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江苏省苏州市 2020 届高三数学上学期期末考试试题（含解析）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需要写出解答过程，请把答案直
接填在答题卡相应位置上.
1.已知集合 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
进行交集的运算即可．
【详解】 ， ，0，1， ，
， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义、交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.已知 i 是虚数单位，复数 的虚部为 3，则实数 b 的值为________.
【答案】1
【解析】
分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部为 3 求解 ．
【详解】 的虚部为 3，
，即 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.从 2 名男生和 l 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率
为________.
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件总数 ，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数 ，由此
【
{ }1A x x= ≥ { }1,0,1,4B = − A B =
{ }1,4
{ | 1}A x x= { 1B = − 4}
{1A B∴ ∩ = 4}
{1 4}
( )( )1 2z bi i= + +
b
(1 )(2 ) (2 ) (2 1)z bi i b b i= + + = − + +
2 1 3b∴ + = 1b =
2
3
2
3 3n C= = 1 1
2 1 2m C C= =- 2 -
能求出选中的恰好是一男一女的概率．
【详解】从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，
基本事件总数 ，
选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数 ，
则选中的恰好是一男一女的概率为 ．
故答案为： ．
点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
4.为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车
辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在 之间通过的车辆数是 440 辆，则在
之间通过的车辆数是________.
【答案】100
【解析】
【分析】
由频率分布直方图得在 ， 之间通过的车辆的频率为 0.44，在 ， 之间通过的车辆的频
率为 0.10，由此利用在 ， 之间通过的车辆数是 440 辆，能求出在 ， 之间通过的车辆
数．
【详解】由频率分布直方图得：
在 ， 之间通过的车辆的频率为 ，
在 ， 之间通过的车辆的频率为 0.10，
【
2
3 3n C= =
1 1
2 1 2m C C= =
2
3
mp n
= =
2
3
[ )5,7 [8,9)
[5 7) [8 9)
[5 7) [8 9)
[5 7) 0.24 0.20 0.44+ =
[8 9)- 3 -
设在 ， 之间通过的车辆数为 ．
在 ， 之间通过的车辆数是 440 辆，
，解得 ．
则在 ， 之间通过的车辆数为 100．
故答案为：100．
【点睛】本题考查在 ， 之间通过的车辆数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知
识，考查运算求解能力，是基础题．
5.如图是一个算法流程图，若输入的 x 值为 5，则输出的 y 值为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据算法流程图，一步一步进行运算，直到跳出循环.
【详解】输入 ，不满足 ，所以运行 ，
故答案为：2
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正
确的结论，是基础题．
6.已知等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的________条件.（填“充分
不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）
【答案】充分不必要
【解析】
[8 9) n
[5 7)
∴ 440
0.44 0.1
n= 100n =
[8 9)
[8 9)
5x = 0x < 2log (5 1) 2y = − =
{ }na 1 0a > 1 2a a< 3 5a a 1 2a a< 1 1a a q< 1q > ∴
2 4
3 1 1 5a a q a q a= < =
2 4
3 1 1 5a a q a q a= < = 2 1q > 1q > 1q < − 1q < − 1 1 2a a q a> =
∴ { }na 1 0a > 1 2a a< 3 5a a<
1F 2F ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
( )0,b 1 2 120F PF∠ = °
6
2
b c
xOy 1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
P (0, )b
1 2 120F PF∠ = ° 3c
b
= 2 2 2 23 3( )c b c a= = −
2 22 3c a= 6
2
ce a= =
6
2
0
0
1 0
x
x y
x y
≥
− ≤
+ − ≤
3z x y= +- 5 -
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【详解】作出不等式组 对应的平面区域如图：
设 得 ，
平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，
直线 的纵截距最大，此时 最大，
此时 ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键
.
9.如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥
底面半径相同.已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，则该冰
淇淋的体积是________ .
z
0
0
1 0
x
x y
x y
−
+ −
3z x y= + 1 1
3 3y x z= − +
1 1
3 3y x z= − + 1 1
3 3y x z= − + (0,1)A
1 1
3 3y x z= − + z
3z =
z
2
5
π 4 cmπ
3cm- 6 -
【答案】
【解析】
分析】
求出圆锥底面半径为 ，圆锥母线长 ，圆锥的高为 ，
半个冰淇淋小球的半径 ，由此能求出该冰淇淋的体积．
【详解】 圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，
圆锥底面半径为 ，圆锥母线长 ，
圆锥的高为 ，
半个冰淇淋小球的半径 ，
该冰淇淋的体积是： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查冰淇淋的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础
知识，考查运算求解能力．
10.在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 上存在点 P，使得过点 P 向
圆 作切线 PA（切点为 A），满足 ，则实数 m 的取值范围为
________.
【
( )16 6 1
3
π
+
4 22r
π
π= =
4 102
5
l
π
π
= =
2 210 2 4 6h = − =
2R =
2
5
π 4 cmπ
∴ 4 22r
π
π= =
4 102
5
l
π
π
= =
2 210 2 4 6h = − =
∴ 2R =
∴ 2 31 1 4 16 16 62 4 6 23 2 3 3V π π π+= × × × + × × × =
16 16 6
3
π+
( )2 0x my m m R+ + + = ∈
2 2: 2O x y+ = 2PO PA=- 7 -
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据题意，由切线的性质分析可得 ，进而结合点到直线的距离公式可得 ，
解可得 的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，圆 ，其圆心为 ，半径 ，
若点 向圆 作切线 ，满足 ，又由 ，
则有 ，变形可得 ，
若直线 上存在点 ，满足题意，必有 ，
变形可得： ，
解可得： 或 ，即 的取值范围为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，意在考查学生对这些知识
的理解掌握水平．
11.在平面直角坐标系 xOy 中，己知直线 与函数 图象
在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 ， ，…，若点 的横坐标为 1，则点 的横坐标为
________.
【答案】3
【解析】
【分析】
当 时， 得 ，或 ，依题意可
得 ，可求得 ，继而可得答案．
【详解】因为点 的横坐标为 1，即当 时， ，
所以 或 ，
的
0m ≤ 4
3m ≥
2PO = 2
| 2 | 2
1
m
m
+
+
m
2 2: 2O x y+ = O 2r =
P 2 2: 2O x y+ = PA 2PO PA= 2OA r= =
2 2 2| | | | | | 2PO PA OA− = = 2PO =
2 0( )x my m m R+ + + = ∈ P 2
| 2 | 2
1
m
m
+
+
23 4 0m m−
0m
4
3m m { | 0m m
4}3m
{ | 0m m
4}3m
1: 2l y = ( ) ( )sin 06f x x
πω ω = + >
1A 2A 1A 2A
1x = 1( ) sin( )6 2f x
πω= + = 26 6k
π πω π+ = + 52 ( )6 6k k Z
π πω π+ = + ∈
5
6 6
π πω + = ω
1A 1x = 1( ) sin( )6 2f x
πω= + =
26 6k
π πω π+ = + 52 ( )6 6k k Z
π πω π+ = + ∈- 8 -
又直线 与函数 的图象在 轴右侧的公共点从左到右依次为
， ，
所以 ，
故 ，
所以函数的关系式为 ．
当 时， （3） ，
即点 的横坐标为 3， 为二函数的图象的第二个公共点．
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的
运算能力及思维能力，属于中档题．
12.如图，在平面四边形 ABCD 中，己知 AD=3， ，E，F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角
线 AC，BD 的中点，则 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
可连接 ， ， ， ，根据题意即可得出四边形 为平行四边形，从而可得出
，然后进行数量积的运算即可．
【详解】如图，连接 ， ， ， ，
， 为 ， 的中点， ， 为对角线 ， 的中点，
四边形 为平行四边形，
1: 2l y = ( ) sin( )( 0)6f x x
πω ω= + > y
1A 2A …
5
6 6
π πω + =
2
3
πω =
2( ) sin( )3 6f x x
π π= +
2 3x = f 2 1sin( 3 )3 6 2
π π= × + =
2A ( 13, 2)
4BC =
PQ EF⋅
7
4
−
FP FQ EP EQ EPFQ
1 1( ), ( )2 2PQ AD BC EF AD BC= − = +
FP FQ EP EQ
E F AB CD P Q AC BD
∴ EPFQ- 9 -
， ，且 ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、向量加法的平行四边形法则、向量减法和数乘的
几何意义，考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
13.已知实数 x，y 满足 ，则 的最小值为________.
【答案】4
【解析】
【分析】
实数 ， 满足 ，化为： ，令 ， ，则
．解得 ， ．代入 ，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】实数 ， 满足 ，
化为： ，
令 ， ，则 ．
解得 ， ．
则
，当且仅当 ， 时，即 ， 时取等号．
∴ 1 ( )2PQ EQ EP AD BC= − = − 1 ( )2EF EP EQ AD BC= + = + 3AD = 4BC =
∴ 2 21 7( )4 4PQ EF AD BC= − = −
7
4
−
( ) 21 2x x y y+ = + 2 25 4x y−
x y 2( ) 1 2x x y y+ = + ( 2 )( ) 1x y x y+ − = 2x y m+ = x y n− =
1mn = x y 2 25 4x y−
x y 2( ) 1 2x x y y+ = +
( 2 )( ) 1x y x y+ − =
2x y m+ = x y n− = 1mn =
2
3
m nx
+=
3
m ny
−=
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 1 1 16 1 165 4 5( ) 4( ) ( 28 16 ) ( 28) (2 28) 43 3 9 9 9
m n m nx y m mn n m mm m
+ −− = − = + + = + + + =
2
1
2
m
n
= =
2
1
2
m
n
= − = −
1
1
2
x
y
= =
1
1
2
x
y
= − = −- 10 -
的最小值为 4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了基本不等式的性质、换元法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
14.已知函数 ，（其中 e 为自然对数的底数），若关于 x 的方程
恰有 5 个相异的实根，则实数 a 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出 图象，求出方程的根，分类讨论 的正负，数形结合即可.
【详解】当 时，令 ，解得 ，
所以当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减，
当 时， 单调递减，且 ，
作出函数 的图象如图：
（1）当 时，方程整理得 ，只有 2 个根，不满足条件；
（2）若 ，则当 时，方程整理得 ，
则 ， ，此时各有 1 解，
2 25 4x y∴ −
( )
, 2
4 8 , 25
x
ex xef x x xx
≤= − >
( ) ( )2 23 2 0f x a f x a− + =
2 4 1, 5 2e
( )f x ( )f x
2x ( ) 1 0x
ef x e
′ = − = 1x =
1x ( ) 0f x′ > ( )f x 1 2x ( ) 0f x′ < ( )f x
2x > 4 8 4 8( ) 5 5 5
xf x x x
−= = − ( ) [0f x ∈ 4)5
( )f x
0a = 2 ( ) 0f x =
0a > ( ) 0f x < 2 2( ) 3 ( ) 2 [ ( ) 2 ][ ( ) ] 0f x af x a f x a f x a+ + = + + =
( ) 2 0f x a= − < ( ) 0f x a= − 2 2( ) 3 ( ) 2 [ ( ) 2 ][ ( ) ] 0f x af x a f x a f x a− + = − − =
( ) 2f x a= ( )f x a= 2 1a = 1
2a = f 2
2 2 1
2
e
e e
= = >
( ) 2f x a= ( )f x a= 0a =
( ) 2f x a= ( )f x a=
( ) 2f x a= ( )f x a=
2 1
2 4
5
a
ae
> S 3( 4
πθ ∈ 5 )6
π
0S′ < S θ
4
π
S S 32
π +
2 3AO OB= = 2
3AOB
π∠ = 6AB =
BDO∆
sin sin
BD BO
BOD BDO
=∠ ∠
∴
2 3
sinsin( )6
BD
π θθ
=
−
2 3sin( )6
sinBD
πθ
θ
−
∴ =
2 3sin( )62 3 sinAD
πθ
θ
−
= −- 15 -
蜂巢区的面积：
，
整理，得 关于 的函数关系式为：
， ．
（2）对 求导，得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ， 递减，
当 时， ， 递增，
当 ， 时， ， 递减，
综上所述， 的最小值只可有在 或 趋近 时取得，
当 时， ，当 时， ，
当 为 时，蜂巢区的面积 最小， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查函数关系式、蜂巢区的面积最小值的求法，考查三角函数性质有生产生活
中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
18.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限
内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的“上辅
点”.已知椭圆 上的点 的上辅点为 .
∴
AOD CDB AOD BDOCOBS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆= + = + −扇形
21 16sin sin2 6 2 2 6AO AD AO BO BD
πθπ πππ
−
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
S θ
36 tanS θ πθ= + − 5( , )6 6
πθ π∈
36 tanS θ πθ= + − 2
36S sin θ′ = −
0S′ =
4
πθ = 3
4
πθ =
( , )6 4
π πθ ∈ 0S′ < S
3( , )4 4
π πθ ∈ 0S′ > S
3( 4
πθ ∈ 5 )6
π
0S′ < S
S 4
πθ = θ 5
6
π
4
πθ = 32S
π= + 5
6
πθ = 4 3 3 32S
ππ= − > +
∴ θ
4
π
S S 32
π +
( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > 31, 2
( )1, 3- 16 -
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若 的面积等于 ，求上辅点 Q 的坐标；
（3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并证明你
的结论.
【答案】（1） ；（2） ；（3）直线 PT 与椭圆相切，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据定义直接求解即可；（2）设点 ， ，则点 ， ，则可得到 ，
再根据 的面积可得到 ，进一步与椭圆方程联立即得解；（3）表示出直线
的方程，与椭圆方程联立，再判断△即可得出结论．
【详解】（1） 椭圆 上的点 的上辅点为 ，
辅圆的半径为 ，椭圆长半轴为 ，
将点 代入椭圆方程 中，解得 ，
椭圆 的方程为 ；
（2）设点 ， ，则点 ， ，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，
OPQ∆ 1
2
2
2 14
x y+ = ( )2, 2Q
0(Q x 0 )y 0(P x 1)y 0 12y y=
OPQ∆ 0 1 1x y = PT
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > 3(1, )2
(1, 3)
∴ 1 3 2R = + = 2a R= =
3(1, )2
2 2
2 14
x y
b
+ = 1b =
∴ E
2
2 14
x y+ =
0(Q x 0 )y 0(P x 1)y- 17 -
， ，
故 ，即 ，
又 ，则 ，
将 与 联立可解得 ，则 ，
点 的坐标为 ；
（3）直线 与椭圆 相切，证明如下：
设点 ， ，由（2）可知， ，
与辅圆相切于点 的直线方程为 ，则点 ，
直线 的方程为： ，整理得 ，
将 与椭圆 联立并整理可得， ，
由一元二次方程的判别式 ，可知，上述方程只有一个解，故直线 与椭圆
相切．
【点睛】本题以新概念为载体，旨在考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查通性通法
的运用，计算量较大，对计算能力的要求较高，属于较难题目．
19.已知数列 满足 ， ，其中 是数列 的前 n 项和.
（1）求 和 的值及数列 的通项公式；
（2）设 .
①若 ，求 k 的值；
②求证：数列（ 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.
【答案】（1） ， ， ；（2）①1，②见解析
【解析】
2 2
0 0 4x y+ = 2
20
1 14
x y+ =
2 2
0 14y y= 0 12y y=
0 0 1
1 1( )2 2OPQS x y y∆ = − = 0 1 1x y =
0 1 1x y =
2
20
1 14
x y+ = 0 2x = 0 2y =
∴ Q ( 2, 2)
PT E
0(Q x 0 )y 0 0
1( , )2P x y
Q 0
0 0
0
( )xy y x xy
− = − −
0
4( ,0)T x
PT
0
0
0
0
1
420 ( )4
y
y x xx x
− = −
−
0
0 0
2
2
xy y y
= − +
0
0 0
2
2
xy y y
= − + 2
2 14
x y+ =
2
2 0 0
2 2 2
0 0 0
21 0x xx xy y y
− + =
2 2
0 0
4 4
0 0
4 4 0x x
y y
= − = PT
E
{ }na 12 n nS na a= + 3 4a = nS { }na
1a 2a { }na
( )*
1 2 3
1 1 1 1
2 4 6 2n
n
T n NS S S S n
= + + + + ∈+ + + +
2 3kT T T=
{ }nT
1 0a = 2 2a = 2 2na n= −- 18 -
【分析】
（1）利用递推关系式求出数列的前几项，同时求出数列 的通项公式；（2）结合第一问
的结论求出 ，①直接代入 即可求解；②对于给定的 ，若存在 ，
， ， ，使得 ，只要找到相应的整数，即可证明．
【详解】（1） 时， ，所以 ，
时， ，所以 ，所以 .
由 ，①
所以 ，②
由② ①得 ，
即 ，③
当 时， ，④
由③ ④得 ，
即 ，
所以数列 是首项为 0，公差为 2 的等差数列，
故数列 的通项公式是 .
（2） ；
；
① ；
．
②对于给定的 ，若存在 ， ， ， ，使得 ；
，只需 ，
两边取倒数，即 ，即 ；
{ }na
1n
nT n
= + 1n
nT n
= +
*n N∈ k
t n≠ k *t N∈ n k tT T T=
2n = ( )2 2 1 1 22 2 2S a a a a= + = + 1 0a =
3n = 3 3 12 3 12S a a= + = 1 2 3 6a a a+ + = 2 2a =
12 n n nS na a na= + =
( )1 12 1n nS n a+ += +
− ( )1 12 1n n na n a na+ += + −
( ) 11n nna n a += −
2n ≥ ( ) ( )11 2n nn a n a−− = −
− ( ) ( ) ( )1 11 1 2 1n nn a n a n a+ −− + − = −
1 1 2n n na a a+ −+ =
{ }na
{ }na 2 2na n= −
1 1 1 1
2 ( 1) 1nS n n n n n
= = −+ + +
∴
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 4 6 2 2 2 3 1 1 1n
n
nT S S S S n n n n n
= + + +…+ = − + − +…+ − = − =+ + + + + + +
2 3kT T T= ×
∴ 2 3 1 11 3 4 2
k kk
= × = ⇒ =+
*n N∈ k t n≠ k *t N∈ n k tT T T=
1n
nT n
= + 1 1 1
n k t
n k t
= ×+ + +
1 1 1(1 (1 )(1 )n k t
+ = + + 1 1 1 1
n k t kt
= + +- 19 -
即 ， ；取 ，则 ；
；
对数列 中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积．
【点睛】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前 项和公式，考查了推理能力与计
算能力，属于难题．
20.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当函数 与函数 图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取值集合
；
（3）证明：当 时，函数 有两个零点 ， ，且满足
.
【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2） ；（3）见
解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求解单调性；（2）先求出公切线 的方程，再探讨 的取值范围；（3）先利
用导数研究函数 的单调性，证明零点个数．再使用函数思想，构造函数，利用导数研究
函数单调性解决不等式问题．
【详解】（1）对 求导，得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增．
当 ， 时， ， 单调递减．
（2）设公切线 与函数 的切点为 ， ，则公切线 的斜率 ，
kt nt nk n= + + ( 1)n kt k n
+= − 1k n= + ( 2)t n n= +
1 ( 2)n n n nT T T+ += ×
∴ { }nT
n
( ) ( )lna xf x a Rx
+= ∈
( )f x
( )f x ( ) lng x x=
10, 2a ∈
( ) ( )h x f x ax= − 1x 2x
1 2
1 1 1
x x a
+ <
( )10, ae − ( )1 ,ae − +∞ 1 ln 22
l a
( )h x
( ) a lnxf x x
+= 2
1( ) a lnxf x x
− −′ =
( ) 0f x′ = 1 ax e −=
1(0, )ax e −∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
1( ax e −∈ )+∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
l ( )g x lnx= 0(x 0 )y l 0
0
1( )k g x x
= ′ =- 20 -
公切线 的方程为： ，将原点坐标 代入，得 ，解得 ．
公切线 的方程为： ，将它与 联立，整理得 ．
令 ，对之求导得： ，令 ，解得 ．
当 时， ， 单调递减，值域为 ，
当 时， ， 单调递增，值域为 ，
由于直线 与函数 相切，即只有一个公共点，因此．
故实数 的取值集合为 ．
（3）证明： ，要证 有两个零点，只要证 有两个零
点即可． （1） ，
即 时函数 的一个零点．
对 求导得： ，令 ，解得 ．当 时， ，
单调递增；
当 时， ， 单调递减．当 时， 取最小值，
，
，必定存 在使得二次
函数 ，
即 ．因此在区间上 必定存在 的一个零点．
综上所述， 有两个零点，一个是 ，另一个在区间 上．
下面证明 ．
由上面步骤知 有两个零点，一个是 ，另一个在区间 上．
l 0 0
0
1 ( )y y x xx
− = − (0,0) 0 1y = 0x e=
l 1y xe
= ( ) a lnxf x x
+= 21a x lnxe
= −
21( )m x x lnxe
= −
22( ) x em x ex
−′ = ( ) 0m x′ =
2
e
(0, )2
ex∈ ( ) 0m x′ < ( )m x 2( , )2
ln +∞
( , )2
ex∈ +∞ ( ) 0m x′ > ( )m x 2( , )2
ln +∞
l ( )f x
a 1{ ln2}2
2
( ) a lnx axh x x
+ −= ( )h x 2( )k x ax lnx a= − −
k 0=
1x = ( )k x
( )k x 1( ) 2k x ax x
′ = − ( ) 0k x′ = 1
2
x
a
= 1
2
x
a
> ( ) 0k x′ >
( )k x
10
2
x
a
< < ( ) 0k x′ < ( )k x 1
2
x
a
= ( )k x
1( ) (1) 0
2
k k
a
< =
2 2 2 2 1( ) ( 1) 1 2k x ax lnx a ax x a ax x a ax x= − − > − − − = − + − > − + 0
1
2
x
a
>
2
0 0
1( ) 02u x ax x= − + >
0 0( ) ( ) 0k x u x> > 0
1( , )
2
x
a ( )k x
( )h x 1x = 1( , )
2a
+∞
1 2
1 1 1
x x a
+ <
( )h x 1x = 1( , )
2a
+∞- 21 -
不妨设 ， 则 ，下面证明 即可．
令 ，对之求导得 ，
故 （a）在定义域内单调递减， ，即 ．
证明完毕．
点睛】本题考察知识点众多，利用导数研究函数单调性，切线与导数的关系，利用导数研究
函数的零点个数，利用导数构造函数来证明不等式，对学生的思维能力和思维品质要求极高，
属于难题．
【
1 1x = 2
1
2
x
a
>
1 2 2
1 1 11 1 2ax x x
+ = + < + 11 2a a
+ <
1( ) 2 1v a aa
= − − 2
1 1( ) 0
2
v a a a
′ = − − <
v 1 1( ) 2 1 ( ) 02v a a va
= − − > = 11 2a a
+
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