk k
− + − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1
42 y k
+ = 1
4 2y k
= −
k k− 2
4 2y k
= − − 1 2 4y y+ = −
AB
1 2 1 2
2 2
1 21 2 1 2
4 1
4 4
AB
y y y yk y yx x y y
− −= = = = −− +−
PABCD ABCD
60 , 2DAB PA PD°∠ = = = M CD PAD∆ AD
BD PM⊥
PAD ⊥ ABCD
PM ABCD 30° P ABCD−【答案】（1）见解析； （2） .
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ， ，
……①
由底面 ，所以 ，
又由 为 的中点，所以 ，
可得 ，
又由 ，所以 平面 ，
……②
由①②可得： 面 ，
又 面 平面 平面 .
（2）由（1）知 面 ，
连接 ，易知 .
设 ，则 .
故 ，
即 ，解得 ，
故 ， ，
故
2 3
3
AD E PE EM AC
PA PD PE AD= ⇒ ⊥
ABCD BD AC⊥
,E M ,AD CD //EM AC
BD EM⊥
BD PM⊥ BD ⊥ PEM
BD PE∴ ⊥
PE ⊥ ABCD
PE ⊂ PAD ⇒ PAD ⊥ ABCD
PE ⊥ ABCD
EM 30PME∠ = °
AB a=
2 32 ,4 2 2
a ACPE EM a= − = =
tan 30 PEPME EM
°∠ = =
2
2 34
33
2
a
a
−
= 2a =
1PE = 2 3ABCDS =四边形
1 2 313 3P ABCD ABCDV S− = ⋅ ⋅ =21．（本小题满分 12 分）某游戏棋盘上标有第 、 、 、 、 站，棋子开始位于第
站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋
子向前跳出两站，直到跳到第 站或第 站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第
站的概率为 .
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币 次后，求棋子所走站数之和 的分布列与数学
期望；
（2）证明： ；
（3）若最终棋子落在第 站，则记选手落败，若最终棋子落在第 站，则记选手获
胜.请分析这个游戏是否公平.
【答案】（1）分布列见解析，数学期望 ；（2）见解析；（3）游戏不公平.
【解析】（1）由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，
， ，
， .
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以， ；
0 1 2 100 0
99 100
n nP
3 X
( )( )1 1
1 1 982n n n nP P P P n+ −− = − − ≤ ≤
99 100
9
2
X 3 4 5 6
( ) 31 13 2 8P X = = =
( ) 3
1
3
1 34 2 8P X C = = ⋅ =
( ) 3
2
3
1 35 2 8P X C = = ⋅ =
( ) 31 16 2 8P X = = =
X
X 3 4 5 6
P
1
8
3
8
3
8
1
8
( ) 1 3 3 1 93 4 5 68 8 8 8 2E X = × + × + × + × =（2）依题意，当 时，棋子要到第 站，有两种情况：
由第 站跳 站得到，其概率为 ；
可以由第 站跳 站得到，其概率为 .
所以， .
同时减去 得 ；
（3）依照（2）的分析，棋子落到第 站的概率为 ，
由于若跳到第 站时，自动停止游戏，故有 .
所以 ，即最终棋子落在第 站的概率大于落在第 站的概率，游戏不公平.
22．（本小题满分 12 分）设函数 ， ．
（1）若函数 f（x）在 处有极值，求函数 f（x）的最大值；
（2）是否存在实数 b，使得关于 x 的不等式 在 上恒成立？若存在，求出
b 的取值范围；若不存在，说明理由；
【答案】（1）函数 f（x）的最大值为 （2）存在 ，详见解析
【解析】（1）由已知得： ，且函数 f（x）在 处有极值
∴ ，
∴
1 98n≤ ≤ ( )1n +
n 1 1
2 nP
( )1n − 2 1
1
2 nP −
1 1
1 1
2 2n n nP P P+ −= +
nP ( ) ( )1 1 1
1 1 1 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n+ − −− = − + = − − ≤ ≤
99 99 98 97
1 1
2 2P P P= +
99 100 98
1
2P P=
100 99P P< 99 100
( ) aln(1 )1
xf x xx
= − ++ ( ) ln(1 )g x x bx= + −
0x =
( ) 0
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ <
(0) 0f =
1( ) 1g x bx
′ = −+
1b [0, )x∈ +∞
1( ) 01g x bx
′ = −+
( ) ln(1 )g x x bx= + − [0, )+∞
( ) ln(1 ) (0) 0g x x bx g= + − < = (0, )+∞
0b ≤ [0, )x∈ +∞
1( ) 01g x bx
′ = − >+
( ) ln(1 )g x x bx= + −
( ) ln(1 ) (0) 0g x x bx g= + − > =
( ) 0 =
( ) 0
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