黑龙江省齐齐哈尔市2020届高三（文）数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 黑龙江省齐齐哈尔市 2020 届高三（文）数学上学期期末考试试题（含 解析） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.若集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式求解集确定集合 ，再根据交集运算，即可求解. 【详解】由题意， ，则 故选： 点睛】本题考查交集运算，属于基础题. 2.已知 i 是虚数单位，复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，即可求解. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 3.已知函数 是定义在 上的偶函数，且 时， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【 { }2,1,3A = − { }2 1B x x= > A B = { }2,3− { }1,3 { }3 { }2,13− ， B { }1 1B x x x= > < −或 { }2,3A B∩ = − A 2 1 i i + =− 1 3 2 i+ 1 3 2 i− 1 3 4 i+ 1 3 4 i− ( )( ) ( )( ) 2 12 1 3 1 1 1 2 i ii iz i i i + ++ += = =− + − A ( )f x R 0x > ( ) 2 4xf x x= − ( (1)) =f f 2 2− 4 4−- 2 - 【解析】 分析】 根据偶函数定义，则有 ，代入即可求解. 【详解】由题意， 函数 是定义在 上的偶函数， ， 则 ， 故选： 【点睛】本题考查函数奇偶性，属于基础题. 4.已知双曲线的标准方程为 1（a＞0，b＞0），若渐近线方程为 y＝± x，则双 曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线 的渐近线方程是 ，可得 ，利用双曲线的离 心率 ，即可得出结论． 【详解】 双曲线 的渐近线方程是 ， ， 双曲线的离心率 ． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定 是关键． 5.已知向量 ， ，则 与 的夹角为（ ） 【 ( ) ( )f x f x− = ( )f x R ( ) ( )f x f x∴ − = 1(1) 2 4 2f = − = − 2( (1)) ( 2) (2) 2 4 2 4f f f f= − = = − × = − D 2 2 2 2 x y a b − = 3 2 3 3 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= ± 3b a = 21 ( )c be a a = = +  2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= ± ∴ 3b a = ∴ 21 ( ) 2c be a a = = + = 3b a = ( )1,0m = ( )3 3n = ， m n- 3 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量夹角公式，计算可解. 【详解】由题意， 则 与 的夹角为 故选： 【点睛】本题考查向量夹角公式，考查计算能力。属于基础题. 6.某校现有高一学生 630 人，高二学生 810 人，高三学生 900 人，学校用分层抽样的方法从 这三个年级的学生中抽取 n 个学生进行视力情况的调查，如果已知从高二的学生中抽取的人 数为 90 人，那么样本容量 （ ） A. 180 B. 260 C. 300 D. 320 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分层抽样，按比例计算，即可求解. 【详解】由题知，高一，高二，高三的学生人数之比为 ， 故选： 【点睛】本题考查分层抽样按比例抽取样本，属于基础题. 7.已知角 为钝角， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 6 π 5 6 π 3 π 2 3 π 3 1cos , 22 3 m nm n m n ⋅= = =      m n 3 π C n = 7 :9:10 9 907 9 10n∴ × =+ + 260n∴ = B θ 1cos( )2 3 π θ+ = − tan( 2 )π θ− = 2 2 2 2 3 2 4 2 7- 4 - 【解析】 【分析】 根据诱导公式，可得 ，可知 ，再根据诱导公式和二倍角公式，即可求 解. 【详解】由 ，可得 ， 由角 为钝角，可得 ， 则 ， 故 . 故选： 【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，属于基础题. 8.已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 ． 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，化简 为 ，再利用正弦定理将角 化成边，代入数值，即可求解. 【详解】由题意可得 由正弦定理得 因为 1sin 3 θ = 2tan 4 θ = − cos sin2 π θ θ + = −   1sin 3 θ = θ 2 1 2 2cos 1 sin 1 9 3 θ θ= − − = − − = − sin 2tan cos 4 θθ θ= = − ( ) 2 2 2tan 4 22tan 2 tan 2 11 tan 71 8 θπ θ θ θ− = − = − = =− − D ABC∆ A B C， ， a b c， ， 22 sin sin 1 cosA C B= − 2, 2 2a c= = b = 2 2 2 2 3 3 22 sin sin 1 cosA C B= − 22 sin sin sinA C B= 2 22 sin sin 1 cos sinA C B B= − = 22ac b= 2, 2 2a c= =- 5 - 所以 综上， 故选： 【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦定理 应用，属于基础题. 9.如图是一个程序框图，则输出 的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图，模拟计算过程即可求解. 【详解】程序框图的执行过程如下： ， ； ， ； ， ； ， ， 循环结束 故选 B. 【点睛】本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题. 10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 　　 的 . 2 2b = 2 2b = B k 1S = 10k = 10 11S = 9k = 9 11S = 8k = 8 11S = 7k = ( )- 6 - A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积． 【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：该几何体为上面为一个半径为 1 的球体， 下面为一个底面为边长为 2 的正方形，高为 3 的长方体． ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的 应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 11.已知函数 ，点 为函数 图象上两 点，且过 两点的切线互相垂直，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，对函数求导，且过 两点的切线互相垂直，则有 ，构造 根据基本不等式，即可求解最值. 【详解】 32 4π+ 432 3 π+ 24 4π+ 424 3 π+ 24 1 2 2 2 4 2 3 32 4S π π= ⋅ + × × + × × = +表 2( ) 2 ( 0)f x x x a x= + + < 1 1 2 2( , ( )) ( , ( ))A x f x B x f x、 ( )f x A B、 1 2x x< 2 1x x− 1 1 2 3 2 2 A B、 2 1( ) ( ) 1f x f x′ ′⋅ = − ( )2 1 1 2 1 2 2 2 22x x x x− = − + + +   ( ) 2 2f x x′ = +- 7 - ，过 两点的切线互相垂直， ， ， ， 当且仅当 ， 即 时等号成立， 的最小值为 . 故选： 【点睛】本题考查导数几何意义和基本不等式求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等 题型. 12.设函数 ， ， 是常数， ， ．若 在区间 ， 上具有单调性，且 ，则 的最小正周期为 　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 作图，根据 ，可得四分之一个最小正周期为 ，进而得解． 【详解】记函数 的最小正周期为 ， ，又 ， 且 ， 可作示意图如图所示， ， ， ． 1 2 0x x< ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 12x x x x x x   ∴ − = − + + + ≥ − + + =    ( )1 22 2 2 2 1x x− + = + = 1 2 3 1,2 2x x= − = − 2 1x x∴ − 1 A ( ) sin( )(f x A x Aω ϕ= + ω ϕ 0A > 0)ω > ( )f x [ 12 π− ]3 π 5( ) ( ) ( )3 2 6f f f π π π= = − ( )f x ( ) 2 π 3 4 π π 2π 5( ) ( ) ( )3 2 6f f f π π π= = − 4 π ( )f x T 5 2 3 12 12 T π π π+ = 5( ) ( ) ( )3 2 6f f f π π π= = − 2 3 6 π π π− = 1 2 1 5 1 5 2( ) , ( )2 3 2 12 2 2 6 3x x π π π π π π= × + = = × + = ∴ 2 5 4 3 12 4 T π π π= − = T π∴ =- 8 - 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑 推理能力、运算求解能力，求解时注意图形的应用. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.若抛物线 的一点 到其准线的距离为 3，则点 到 轴的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据抛物线定义，求解点 的横坐标，代入抛物线方程，即可求解. 【详解】由题意，抛物线 的准线方程为 ， 由 到其准线的距离为 3，则有 ，代入抛物线方程，解得 则点 到 轴的距离是 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的准线方程，属于基础题. 14.已知 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 __________________． 【答案】3. 【解析】 【分析】 画出满足条件的平面区域，由 z＝2x﹣y 得：y＝2x﹣z，平移直线 y＝2x﹣z，当过 A（1，﹣1 ）时，z 最大，代入求出 z 的最大值即可． 2 4y x= P P x 2 2 P 2 4y x= 1x = − P 2Px = 2 2Py = ± P x 2 2 2 2 2 0 2 0 1 0 x y x y y + + ≥  − − ≤  + ≤ 2z x y= −- 9 - 【详解】画出不等式组表示的可行域（三角形），由 得到 ，平移直线 ，由图形得，当直线经过可行域内的点 时，直线在 轴上的截距最小，此时 取 得最大值. 由 ，解得 ，所以点 的坐标为 ，得 . 故答案为 3. 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 15.在长为 的线段 上任取一点 ，现以 的长为邻边作矩形，则该矩形的面积 小于 5 的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，设 长为 ，则 ，计算矩形面积小于 5 时的 的取值范围，根据几 何概型长度型，计算概率. 【详解】设 长为 ，则 长为 ，矩形面积为 ， 由 ，解得 或 ， 所求概率为 故答案为： 【点睛】本题考查几何概型，属于基础题. 16.在直三棱柱 中，底面 为斜边长为 2 的直角三角形，顶点 ， ， ， 2z x y= − 2y x z= − 2y x z= − A y z 2 0 1 x y y − − =  = − 1 1 x y =  = − A (1, 1)− max 2 1 ( 1) 3z = × − − = 6m AB C ,AC BC 1 3 AC x 6BC x= − x AC x BC 6 x− ( )6x x− 0 6x< < ( )6 5x x− < 5x > 1x < ∴ 1 1 1 6 3P += = 1 3 1 1 1ABC A B C− ABC A B C- 10 - ， ， 都在球 的球面上，若球 的表面积为 ，则三棱柱 体积的最 大值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】 设 ， ， ，可得 ，设球的半径为 ，可求得 ，进而求得 ，由此得出答案． 【详解】不妨设 ， ， ，有 ，可得 ， 当且仅当“ ”时取等号，设球的半径为 ，则 ，故 ， 又 ， ， 三棱锥的体积为 ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查球的表面积及三棱锥的体积求法，考查基本不等式的运用，属于基础题． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． 17.在等差数列 中， ，公差 ，记数列 的前 项和为 ． （1）求 ； （2）设数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列通项公式列出方程求出首项 ，由此能求出前 项和 . 1A 1B 1C O O 8π 1 1 1ABC A B C− 2AB = BC a= AC b= 2ab R 2 2R = 1 2AA = 2AB = BC a= AC b= 2 2 4a b+ = 2 2 22 a bab + = a b= R 24 8Rπ π= 2 2R = 2 2 1(2 ) 4R AA= + 1 2AA∴ = ∴ 1 1 22V ab AA ab= =  { }na 3 4 12a a+ = 2d = { }2 1na − n nS nS 1n n n a S+       n nT 2 5, , ma a a mT 22nS n n= − 14 29mT = 1 1a = n nS- 11 - （2）由 成等比数列，得 ，再由 ，利用裂项求和法能求出 . 【详解】（1） 在等差数列 中， ，公差 ， ， 解得 ， ． 数列 的前 项和为 ， ， 是 1 为首项，4 为公差的等差数列， （2） 成等比数列， ， ， 解得 ． ， ． 【点睛】本题考查（1）等差数列的判定和前 项和公式；（2）裂项相消法求和，考查计算能 力，考查转化与化归思想，属于中等题型. 18.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班 40 名学生进行了问卷调查，得到了 如下的 列联表： 男生 女生 总计 2 5, , ma a a 14m = ( )( )1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n a S n n n n+  = = − − + − +  mT  { }na 3 4 12a a+ = 2d = 1 1( 2 2) ( 3 2) 12a a∴ + × + + × ＝ 1 1a = 1 ( 1) 2 2 1na n n∴ + − × = −= ∴ 2 1{ }na − n nS 2 1 2(2 1) 1 4 3na n n− = − − = − 2 1{ }na −∴ ( ) 21 4 3 22n n n nnS + −∴ = −= 2 5 ma a a ， ， 2 2 5ma a a∴ = 23(2 1) 9m∴ − ＝ 14m = ( )( )1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n a S n n n n+  = = − − + − +  14 1 1 1 1 1 1 1 112 3 3 5 5 7 27 29mT T  ∴ = − + − + − + + −  ＝ 1 1 1412 29 29  = − =   14 29mT∴ = n 2 2×- 12 - 喜爱打篮球 19 15 34 不喜爱打篮球 1 5 6 总计 20 20 40 （1）在女生不喜爱打篮球的 5 个个体中，随机抽取 2 人，求女生甲被选中的概率； （2）判断能否在犯错误的概率不超过 的条件下认为喜爱篮球与性别有关？ 附： ，其中 ． 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） ；（2）不能 【解析】 【分析】 （1）根据随机事件概率公式，计算即可求解； （2）根据题意，计算 ，与 比较，完成独立性检验. 【详解】（1）在女生不喜爱打篮球的 5 个个体中，随机抽取 2 人， 则女生甲被选中的概率 ； （2）根据题中给出的列联表， ， 故不能在犯错误的概率不超过 0.1 的条件下认为喜爱篮球与性别有关． 【点睛】本题考查（1）随机事件概率公式（2）独立性检验，考查计算能力，属于基础题. 0.1 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P K k≥ 0k 2 5 2K 0 =6.635k 1 4 2 5 4 2 10 5 CP C = = = ( ) ( )( )( )( ) 2 2 2 40(19 5 15 1) 3.137 6.63520 20 34 6 n ad bcK a b c d a c b d − × − ×= = ≈+ + + + × × × ＜- 13 - 19.如图，在三棱锥 中，底面 是等腰直角三角形， ， 分别为棱 的中点，且 ， ， ． （1）求证： ； （2）求证： ． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由勾股定理计算得 ，则有 ，根据线面垂直的判定定理， 即可证明； （2）由（1）中线面垂直，证线线垂直，再根据平行转化，可证线面垂直，即证面面垂直. 【详解】证明：（1） 分别为 的中点， ， 分别为 的中点， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查（1）线面垂直的证明（2）线面垂直证面面垂直，考查逻辑推理能力，属 P ABC− ABC∆ 8AB BC= = D E F， ， PC AC AB， ， PA AC⊥ 6PA = 5DF = PA ABC⊥ 平面 PAB DEF⊥平面 平面 DE EF⊥ PA EF⊥ D E 、 PC AC、 1/ / 32DE PA DE PA∴ =， ＝ E F 、 AC AB、 1 42EF BC∴ = = 2 2 2DE EF DF DE EF PA EF∴ + ∴ ⊥ ∴ ⊥＝ ， ， PA AC EF AC E⊥ ∩ ， ＝ PA ABC∴ ⊥ 平面 PA ABC⊥ 平面 / /DE PA DE ABC∴ ⊥ 平面 AB ABC⊂ 平面 DE AB⊥∴ / /EF BC AB BC⊥ ， EF AB∴ ⊥ DE EF E∩ ＝ AB DEF∴ ⊥ 平面 AB PAB⊂ 平面 PAB DEF∴ ⊥平面 平面- 14 - 于中等题型. 20.已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆上一点，且 到两焦点的 距离之和为 4． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 的直线交椭圆 于点 ， ，且满足 为坐标原点） ，求线段 的长度． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）直接由离心率及定义和 ， ， 之间的关系可得椭圆的标准方程； （2）设直线 的方程与椭圆联立的两根之和及之积，再由向量的关系得 的坐标，代入椭 圆的参数的值，由弦长公式求出线段 的长． 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ， ， ∴椭圆 的标准方程为： ； （2）由题意可得直线 的斜率不为零， ∴由题意设直线 为： ， ， ， 联立直线与椭圆的方程整理得： ， ∵△ ， ， ， ， ∴设中点 ， ， 再由 得： ， ∴点 ， ， 而点 在椭圆上，∴ ， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 P P C (3,0)A C M N 3 (OM ON OP O+ =   MN 2 2 14 x y+ = 3 a b c MN P MN 3 2 ce a = = 2 4a = 2a∴ = 3c = 2 2 2 1b a c= − = C 2 2 14 x y+ = MN MN 3x my= + ( , )M x y ( , )N x y′ ′ 2 2(4 ) 6 5 0m y my+ + + = 0> 2 6 4 my y m −′+ = + 2 5 4yy m ′ = + 2 24( ) 6 4x x m y y m ′ ′+ = + + = + 2 12(4D m+ 2 3 )4 m m − + 3OM ON OP+ =   2 3OD OP=  2 24( 3(4 ) P m+ 2 6 ) 3(4 ) m m − + P 2 2 2 2 2 2 24 36 14 3 (4 ) 3(4 ) m m m + =⋅ ⋅ + +- 15 - 整理得： ，解得： ； ∴线段 的长为 ． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推 理能力、运算求解能力，求解时注意坐标法的应用. 21.已知函数 ． （1）若函数 在定义域上是单调递增函数，求 的取值范围； （2）若 恒成立，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）根据题意，利用导数研究函数的单调性，则 在 恒成立，可得 ，方法一：令 在 恒 成 立 ， 利 用 二 次 函 数 性 质 ， 即 可 求 解 参 数 范 围 ； 方 法 二 ： 令 在 恒成立，转化不等式 ，利 用基本不等式求解 ，再根据恒成立思想，即可求解参数取值范围. （2）由题意，化简得 在 恒成立，令 ， 不难发现 ，即 在 恒成立，根据极值点概念，判断 是 的极值，可求解参数值，检验成立. 【详解】（1）函数 在定义域上是单调递增函数，可知导函数 在 恒成 立， 4 24 32 0m m− − = 2 8m = 2 2 2 2 2 2 2 2 36 5| | 1 | | 1 ( ) 4 1 4 3(4 ) 4 mMN m y y m y y yy m m m ′ ′ ′= + − = + + − = + ⋅ − ⋅ =+ + MN 3 ( ) ln ( )1 2 a af x x a Rx = + + ∈+ ( )f x a ( ) ( 1)2 af x x≤ + a ( ]4−∞， 4 3a = 2 1 0( 1) a x x − ≥+ ( )0, ∞+ 2 2 2 1 ( 1) 0( 1) ( 1) a x ax x x x x + −− = ≥+ + ( )2 2( ) ( 1) 2 1 0g x x ax x a x−= + = + − + ≥ ( )0, ∞+ ( )2 2( ) ( 1) 2 1 0g x x ax x a x−= + = + − + ≥ ( )0, ∞+ 12a xx − ≤ + 1 2xx + ≥ ln 01 2 a ax xx + − ≤+ ( )0, ∞+ ( ) ln 1 2 a ag x x xx = + −+ ( )1 0g = ( ) ( )1g x g≤ ( )0, ∞+ 1x = ( )g x ( )f x ( ) 0f x′ ≥ ( )0, ∞+- 16 - 即 在 恒成立， 可得 方法一：令 在 恒成立， ①当对称轴 ，即 时， 在 单调递增， ，即 恒成立； ②当对称轴 ，结合二次函数的性质要使在 恒成立， ， 即 ，解得 综上可得 的取值范围是 ； 方法二：令 在 恒成立， 可得 即 在 恒成立， ， ， 即 ， 故 的取值范围是 ； （2）由题意 恒成立， 即 在 恒成立， 令 ， 不难发现 ，即 那么 时， 取得最大值，也是极大值， 可知 是导函数的一个解． 2 1 0( 1) a x x − ≥+ ( )0, ∞+ 2 2 2 1 ( 1) 0( 1) ( 1) a x ax x x x x + −− = ≥+ + ( )2 2( ) ( 1) 2 1 0g x x ax x a x−= + = + − + ≥ ( )0, ∞+ 2 02 ax −= ≤ 2a ≤ ( )g x ( )0, ∞+ min( ) (0) 1g x g= = ( ) 0>g x 2 02 ax −= ＞ ( )0, ∞+ 0∆ ≤ 2(2 ) 4 0a− − ≤ 0 4a≤ ≤ a ( ]4−∞， ( )2 2( ) ( 1) 2 1 0g x x ax x a x−= + = + − + ≥ ( )0, ∞+ ( )2 1 2x a x+ ≥ − 12a xx − ≤ + ( )0, ∞+  1 2xx + ≥ 2 2a∴ − ≤ 4a ≤ a ( ]4−∞， ln ( 1)1 2 2 a a ax xx + + ≤ ++ ln 01 2 a ax xx + − ≤+ ( )0, ∞+ ( ) ln 1 2 a ag x x xx = + −+ ( ) ( )2 1 21 a ag x x x ′ = − − + ( )1 0g = ( ) ( )1g x g≤ 1x = ( )g x 1x =- 17 - 即 ， 解得 经检验，当 时， 在 递增，在 递减，从而 成立，符合题 意， 故得 ． 【点睛】本题考查（1）利用导数研究函数单调性求解参数范围（2）利用导数解决函数恒成 立问题，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． 22.已知曲线 ，直线 为参数）． （1）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值． 【答案】（1） ，（θ 为参数）， ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由参数方程与普通方程的转化方法分析即可得答案； （2）根据题意，设曲线 上任意一点的坐标为 ，由点到直线的距离公式可得 该点到直线 的距离 ，又由 ，结合三角函数的性质分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，曲线 ，其参数方程为 ， 为参数）， 直线 ，变形可得 ，即 ； （2）根据题意，设曲线 上任意一点的坐标为 ， ( )1 0g′ = 4 3a = 4 3a = ( )g x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )1g x g≤ 4 3a = 2 2 : 19 4 x yC + = 1: (1 2 x tl ty t = +  = − C l C P l 30° l A | |PA 3 2 x cos y sin θ θ =  = 2 3 0x y+ − = 20 2 6 5 5 + C (3cos ,2sin )θ θ l 5 5| 6cos 2sin 3| | 2 10 sin( ) 3|5 5d θ θ θ α= + − = + − | | sin30 dPA = ° 2 2 : 19 4 x yC + = 3cos 2sin x y =  = θ θ (θ 1: 1 2 x tl y t = +  = − 1 2( 1)y x− = − − 2 3 0x y+ − = C (3cos ,2sin )θ θ- 18 - 该点到直线 的距离 ，其中 为锐 角，且 ； 则 ， 当 时， 取得最大值，且其最大值为 ． 点睛】本题考查参数方程的应用，涉及普通方程与参数方程的转化，属于基础题． 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）对 及 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ） . 【解析】 【详解】详解：（Ⅰ） 当 时，由 ，解得 ； 当 时， 不成立； 当 时，由 ，解得 . 所以不等式 的解集为 . （Ⅱ）因为 ， 【 l 5 5| 6cos 2sin 3| | 2 10 sin( ) 3|5 5d θ θ θ α= + − = + − α tan 3α = 2 5| | | 2 10 sin( ) 3|sin30 5 dPA θ α= = + −° sin( ) 1θ α+ = − | |PA 20 2 6 5 5 + ( ) 2f x x= − ( ) ( )2 1 6f x f x+ + ≥ ( )1 , 0a b a b+ = > x R∀ ∈ ( ) ( ) 4 1f x m f x a b − − − ≤ + m ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ 13 5m− ≤ ≤ ( ) ( ) 13 3 , ,2 12 1 2 2 1 1, 2,2 3 3, 2. x x f x f x x x x x x x  −   1 2x < 3 3 6x− ≥ 1x ≤ − 1 22 x≤ ≤ 1 6x + ≥ 2x > 3 3 6x − ≥ 3x ≥ ( ) 6f x ≥ ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ ( )1 , 0a b a b+ = >- 19 - 所以 . 由题意知对 ， ， 即 ， 因为 ， 所以 ，解得 . 【点睛】⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解 ，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法． ⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不 等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最 值．一般有： ① 为参数）恒成立 ② 为参数）恒成立 ． ( )4 1 4 1 4 45 5 2 9b a b aa ba b a b a b a b  + = + + = + + ≥ + ⋅ =   x R∀ ∈ 2 2 9x m x− − − − − ≤ ( ) max 2 2 9x m x− − − − − ≤ ( ) ( )2 2 2 2 4x m x x m x m− − − − − ≤ − − − + = − − 9 4 9m− ≤ + ≤ 13 5m− ≤ ≤ ( ) ( )(f x g a a< max( ) ( )g a f x⇔ > ( ) ( )(f x g a a> max( ) ( )g a f x⇔