2020年高三数学练习题及答案（四）

一、单项选择题： 1．若复数 满足 ，则 （ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 【答案】A 【解析】设 z＝a+bi（a，b∈R）， 由 z2＝5+12i，得 a2﹣b2+2abi＝5+12i， ∴ ，解得 或 ． ∴z＝3+2i 或 z＝﹣3﹣2i． 故选：A． 2．一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说： 我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名 的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话， 而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲； 假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有 一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙； 假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只 有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙； 假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎， 说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只 z 2 5 12z i= + z = 3 2i+ 3 2i− − 3 2i− 3 2i− + 1 2i+ 1 2i− 13± 2 2 5 2 12 a b ab  − =  = 3 2 a b =  = 3 2 a b = −  = −有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。本题选 C。 3．已知 的展开式的各项系数和为 243,则展开式中 x7 的系数为 A．5 B．40 C．20 D．10 【答案】B 【解析】由题意，二项式 的展开式中各项的系数和为 ， 令 ，则 ，解得 ， 所以二项式 的展开式为 ， 令 ，则 ，即 的系数为 ，故选 B. 4．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆 的左右焦点分别为 , ,点 在椭圆上,且 所以 则 而 所以 3 2( )nx x + 3 2( )nx x + 243 1x = 3 243n = 5n = 3 52( )x x + 3 5 15 4 1 5 5 2( ) ( ) 2r r r r r r rT C x C xx − − + = = 2r = 2 2 15 4 2 7 3 52 40T C x x− ×= = 7x 40 2 2 14 2 x y+ = 1F 2F P 1| | 3PF = 1 2PF F∆ 2 2 2 3 2 3 2 2 14 2 x y+ = 1F 2F P 1| | 3PF = 1 2 2 4PF PF a+ = = 2 4 3 1PF = − = 2 2 2 2c a b= − = 1 2 2 2 2F F c= =因为 所以 是以 为斜边的直角三角形 则 故选:B 5．已知向量 ，且 ，则 的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】由题意可得 ，即 ． ∴ ， 故选：A． 6．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ， 则当 时，方程 的解的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】根据题意， 为奇函数，则 的图象关于原点对称，又由 ，则 的图象关于直线 对称，因为当 时， ，故可画函数在 的图象如下， 2 2 2 1 1 2 2PF F F PF= + 1 2PF F∆ 1PF 1 2 2 1 2 1 1 1 22 2 22PF F P F FS F∆ × = × ×× == (sin , 2), (1,cos )a bθ θ= − = a b⊥  2sin 2 cosθ θ+ 1 2 sin 2cos 0a b θ θ⋅ = − =  tan 2θ = 2 2 2 2 2 2sin cos cos 2tan 1sin 2 cos 1cos sin 1 tan θ θ θ θθ θ θ θ θ + ++ = = =+ + R ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + [0,1]x∈ 2( ) 4 2f x x x= − [ 2,2]x∈ − 2 ( ) 1f x = ( )f x ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + ( )f x 1x = [0,1]x∈ 2( ) 4 2f x x x= − [ 2,2]x∈ −所求方程 在 的解的个数， 等价于函数 与函数 的交点个数， 由图可知函数 与函数 在 上有 个交点， 故方程 在 上有 个解， 故选： 7．已知 的定义域为 ， 为 的导函数，且满足 ，则 不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数 则 所以 在 上单调递减 2 ( ) 1f x = [ 2,2]x∈ − ( )y f x= 1 2y = ( )y f x= 1 2y = [ 2,2]x∈ − 2 2 ( ) 1f x = [ 2,2]x∈ − 2 A ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x′ ( )f x ( ) ( )f x xf x′< − ( ) ( ) ( )21 1 1f x x f x+ > − − ( )0,1 ( )2,+∞ ( )1,2 ( )1,+∞ ( )y xf x= ( ) ( )' 0y f x xf x+ ′= < ( )y xf x= ( )0,+∞又因为 所以 所以 解得 或 （舍） 所以不等式 的解集是 故选 B. 8．在正方体 中，点 E 是棱 的中点，点 F 是线段 上的一个动点．有 以下三个命题： ①异面直线 与 所成的角是定值； ②三棱锥 的体积是定值； ③直线 与平面 所成的角是定值． 其中真命题的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】以 A 点为坐标原点，AB,AD, 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系，设正方体棱长为 1，可得 B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), ( ) ( ) ( )21 1 1f x x f x+ > − − ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 1x f x x f x+ + > − − 21 1x x+ < − 2x > 1x < − ( ) ( ) ( )21 1 1f x x f x+ > − − ( )2,+∞ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B C 1CD 1AC 1B F 1B A EF− 1A F 1 1B CD 1AA 1A 1B 1C 1D(0,1,1),设 F(t，1，1-t)，（0≤t≤1）， 可得 =(1,1,1), =(t-1，1，-t)，可得 =0，故异面直线 与 所的角是定 值，故①正确； 三棱锥 的底面 面积为定值，且 ∥ ,点 F 是线段 上的一个动点， 可得 F 点到底面 的距离为定值，故三棱锥 的体积是定值，故②正确； 可得 =(t，1，-t)， =(0,1,-1), =(-1,1,0),可得平面 的一个法向量为 =（1， 1，1），可得 不为定值，故③错误; 故选 B. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A．某学生在上学的路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的， 遇到红灯的概率都是 ，那么该生在上学路上到第 3 个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 ， ， ，假设他们破 译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中各任取一个 球，则取到同色球的概率为 D．设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不 发生的概率相同，则事件 A 发生的概率是 【答案】AC 1AC 1B F 1 1AC B F× 1AC 1B F 1B A EF− 1A BE 1CD 1BA 1CD 1A BE 1B A EF− 1A F 1B C 1 1B D 1 1B CD n 1cos ,A F n  1 3 4 27 1 5 1 3 1 4 2 5 1 2 1 9 2 9【解析】对于 A,该生在第 3 个路口首次遇到红灯的情况为前 2 个路口不是红灯,第 3 个 路口是红灯,所以概率为 ,故 A 正确； 对于 B,用 A、B、C 分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则 , , ,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为 ,所 以此密码被破译的概率为 ,故 B 不正确； 对于 C,设“从甲袋中取到白球”为事件 A,则 ,设“从乙袋中取到白球”为事件 B,则 ,故取到同色球的概率为 ,故 C 正确； 对于 D,易得 ,即 , 即 ,∴ ,又 , ∴ ,∴ ,故 D 错误 故选：AC 10．已知曲线 ，则曲线 （ ） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 轴对称 【答案】ABCD 【解析】 ，则 ； ； 成立 故曲线关于 轴对称；关于 轴对称；关于原点对称； 21 1 41 3 3 27  − × =   1( ) 5P A = 1( ) 3P B = 1( ) 4P C = 4 2 3 2 5 3 4 5 × × = 2 31 5 5 − = 8 2( ) 12 3P A = = 6 1( ) 12 2P B = = 2 1 1 1 1 3 2 3 2 2 × + × = ( ) ( )P A B P B A=  ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P B P A⋅ = ( )[1 ( )] ( )[1 ( )]P A P B P B P A− = − ( ) ( )P A P B= 1( ) 9P A B = 1( ) ( ) 3P A P B= = 2( ) 3P A = 4 4: 2C x y+ = C x y y x= 4 4: 2C x y+ = ( )4 4 2x y− + = ( )44 2x y+ − = ( ) ( )4 4 2x y− + − = x y取曲线 任一点 关于直线 轴对称点为 成立. 故选： 11．设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ， ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为 【答案】AD 【解析】① , 与题设 矛盾. ② 符合题意. ③ 与题设 矛盾. ④ 与题设 矛盾. 得 ，则 的最大值为 . B，C，错误. 故选：AD. 12．在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，如图，则下列等式成立的是(　　) 4 4: 2C x y+ = ( ),x y y x= ( ),y x 4 4 2y x+ = ABCD { }na q n nS n nT 1 1a > 6 6 7 7 11, 01 aa a a −> nS 7S nT 6T 6 71, 1a a> > 6 7 1 01 a a − < 6 71, 1,a a< < 6 7 1 01 a a − 1 1a > 6 71, 1,0 1a a q> < < < nT 6T ∴A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由 ,由射影定理可得 ， 即选项 A 正确， 由 = ,由射影定理可得 ， 即选项 B 正确， 由 ,又 ，即选项 C 错误， 由图可知 ，所以 ， 由选项 A,B 可得 ，即选项 D 正确， 故选 ABD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．设集合 ， ， ______. 【答案】 2 AC C ABA ⋅=    2 C B BCB A⋅=    2 B A CDA C ⋅=    ( ) ( )2 2 AB BAC BA B C CD A ⋅ × = ⋅        cosAC AB AC AB A AD AB⋅ = =    2 AC C ABA ⋅=    BA BC⋅  cosBA BC B BA BD=  2 C B BCB A⋅=    cos( ) 0CD AC CDA CDC Aπ⋅ = − ∠  Rt ACD Rt ABC∆ ≅ ∆ AC BC AB CD= ( ) ( )2 2 AB BAC BA B C CD A ⋅ × = ⋅        ( ){ }, | 1U x y y x= = + ( ) 3, | 12 yA x y x − = = −  UC A = ( ){ }2,3【解析】 ， 集合 表示直线 上除去 的所有点组成的集合， . 故答案为： 14．已知函数 在区间 上的增函数，则实数 的取值 范围是__________． 【答案】 【解析】函数 在区间 上的增函数 则 且 解得 故答案为 15．如图，在三棱锥 中，若底面 是正三角形，侧棱长 ， 、 分别为棱 、 的中点，并且 ，则异面直线 与 所成角为 ______；三棱锥 的外接球的体积为______． 【答案】 【解析】由三棱锥 中，若底面 是正三角形，侧棱长 知， 三棱锥 是正三棱锥，则点 在底面 中的投影为底面的中心 ， 为 中 ( ){ }, 1, 2A x y y x x= = + ≠ A 1y x= + ( )2,3 ( ){ }2,3UC A∴ = ( ){ }2,3 ( ) ( )2 2log 3 4f x x mx= − + [ )1,x∈ +∞ m ( ],6−∞ ( ) ( )2 2log 3 4f x x mx= − + [ )1,x∈ +∞ 16 m ≤ 3 4 0m− + > 6m ≤ ( ],6−∞ S ABC− ABC 3SA SB SC= = = M N SC BC AM MN⊥ MN AC S ABC− π 2 9π 2 S ABC− ABC 3SA SB SC= = = S ABC− S ABC O E AC点如图， 因此 ,所以 平面 , 平面 , ,又 、 分别为棱 、 的中点， 则 ,因此 ，异面直线 与 所成角为 ； , 平面 ,又 ，则 平面 ,又三棱锥 是正三棱锥， 因此三棱锥 可以看成正方体的一部分且 为正方体的四个顶点，故球的 直径为 ， 则球的体积为 . 故答案为： ； . 16．函数 满足下列性质： （ ）定义域为 ，值域为 ． （ ）图象关于 对称． （ ）对任意 ， ，且 ，都有 ． 请写出函数 的一个解析式__________（只要写出一个即可）． , ,SO BE OSO AC AC BE⊥ ⊥ ∩ = AC ⊥ SBE SB ⊂ SBE SB AC∴ ⊥ M N SC BC MN SB MN AC⊥ MN AC 2 π ,MN AC,AMAM MN AC A⊥ ⊥ =  MN∴ ⊥ SAC MN SB SB ⊥ SAC S ABC− S ABC− , , ,S A B C ( ) ( ) ( )2 2 2 3 3 3 3+ + = 34 3 9 3 2 2 ππ   =   2 π 9π 2 ( )f x 1 R [1, )+∞ 2 2x = 3 1x 2 ( ,0)x ∈ −∞ 1 2x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − − 1 2 2y y∴ + = 1 2 3y y t=− 3AP PB=   1 23y y∴ =− 2 1y∴ =− 1 3y = 1 2 3y y∴ =− ( )2 1 2 1 2 4 13 4 131 4 4 129 3 3AB y y y y= + ⋅ + − = ⋅ + = ( ) ln 1af x x x = + − a R∈ x ( ) 1f x x> − + [1, )x∀ ∈ +∞ a ( )( ) f xg x x = ( )g x 2[1,e ] (1, )+∞ 2 ea ≥ ( )g x 2[1,e ] 1 2 ea< − + 1 1 1anx xx + − > − + 21 2a x nx x x> − − + [1, )+∞ 2( ) 1 2m x x nx x x= − − + 1x ≥ '( ) 1 2 1m x x nx x= − − + [1, )x∈ +∞ 1 0, 2 1 0nx x− ≤ − + < [1, )x∈ +∞ '( ) 1 2 1 0m x nx x= − − + < ( )m x [1, )+∞ [1, )x∈ +∞ max( ) ( ) (1) 1m x m x m≤ = = 1a > a (1, )+∞ 2 1 1( ) nx ag x x x x = − + 2[1, ]x e∈ 2 2 1 1 1'( ) nxg x x x −= + 3 3 2 2 1 2a x x nx a x x − −− = ( ) 2 1 2h x x x nx a= − − '( ) 2 (1 1 ) 1 1h x nx nx= − + = − '( ) 0h x = x e= 1 x e≤ < '( ) 0h x > 2e x e< ≤ '( ) 0h x < ( )h x [1,e) 2(e,e ] (1) 2 2h a= − ( ) 2h e e a= − 2( ) 2h e a= −据（Ⅰ），可知 ． （ⅰ）当 ，即 时， 即 ． ∴ 在 上单调递减． ∴当 时， 在 上不存在极值． （ⅱ）当 ，即 时， 则必定 ，使得 ，且 ． 当 变化时， ， ， 的变化情况如下表： - 0 + 0 - - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴当 时， 在 上的极值为 ，且 ． ∵ ． 设 ，其中 ， ． 2( ) (1) 0h e h< < ( ) 2 0h e e a= − ≤ 2 ea ≥ ( ) 0h x ≤ '( ) 0g x ≤ ( )g x 2[1,e ] 2 ea ≥ ( )g x 2[1,e ] ( ) 0h e > 1 2 ea< < 2 1 2, [1, ]x x e∃ ∈ 1 2( ) ( ) 0h x h x= = 2 1 21 x e x e< < < < x ( )h x '( )g x ( )g x x 1(1, )x 1x 1 2( , )x x 2x 2 2( , )x e ( )h x '( )g x ( )g x 1 2 ea< < ( )g x 2[1,e ] 1 2( ), ( )g x g x 1 2( ) ( )