一、单项选择题：
1．在复平面内，复数 是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】本题考查三角函数的符号,复数的几何意义.
复数 在复平面内对应点坐标为 因为 所以
则 是第二象限点.故选 B
2．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
， ，
， ，
并且 ，
，
综上可知 .
故选：B
cos3 sin3(z i i= +
cos3 sin3z i= + ( )cos3,sin3 ; 3 ,2
π π< <
cos3 0,sin3 0; ( )cos3,sin3
0.81.5a = 2log 5b = sin1 cos1c = − a b c
a b c> > b a c> > c b a> > b c a> >
0.81.5 1.5a = < 0.8 01.5 1.5 1a = > = ( )1,1.5a∴ ∈
2 2log 5 log 4 2b = > = 2b∴ >
1 ,4 3
π π ∈
sin1 cos1∴ > sin1 cos1 0∴ − >
( ) ( )sin1 0,1 ,cos1 0,1∈ ∈ sin1 cos1 1∴ − <
( )0,1c∴ ∈
b a c> >3．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：
在 上单调递增 在 上恒成立
又 在 上恒成立
当 时，
，解得：
本题正确选项：
4．在 中，已知 边上的中线 长为 2， ，则 （ ）
A．12 B．-12 C．3 D．-3
【答案】C
【解析】
即
( ) ( )sinxf x e x a= + ,2 2
π π − a
)2, +∞ [ )1,+∞ ( )1,+∞ ( )2,− +∞
( ) ( )sin cos 2 sin 4
x x xf x e x a e x e x a
π ′ = + + = + +
( )f x ,2 2
π π −
( ) 0f x′∴ ≥ ,2 2
π π −
0xe > 2 sin 04x a
π ∴ + + ≥ ,2 2
π π −
,2 2x
π π ∈ −
3,4 4 4x
π π π + ∈ −
2sin ,14 2x
π ∴ + ∈ −
(2 sin 1 , 24x a a a
π ∴ + + ∈ − + + 1 0a∴− + ≥ [ )1,a∈ +∞
B
ABC∆ BC AD 2BC = AB AC⋅ =
( ) ( ) ( )22 2 21 1 1 2 42 4 4AD AB AC AD AB AC AB AC AB AC= + ∴ = + = + + ⋅ =
2 2
2 16AB AC AB AC+ + ⋅ =
( ) ( )22 2 2
2 4BC AC AB BC AC AB AB AC AB AC= − ∴ = − = + − ⋅ = 相减得到
故选：
5．在数列 中，若 ，则该数列的前 50 项之和是（ ）
A．18 B．8 C．9 D．4
【答案】D
【解析】由题意得
故数列 为周期为 6 的周期函数.
且 .故该数列的前 50 项之和
.
故选：D
6．过抛物线 ： 焦点的直线交该抛物线 于点 ， ，与抛物线 的准线交于
点 ，如图所示，则 的最小值是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【解析】因为双曲线的焦点 ,
4 12 3AB AC AB AC⋅ = ∴ ⋅ =
C
{ }na 1 2 2 11, 3, ( 1)n n na a a a a n+ += = = − ≥
1 2 3 2 1 4 3 2 5 4 31, 3, 2, 1, 3,a a a a a a a a a a a= = = − = = − = − = − = −
6 5 4 2,a a a= − = − 7 6 5 1,a a a= − = 8 7 6 3,a a a= − = { }na
1 2 3 4 5 6 1 3 2 1 3 2 0a a a a a a+ + = + + − −+ −+ =+
( )1 2 3 4 5 6 49 50 15 20 8 4S a a a a a a a a a a= × + + + ++ + + + = =
C 2 4y x= C A B C
P PA PB⋅
(1,0)F所以设直线 的方程为 , ,则 ,
将 代入到 ,整理得 ,
则 , ,
所以 ,
,
所以
,当且仅当 ,即 时取得等号.
故选:C
7．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:① ，②CF
与 EN 所成的角为 ,③ //MN ，④二面角 的大小为 ,其中正确的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
AB ( 1)y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ( 1, 2 )P k− −
( 1)y k x= − 2 4y x= 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
2
1 2 2 2
2 4 42kx x k k
++ = = +
2
1 2 2 1kx x k
= =
1 2 1 2 1 2
4( 1) ( 1) ( ) 2y y k x k x k x x k k
+ = − + − = + − =
1 2 1 2 1 24 4 16 16 4y y x x x x= − ⋅ = − = − = −
1 1 2 2 1 2 1 2( 1, 2 ) ( 1, 2 ) ( 1)( 1) ( 2 )( 2 )PA PB x y k x y k x x y k y k⋅ = + + ⋅ + + = + + + + +
2
1 2 1 2 1 2 1 21 2 ( ) 4x x x x y y k y y k= + + + + + + +
2
2
4 41 2 1 4 2 4k kk k
= + + + − + × +
2 2
2 2
4 44 8 2 4 8 8 8 16k kk k
= + + ≥ ⋅ + = + = 2
2
4 4k
k
= 1k = ±
AN GC⊥
60° BD E BC N− − 45°【解析】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为 ，以 分别为
轴建立空间直角坐标系.则 ，所以
，所以 ，故①正确.由于 ，所以 CF 与 EN
所成的角为 ，而在 中， ，也即 是等边三角形，故
，所以②正确.由于 ，而 与 相交，故 不平行，③
错误.由于 ，所以 即是二面角 的平面角. 是等腰
直角三角形，所以 ，故④正确.
综上所述，正确的命题个数为 个.
故选：C.
8．过抛物线 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （在 轴上方），为
的准线，点 在 上且 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线 与 轴相交于点 ，与直线 相交于点 ， ，
2 , ,DA DC DG
, ,x y z ( ) ( ) ( ) ( )2,0,0 , 0,2,2 , 0,0,2 , 0,2,0A N G C
( ) ( )2,2,2 0,2, 2 0AN GC⋅ = − ⋅ − = AN GC⊥ / /EN AC
FCA∠ FAC∆ AF FC CA= = FAC∆
60FCA∠ = / /EN AC AC BD ,BD MN
,EB BC FB BC⊥ ⊥ EBF∠ E BC N− − EBF∆
45EBF∠ =
3
2: 4C y x= F 3 C M x l
C N l MN l⊥ M NF
2 3 3 3 5 2 2
l x P MN Q (1,0)F设 ，因为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，设 ，由焦半径公式得： ，
所以 ， ，
所以 ，
所以点 到直线 的距离为 .
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．已知 {第一象限角}， {锐角}， {小于 的角}，那么 A、B、C 关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于 A 选项， 除了锐角，还包括其它角，比如 ，所以 A 选项错误.
对于 B 选项，锐角是小于 的角，故 B 选项正确.
对于 C 选项，锐角是第一象限角，故 C 选项正确.
| | | |MN MF m= = | | 2, 30PF NQM= ∠ = | | 4,| | 2QF QM m= =
4 2m m+ = 4m = 0 0( , )M x y 0 1 4x + =
0 3x =
0 2 3y =
2 3 3sin sin 4 2
NPMNF NFP NF
∠ = ∠ = = =
M NF 3| | sin 4 2 32NM MNF⋅ ∠ = ⋅ =
A = B = C = 90°
B A C= ∩ C C=B∪ B A B= A B C= =
A C 330−
90对于 D 选项， 中角的范围不一样，所以 D 选项错误.
故选：BC
10．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个
原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分．7 个有效评分与 9 个原
始评分相比，发生改变的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【答案】BCD
【解析】中位数是将 9 个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，
因而去掉 1 个最高分和 1 个最低分，不变的是中位数，
平均数、方差、极差均受影响．
故选:BCD ．
11．已知两条直线 ， 及三个平面 ， ， ，则 的充分条件是（ ）．
A． ， B． ， ，
C． ， D． ， ，
【答案】ABC
【解析】由面面垂直定理可以判断 正确，
对于选项 ， ， ， ，也可以得到 ，故 错.
故选： .
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿
基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用
, ,A B C
l m α β γ α β⊥
l α⊂ l β⊥ l α⊥ m β⊥ l m⊥
α γ⊥ β γ l α⊂ m β⊂ l m⊥
, ,A B C
D l α⊂ m β⊂ l m⊥ α β∥ D
ABC
x∈R [ ]x表示不超过 x 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ．已知
函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
【答案】BC
【解析】根据题意知， ．
， ，
， ， 函数 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；
， 是奇函数，B 正确；
由复合函数的单调性知 在 上是增函数，C 正确；
， ， ，
，D 错误．
故选:BC．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．函数 的零点个数是_____；满足 f(x0)＞1 的 x0 的取值范围是
_____．
[ ]y x= [ ]3.5 4− = − [ ]2.1 2=
( ) e 1
1 e 2
x
xf x = −+
( ) ( )g x f x=
( )g x ( )f x
( )f x R ( )g x { }1,0,1−
( ) e 1 1 1
1 e 2 2 1 e
x
x xf x = − = −+ +
( ) ( ) e 11 1 01 e 2g f = = − = + ( ) ( ) 1 11 1 1e 1 2g f − = − = − = − +
( ) ( )1 1g g∴ ≠ − ( ) ( )1 1g g≠ − − ∴ ( )g x
( ) ( )e 1 1 1
1 e 2 1 e 2
x
x xf x f x
−
−− = − = − = −+ + ( )f x∴
( ) 1 1
2 1 exf x = − + R
e 0x > 1 e 1x∴ + > ( )1 1
2 2f x∴− < <
( ) ( ) { }1,0g x f x∴ = = −
( ) 2
2, 0
3, 0
x xf x x x
+ 【答案】2 （﹣1，0）∪（2，+∞）
【解析】 时， ， ，当 时， ，共 2
个零点，即零点个数为 2；
当 时， ， ，当 时， ，即 ，
∴ 的 的取值范围是 ．
故答案为：2； ．
14．已知函数 .
① 的最大值为________ ；
②设当 时， 取得最大值，则 ______.
【答案】
【解析】① ， (其中 ， )
当 ，即 时， 取最大值
②由题意可知
故答案为： ；
15．在平面几何中，若正方形 的内切圆面积为 外接圆面积为 则 ，推
0x > 2( ) 3 0f x x= − = 3x = 0x < ( ) 2 0, 2f x x x= + = = −
0x > 2( ) 3 1f x x= − > 2x > 0x < ( ) 2 1, 1f x x x= + > > − 1 0x− < <
0( ) 1f x > 0x ( 1,0) (2, )− +∞
( 1,0) (2, )− +∞
( ) sin 2cosf x x x= −
( )f x
x θ= ( )f x cosθ =
5 2 5
5
−
( ) sin 2cos 5 sin( )f x x x x ϕ= − = − 2 5sin 5
ϕ = 5cos 5
ϕ =
22x k
πϕ π− = + 22x k
π ϕ π= + + ( )f x 5
22 k
πθ ϕ π= + +
( )2 sin 2 sin2cos 5c s 2o 5k k
π ϕ π πθ ϕ ϕ + + = − + = − = −
=
5 2 5
5
−
ABCD 1,S 2 ,S 1
2
1
2
S
S
=广到立体几何中，若正方体 的内切球体积为 外接球体积为 ，则
_______．
【答案】
【解析】正方形 的内切圆半径为 外接圆半径为 ，半径比 ，面积比
为半径比的平方 ，类比正方正方体 内切球半径为 外接球半
径为 ，径比 ，所以体积比是半径比的立方 = ，填 ．
16．关于函数 ，给出以下四个命题，其中真命题的序号是_______.
① 时， 单调递减且没有最值；
②方程 一定有解；
③如果方程 有解，则解的个数一定是偶数；
④ 是偶函数且有最小值.
【答案】②④
【解析】对于命题①，当 时， .
当 时， ，则函数 在 上单调递
1 1 1 1ABCD A B C D− 1,V 2V
1
2
V
V
=
3
9
ABCD 1r ,
2r 1
2
1
2
r
r
=
1
2
1
2
S
S
=
1 1 1 1ABCD A B C D− 1r ,
2r 1
2
1
3
r
r
= 1
2
V
V
3
9
3
9
( )
1
xf x x
= −
0x > ( )y f x=
( ) ( )0f x kx b k= + ≠
( )f x k=
( )y f x=
0x > ( )
,0 11
, 11
x xxf x x xx
< −
0 1x< < ( ) ( )1 1 111 1 1
xxf x x x x
− += − = − = − −− − −
( )y f x= ( )0,1增，此时， ，当 时， ，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
所以，当 时，函数 不单调且没有最值，命题①错误；
对于命题②，当 时， ，当 时， ，
当 时，构造函数 ，
则函数 在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
所以，函数 在 上有且只有一个零点，
即当 时，方程 在 上有解.
函数 的定义域为 ，关于原点对称， ，
则函数 为偶函数，
同理可知，当 时，方程 在 上有解.
所以，命题②正确；
对于命题③，当 时，令 ，解得 ，则命题③错误；
对于命题④，由②可知，函数 是偶函数，由绝对值的性质可知 且
，则函数 为偶函数且最小值为 ，命题④正确.
( ) 0f x > 1x → ( )f x → +∞
1x > ( ) ( )1 1 111 1 1
xxf x x x x
− += = = +− − −
( )y f x= ( )1,+∞
0x > ( )y f x=
0x > ( )
,0 11
, 11
x xxf x x xx
< −
1x > ( )
1
xf x x
= −
0k > ( ) 111 1
xg x kx b kx bx x
= + − = + − −− −
( )y g x= ( )1,+∞
1x +→ ( )g x → −∞ x → +∞ ( )g x → +∞
( )y g x= ( )1,+∞
0k > ( )f x kx b= + ( )1,+∞
( )y f x= { }1x x ≠ ± ( ) ( )
1 1
x xf x f x
x x
−− = = =
− − −
( )y f x=
k 0< ( )f x kx b= + ( ), 1−∞ −
0k = ( ) 0f x = 0x =
( )y f x= ( ) 0f x ≥
( )0 0f = ( )y f x= 0因此，正确命题的序号为②④.
故答案为：②④.
四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）在 中，内角 的对边分别为 ，且
.
（1）求角 的大小.
（2）若 边上的中线 ，且 ,求 的周长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知
由正弦定理得：
由余弦定理得：
在 中，因为 ,所以
（2）由 ，得 ①
由（1）知 ，即 ②
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
sin sin ( )sinb B a A b c C= − +
A
BC 2 3AD = 2 3ABCS∆ = ABC∆
2
3A
π= 8 6 2+
sin sin ( )sinb B a A b c C= − +
2 2 2b a bc c= − −
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = −
ABC∆ (0, )A π∈ 2
3A
π=
1 3sin 2 32 4ABCS bc A bc∆ = = = 8bc =
2 2 2b a bc c= − − 2 2 2 8b c a+ = −在 中，由余弦定理得：
在 中，由余弦定理得：
因为 ，所以 ③
由①②③，得
所以
所以 的周长 .
18．（本小题满分 12 分）已知数列 满足 ，其中
．
（1）若数列前四项 ， ， ， 依次成等差数列，求 ， 的值；
（2）若 ，且数列 为等比数列，求 的值；
（3）若 ，且 是数列 的最小项，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析 （3）
【解析】（1）由已知递推式可得， ， ；
， ， ．
由等差数列知， ，得 ；
（2） ，则 ，
ABD∆ 2 2 2( ) (2 3) 2 2 3 cos2 2
a ac ADB= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠
ADC∆ 2 2 2( ) (2 3) 2 2 3 cos2 2
a ab ADC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠
cos cosADB ADC∠ = − ∠
2
2 2 242
ab c+ = +
2 28, 56, 8a b c bc= + = =
2 2 2( ) 2 72 6 2b c b c b c bc+ = + = + + = =
ABC∆ 8 6 2a b c+ + = +
{ }na ( )1
*
1
1
2n
n n
a
a a p nq n N+
= = + ⋅ − ∈
,p q R∈
1a 2a 3a 4a p q
0q = { }na p
1p = 5a { }na q
0p q= = 324 5q≤ ≤
1 1a = 2 1 2a p q= + −
2 1 2a a p q− = − 3 2 4 2a a p q− = − 4 3 8 3a a p q− = −
4 3 3 2 2 1a a a a a a− = − = − 0p q= =
0q = 1 2n
n na a p+ = + ⋅由 ，得 或 ．
当 时， ， ，满足题意；
当 时，由累加法得 ，满足题意；
（3） 时，
，
，
当 时，由 恒成立得， 恒成立．
设 ，只需求出 的最小值．
．
当 时， ，有 ；
当 时，直接验证 ；
故 为最小值，其值为 ，∴ ；
当 时，需满足 恒成立，
对 验证，
， ； ， ； ， ； ， ．
2
1 3 2a a a= 0p = 1
2p =
0p = 1n na a+ = 1na =
1
2p = 12n
na -=
1p =
1 2n
n na a qn+ − = −
5 6 1
5 (2 5 ) (2 6 ) [2 ( 1) ]n
na a q q n q−− = − + − + + − −
( )( )4 52 32 2
n n n q
+ −= − −
6n ≥ 5 0na a− ≥ ( )( )
12 64
4 5
n
q n n
+ −≤ + −
( )( )
12 64
4 5
n
nc n n
+ −= + − nc
( )
( )( )( )( )
1 2
1
2 3 20 128
4 5 4 5
n
n n
n n n
c c n n n n
+
+
− − +
− = + + − −
7n ≥ ( )2 3 20 3 20 8 0n n n n− − = − − ≥ > 1n nc c+ >
6n = 7 6c c>
6c 32
5
32
5q ≤
4n ≤ 5 0na a− ≤
1,2,3,4n =
1n = 3q ≥ 2n = 28
9q ≥ 3n = 24
7q ≥ 4n = 4q ≥综上， ．
19．（本小题满分 12 分）为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生，七天网络
从甲、乙两所学校各随机抽取 100 名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析，分
别绘制的频率分布直方图如图所示.
为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数
将其划分为“ ， ， ”三个不同的等级，并按照不同的等级，设置相应的对学校数学
学科教学质量贡献的积分，如下表所示.
测试分数 的范围 分数对应的等级 贡献的积分
等 1 分
等 2 分
等 3 分
（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为
“ 等”和“非 等”两种，利用分层抽样抽取 10 名考生，再从这 10 人随机抽取 3 人，求
3 人中至少 1 人数学测试为“ 等”的概率；
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，若从乙学校全体考生中随
机抽取 3 人，记 3 人中数学测试等级为“ 等”的人数为 ，求 的分布列和数学期望
；
324 5q≤ ≤
A B C
m
90 100m − 2 1 2 1sin sinx x x x− > −
( )2 1ln ln2
m x x− ( ) ( )2 1 2 1 2 1
1 1sin sin2 2x x x x x x= − − − > −
2 1
2 1ln ln
x xm x x
−> −
2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
− >−
2
1
xt x
= 1t > 1
ln
t tt
− > 1ln 0tt
t
−− <
1( ) ln th t t
t
−= − ( )2
1
( ) 0
2
t
h t
t t
−
′ = − < ( )h t (1, )+∞
1t > ( ) (1) 0h t h< = 2 1
1 2
2 1ln ln
x x x xx x
− >−
1 2m x x> 2
1 2x x m<
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > y x=
C 4 10
5
C
C 1 2,l l C ,M N ,M N
C MN 6( ,0)5
2
2 14
x y+ = 6( ,0)5【解析】（1）根据题意，设直线 与题意交于 两点.不妨设 点在第一象限，又
长为 ，
∴ ，∴ ，可得 ，
又 ，
∴ ，故题意 的标准方程为 ，
（2）显然直线 的斜率存在且不为 0，设 ，
由 得 ，∴ ，
同理可得
当 时， ，所以直线 的方程为
整理得 ，所以直线
当 时，直线 的方程为 ，直线也过点
所以直线 过定点 .
y x= ,P Q P
PQ 4 10
5
2 5 2 5,5 5P
2 2
4 4
5 5 1a b
+ =
2 2 2 25
4a b a b+ =
2 4a =
2, 1a b= = C
2
2 14
x y+ =
1 2,l l 1 2
1: 2, : 2l x my l x ym
= + = − +
2
2
2
14
x my
x y
= + + =
( )2 24 4 0m y my+ + =
2
2 2
2 8 4,4 4
m mM m m
− + −
+ +
2
2 2
2 8 4,4 1 4 1
m mN m m
− +
+ +
1m ≠ ± ( )2
5
4 1MN
mk
m
=
− MN
( )
2
2 22
4 5 2 8
4 44 1
m m my xm mm
− ++ = − + +−
( ) ( ) ( )2 2 2
5 6 5 6
54 1 4 1 4 1
m m my x x
m m m
− = + = − − − −
1m = ± MN 6
5x = 6 ,05
MN 6 ,05
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