一、单项选择题：
1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的
取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 }，得 ，
若 ，则 故答案为 D．
2．“C＝5”是“点(2，1)到直线 3x＋4y＋C＝0 的距离为 3”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意知点 到直线 的距离为 等价于 ，
解得 或 ，所以“ ”是“点 到直线 的距离为 ”的充分
不必要条件，故选 B.
3．已知随机变量 服从正态分布 ，则 （ ）
A． B． C． D．
{ | }A x x a= ≤ ( )2
1 2
2
1{ | log 4 log }5B x x x= − ≥ A B = ∅ a
( )1,5− [ ]0,4
( ], 1−∞ − ( ), 1−∞ −
( )2
1 2
2
1{ | log 4 log 5B x x x= − ≥ [ ) ( ]2
2
4 0 1,0 4,5
4 5
x x x
x x
− > ⇒ ∈ − ∪ − ≤
A B∩ = ∅ 1.a < −
(2,1) 3 4 0x y C+ + = 3 2 2
3 2 4 1 3
3 4
C× + × + =
+
5C = 25C = − 5C = (2,1) 3 4 0x y C+ + = 3
ξ )4
9,1(N =≥ )4(ξP
0013.0 0026.0 0228.0 0456.0【答案】C
【解析】正态曲线的对称轴是 ， , 若 X～N(μ，σ2)，有 P(μ
－σ >
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2,0 , ,0 , 0, , 0,A a A a B b B b∴ − − ( ) ( )1 2,0 , ,0F c F c−
A 1 1 1 2 2 2| |,| |,| |A F F F F A
2
1 1 2 2 1 2| | | | | |A F F A F F⋅ =
( ) ( )2 22a c c∴ − =
2a c c∴ − =
1
3e∴ = A
B 1 1 2 90F B A∠ = °
2 2 2
2 1 1 1 1 2A F B F B A∴ = +
( )2 2 2 2a c a a b∴ + = + +
2 2 0c ac a∴ + − = 2 1 0e e∴ + − = 5 1
2e
−= 5 1
2e
− −=
B
C 1PF x⊥ 2 1//PO A B即 解得
不满足题意，故 错误；
对于 ：四边形 的内切圆过焦点
即四边形 的内切圆的半径为 ，
解得 （舍去）或
故 正确
故选：
11．如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则 （ ）
2
, bP c a
∴ −
2 1PO A Bk k=
2
b
c a
b
a =− −
b c=
2 2 2a b c= +
2
22
c ce a c
∴ = = = C
D 1 2 2 1A B A B 1 2,F F
1 2 2 1A B A B c
2 2ab c a b∴ = +
4 2 2 43 0c a c a∴ − + =
4 23 1 0e e∴ − + = 2 3 5
2e
+= 2 3 5
2e
−=
5 1
2e
−∴ =
D
BD
1 1 1 1ABCD A B C D− P 1B CA．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线 与 所成角的取值范围是
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于选项 A,连接 ,由正方体可得 ,且 平面 ,则
,所以 平面 ,故 ；同理,连接 ,易证得 ,则
平面 ,故 A 正确；
对于选项 B, ,因为点 在线段 上运动,所以 ,面积为
定值,且 到平面 的距离即为 到平面 的距离,也为定值,故体积为定值,故
B 正确；
对于选项 C,当点 与线段 的端点重合时, 与 所成角取得最小值为 ,故 C 错
误；
对于选项 D,因为直线 平面 ,所以若直线 与平面 所成角的正弦值最大,
则直线 与直线 所成角的余弦值最大,则 运动到 中点处,即所成角为 ,
设棱长为 1,在 中, ,故 D 正确
故选：ABD
12．已知函数 是偶函数，且 ，若 ，
，则下列说法正确的是（ ）
1BD ⊥ 1 1AC D
1 1P AC D−
AP 1A D [ ]45 ,90° °
1C P 1 1AC D 6
3
1 1B D 1 1 1 1AC B D⊥ 1BB ⊥ 1111 DCBA
1 1 1BB AC⊥ 1 1AC ⊥ 1 1BD B 1 1 1AC BD⊥ 1AD 1 1A D BD⊥
1BD ⊥ 1 1AC D
1 1 1 1P A C D C A PDV V− −= P 1B C 1 1
1
2A DPS A D AB= ⋅
1C 1 1A PD 1C 1 1A B CD
P 1B C AP 1A D 60°
1BD ⊥ 1 1AC D 1C P 1 1AC D
1C P 1BD P 1B C 1 1C BD∠
1 1Rt D C B 1
1 1
1
2 6cos 33
C BC BD BD
∠ = = =
( )f x (5 ) (5 )f x f x− = + ( ) ( )sing x f x xπ=
( ) ( )cosh x f x xπ=A．函数 是偶函数
B．10 是函数 的一个周期
C．对任意的 ，都有
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】BCD
【解析】∵函数 是偶函数，且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴10 是函数 的一个周期，B 对；
又∵ 是偶函数，且 ，
∴ ，
∴函数 是奇函数，A 错；
∵ ，
，
又 ，
∴ ，故 C 对；
∵ 是偶函数，且 ，
( )y g x=
( )f x
x∈R ( 5) ( 5)g x g x+ = −
( )y h x= 5x =
( )f x (5 ) (5 )f x f x− = +
(5 ) ( 5) (5 )f x f x f x− = − = +
[ ] [ ]( 5) 5 ( 5) 5f x f x+ − = + + ( ) ( 10)f x f x= +
( )f x
( )f x ( ) ( )sing x f x xπ=
( )( ) ( )sing x f x xπ− = − − ( )( ) sinf x x π= − ( )sin ( )f x x g xπ= − = −
( )y g x=
( 5)g x + = ( 5)sin ( 5)f x xπ+ + ( 5)sin(5 )f x xπ π= + + ( 5)sinf x xπ= − +
( 5)g x − = ( 5)sin ( 5)f x xπ− − ( 5)sin( 5 )f x xπ π= − − + ( 5)sinf x xπ= − −
( 5) ( 5)f x f x− = +
( 5) ( 5)g x g x+ = −
( )f x ( ) ( )cosh x f x xπ=∴ ，
，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴函数 的图象关于直线 对称，D 对；
故选：BCD．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．在三角形 中，点 是线段 的中点， ，则
______.
【答案】
【解析】因为 ，故 ，
化简得到 ，故 为直角三角形且 为斜边.
又 ，故 ，因为 为斜边上的中线，故 .
故答案为： .
14．已知数列 满足 ，则 ＝________.
【答案】4
(5 )h x+ = (5 )cos (5 )f x xπ+ + (5 )cos(5 )f x xπ π= + + (5 )cosf x xπ= − +
(5 )h x− = (5 )cos (5 )f x xπ− − (5 )cos(5 )f x xπ π= − − (5 )cosf x xπ= − −
(5 )h x+ = (5 )cos (5 )f x xπ+ + (5 )cos(5 )f x xπ π= + + (5 )cosf x xπ= − +
(5 ) (5 )f x f x− = +
(5 )h x+ = (5 )h x−
( )y h x= 5x =
ABC M BC 2 20,| | | |BC AB AC AB AC= + = −
AM =
5
| | | |AB AC AB AC+ = − 2 2| | | |AB AC AB AC+ = −
· 0AB AC = ABC∆ BC
2
20BC = 2 5BC = AM 5AM =
5
{ }na 2 1 2log log 1n na a+ − = 5 3
3 1
a a
a a
+
+【解析】因为 ，所以 ，即数列 是以 2 为公比
的等比数列，所以 .
故答案为：4.
15．在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 上的点，且满足 ，
设 ，则 ， 满足的相等关系式是____________ ；三角形 ABC
面积的最小值是______．
【答案】 ， 2
【解析】作
，面积最小值为 2
16．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折
起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为__________；若该
六面体内有一小球，则小球的最大体积为___________．
【答案】
1
2 1 2 2log log log 1n
n n
n
aa a a
+
+ − = = 1 2n
n
a
a
+ = { }na
2 2
25 3 3 1
3 1 3 1
4a a a q a q qa a a a
+ += = =+ +
ACD 45 45BCD∠ = ∠ = ，
AC , 2x BC y DC= = =， x y
1 1 1x y
+ =
,DE AC DF BC⊥ ⊥ 1DF DE∴ = = 1 1 1 1, 1BD AD
x AB y AB x y
∴ = = ∴ + =
1 1 11 2x y xy
∴ + = ≥
14 22xy S xy∴ ≥ ∴ = ≥
3 3
2
8 6
729
π【解析】（1）因为 ，所以该六面体的表面积为 .
（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，
每个三角形面积是 ，六面体体积是正四面体的 2 倍，所以六面体体积是 .
由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五
个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为 ，
所以 ，
所以球的体积 .
故答案为： ； .
四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）已知数列 满足： ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 n 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）令
当 时，
1 3 3 36 ( 1 )2 2 2S = × × × = 3 3
2
3
4
2
6
R
2 1 3 66 ( )6 3 4 9R R= × × × ⇒ =
3 34 4 6( )3
8 6
93 29 7V R ππ π= = =
3 3
2
8 6
729
π
{ }na ( )1 2 3
1 3 12
n
na a a a+ + +⋅⋅⋅+ = − n ∗∈N
{ }na
{ }nb 3 1logn n nb a a += { }nb nT
13 −= n
na 2 1 134 4
n
n
nT = − ⋅ +
( )1 2 3
1 3 12
n
n nS a a a a= + + +⋅⋅⋅+ = −
1n = 1 1a =当 时，
当 时，满足 ，
所以 的通项公式为 ．
（2）由（1）得
①．
②
由①减去②得
所以 的前 n 项和 ．
18．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面
， ，点 、 分别在线段 、 上，且 ，
其中 ，连接 ，延长 与 的延长线交于点 ，连接 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 时，求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）若直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 值．
2n ≥ 1
1 3n
n n na S S -
-= - =
1n = 1 1
1 3 1a −= = 13n
na −∴ =
{ }na 13 −= n
na
1 1
3 1 3log 3 log 3 3n n n
n n nb a a n− −
+= = = ⋅
( )1 2 2 11 3 2 3 3 3 1 3 3n n
nT n n− −= × + × + × +⋅⋅⋅+ − × + ×0
( )1 2 3 23 1 3 2 3 3 3 1 3 3n n
nT n n−= × + × + × +⋅⋅⋅+ − × + ×
3 3
n
n
nT n= ⋅- 1- 2 -2
{ }nb 2 1 134 4
n
n
nT = − ⋅ +
P ABCD− ABCD PA ⊥
ABCD 1 12PA AD AB= = = E M AB PC AE PM
AB PC
λ= =
0 1λ< < CE CE DA F , ,PE PF ME
ME ∕ ∕ PFD
1
2
λ = A PE F− −
PE PBC 5
5
λ【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】（Ⅰ）在线段 上取一点 ，使得 ， ，
且 ，
，
， 且 ，
且 ，
四边形为平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（Ⅱ）以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系
，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
， ，1， ， ，0，
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
，令 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
6
3
3
8
PD N PN
PD
λ=
PN PM
PD PC
λ= =
/ /MN DC∴ 1MN DCλ=
AE
AB
λ=
∴ 1AE ABλ= / /AB DC AB DC=
∴ AE MN=
∴
/ /ME AN∴
AN ⊂ PFD ME ⊂/ PFD
/ /ME∴ PFD
A AF AB AP x y z
(0A 0) (0P 1) (0B 0) ( 1C − 0) ( 1D − 0)
1
2
λ = (0E∴ 0) (1F 0)
PEA ( , , )n x y z=
(0,1, 1)PE = − (0,0,1)AP =
· 0
· 0
n PE y z
n AP z
= − =
= =
1z = 1y =∴ ∴ (0,1,1)m =
PEF ( , , )m x y z=
(0,1, 1)PE = − (1,0, 1)PF = −，
令 ， ， ， ，
，
，
二面角 的正弦值为 ．
（Ⅲ）令 ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
， ，
，令 ，
，
由题意可得： ，
，
， ．
· 0
· 0
m PE y z
m PF x z
= − =
= − =
1z = 1x∴ = 1y = ∴ (1,1,1)m =
∴ 1 1 3cos , | | | | 32 3
m nm n m n
+< >= = =
2 6sin , 1 cos , 3m n m n< >= − < > =
A PE F− − 6
3
(0E h 0) 0 2h (0, , 1)PE h= −
PEA 1 ( , , )n x y z=
(0,2, 1)PB = − ( 1,0,0)BC = −
1
1
· 2 0
· 0
n PB y z
n PB x
= − = = − =
1y =
1z∴ =
∴
1 (0,1,2)n =
1
1 2
1
| | | 2 | 5| cos , | 5| | | | 1 5
PE n hPE n
PE n h
−< > = = =
+
∴ 3
4h =
∴ 3
4AE = 3
8
AE
AB
λ = =19．（本小题满分 12 分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1
2,푎,푎 (0 < 푎
< 1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为휉.
（1）求휉的分布列及数学期望；
（2）在概率푃(휉 = 푖)(푖=0，1，2，3)中, 若푃(휉 = 1)的值最大, 求实数푎的取值范围.
【答案】（1）4푎 + 1
2 ，ξ 的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 1
2(1－a)2 1
2(1－a2) 1
2(2a－a2) 푎2
2
（2）(0,1
2]
【解析】
(1)P(ξ)是“ξ 个人命中，3－ξ 个人未命中”的概率．其中 ξ 的可能取值为 0、1、2、3.
P(ξ＝0)＝퐶01 (1 ― 1
2) 퐶02(1－a)2＝1
2(1－a)2；P(ξ＝1)＝퐶11·1
2 퐶02(1－a)2＋퐶01 (1 ― 1
2) 퐶12a(1－a)＝1
2(1－a2)；
P(ξ＝2)＝퐶11·1
2 퐶12a(1－a)＋퐶01 (1 ― 1
2) 퐶22a2＝1
2(2a－a2)；
P(ξ＝3)＝퐶11·1
2 퐶22a2＝푎2
2 .
所以 ξ 的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 1
2(1－a)2 1
2(1－a2) 1
2(2a－a2) 푎2
2
ξ 的数学期望为
E(ξ)＝0×1
2(1－a)2＋1×1
2(1－a2)＋2×1
2(2a－a2)＋3×푎2
2 ＝4푎 + 1
2 .
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝1
2[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；
P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝1
2[(1－a2)－(2a－a2)]＝1 ― 2푎
2 ；
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1
2[(1－a2)－a2]＝1 ― 2푎2
2 .
由{푎(1 ― 푎) ≥ 0,
1 ― 2푎
2 ≥ 0,
1 ― 2푎2
2 ≥ 0 和 0＜a＜1，得 0＜a≤1
2，即 a 的取值范围是(0,1
2].
20．（本小题满分 12 分）在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
．
求 A 和 B 的大小；
ABC
2 2 23 , 3asinC ccosA a c b ac= + = +
( )1若 M，N 是边 AB 上的点， ，求 的面积的最小值．
【答案】（1） ， （2）
【解析】 ，
由正弦定理得： ，
， ，
可得 ，即 ;
,
,
由 ．
由余弦定理可得： ，
，
．
如图所示:
设 ， ,
( )2 , 43MCN b
π∠ = = CMN
6A
π=
6B
π= 4 3
3
( )1 3asinC ccosA=
∴ 3sinAsinC sinCcosA=
0 C π< ( )2,a∈ +∞
( )f x ( )0,+∞ 2a >
1a e e
< + 12 a e e
< < +
( ) 21 1 0x axf x x ax x
− += + − = =′ 1x 2x
2 1 0x ax− + = 1x 2x 1 2
1 2 1
x x a
x x
+ =
=
1 20 1x x< < <
( )f x ( )10, x [ ]1 2,x x ( )2 ,x +∞
( )1m f x= ( )2n f x=
( ) ( ) 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 1ln ln2 2S m n f x f x x ax x x ax x = − = − = − + − − +
( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2
1 ln ln2 x x a x x x x= − − − + −.
令 ，于是 ，
，
由 ，得 ，
又 ，所以 .
因为 ，
所以 在 上为减函数，
所以 .
( ) 2 2
2 2 1 1 2 1 1 2 1
1 2
2 1 2 2 2 1 2
1 1 1ln ln ln2 2 2
x x x x x x xx x x x x x x x x
−= − − + = − × + = − − +
( )1
2
0,1xt x
= ∈ 1 1 ln2S t tt
= − − +
( )22 2
1 2 1 2 2 21 2
2
1 2 1 2
21 12 2,x x x xx xt a et x x x x e
+ −+ + = = = − ∈ +
2
2
1 1t et e
+ < + 2
2
1 t ee
< <
0 1t< < 2
1 1te
< <
2
2
1 1 1 1 11 1 02 2S t t t
= − + + = − −
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