湖北省武汉市新洲区部分高中2020高三（理）数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 湖北省武汉市新洲区部分高中 2020 高三（理）数学上学期期末考试试 题（含解析） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的）. 1.已知全集 U=R，集合 ，则 A∩（ UB）=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解指数不等式求得集合 ，解对数不等式求得集合 ，求得 ，由此求得 . 【详解】由 可得，x＞-1，∴集合 A={x|x＞-1}， 由 log3x＜1 可得 0＜x＜3，∴ ， 那么：A∩（ ）={x| 或 x≥3}. 故选：D 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查指数不等式、对数不等式的解 法，属于基础题. 2.若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析： ，所以 ，得虚部为 1，故选 B. 考点：复数的代数运算 3.已知条件 关于 的不等式 有解；条件 为减函数， 则 成立是 成立的（ ） 3 1| 2 , { | 1}2 xA x B x log x = > = { }0 3U B x x x= ≤ ≥或 U B 1 0x− < ≤ 1i z i⋅ = + i :p x 1 3x x m− + − < ( ) ( ): 7 3 xq f x m= − p q- 2 - A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 条件 因为 ，而关于 的不等式 有解， 所以 ，条件 为减函数，所以 ，解得 ， 所以 成立是 成立的必要不充分条件. 4.已知函数 f（x） ，若角 的终边经过点 ，则 的值 为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】 先 利 用 三 角 函 数 的 定 义 求 出 ， 在 代 入 函 数 的 解 析 式 ， 即 可 求 出 的值． 【详解】∵ 的终边经过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及分段函数求函数值，是基础题． 5.若 是等差数列 的前 项和，其首项 ， ， ，则使 成立的最大自然数 是（ ） A. 198 B. 199 C. 200 D. 201 【答案】A 【解析】 【分析】 :p 1 3 3 1 2x x− + − ≥ − = x 1 3x x m− + − < 2m > ( ) ( ): 7 3 xq f x m= − 0 7 3 1m< − < 72 3m< < p q 5 4, 0 3 , 0x x x x +=  ≥ ＜ α ( )3, 4P − − ( )sinf f α   4sin 5 α = − ( )f x ( )sinf f α   α ( )3, 4P − − ( ) ( )2 2 4 4sin 53 4 α −= = − − + − ( ) 4sin 05f fα  = − =   ( ) ( )sin 0 1f f fα  = = nS { }na n 1 0a > 99 100 0a a+ > 99 100 0a a⋅ < 0nS > n- 3 - 先根据 ， ， 判断出 ；然后再根据等差数列前 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵ ， ∴ 和 异号； ∵ ， ， 有等差数列的性质可知，等差数列 的公差 ， 当 时， ；当 时， ； 又 ， ， 由等差数列的前 项和的性质可知，使前 项和 成立的最大自然数 是 . 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力． 6.设双曲线 （ ， ）的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的 离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意可知双曲线的渐近线一条方程为 ，与抛物线方程组成方程组 消 y 得， ，即 ，所以 ，选 D. 【点睛】 双曲线 （ ， ）的渐近线方程为 ． 直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组， 当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点． 当直线与抛物线对称轴不平行时，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点． 1 0a > 99 100 0a a+ > 99 100 0a a⋅ < 99 1000, 0a a> < n 99 100 0a a⋅ < 99a 100a 1 99 1000, 0a a a> + > 99 1000, 0a a∴ > < { }na 0d < 99, *n n N≤ ∈ 0na > 100, *n n N≥ ∈ 0na < ( ) ( )1 198 99 100 198 198 198 02 2 a a a aS + × + ×= = > ( )1 199 199 100 199 199 02 a aS a + ×= = < n n 0nS > n 198 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 2 1y x= + 3 2 6 5 by xa = 2 , 1 by xa y x  =  = + 2 21 0, ( ) 4 0b bx xa a − + = ∆ = − = 2( ) 4b a = 21 ( ) 5be a = + = 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > by xa = ± > 0∆- 4 - 当 时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当 时，直线与抛物线相离，没有交点． 7.某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如表： 广告费用 2 3 4 5 销售额 26 39 49 54 根据上表可得回归方程 ，据此模型预测，广告费用为 6 万元时的销售额为（ ） 万元 A. 65.5 B. 66.6 C. 67.7 D. 72 【答案】A 【解析】 ， ， 代 入 回 归 直 线 方 程 ， ，解得 ，所以回归直线方程为 ，当 时， ，故选 A. 8.已知 P 是△ABC 所在平面内﹣点， ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内， 则黄豆落在△PBC 内的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 推导出点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 ．从而 S△PBC= S△ABC．由此能求出将一粒黄 豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC， 则 = ， ∵ ，∴ ， 0∆ = ∆ < 0 x y x y  9.4y x a= + 2 3 4 5 3.54x + + += = 26 39 49 54 424y + + += = 42 9.4 3.5 a= × + 9.1a = ˆ 9.4 9.1y x= + 6x = 65.5y = 2 0PB PC PA+ + =    2 3 1 2 1 3 1 4 1 2 1 2 PB PC+  PD 2 0PB PC PA+ + =    2PB PC PA+ = −  - 5 - ∴ ，∴P 是△ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点， ∴点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 ． ∴S△PBC= S△ABC． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P= = ． 故选 B． 【点睛】本题考查概率 求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转 化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题． 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个 球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底 面，其体积为 而 球体的体积为 . 故组合体的体积为 故选 D 10.过函数 图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ） 的 2PD PA= −  1 2 1 2 PBC ABC S S   1 2 16 24 3 π+ 16 16 3 π+ 8 8 3 π+ 16 8 3 π+ 1 4 1 164 2 2 .3 3 × × × = 1 4 ( )31 4 824 3 3 π π× × = 16 8 3 π+ ( ) 3 21 3f x x x= −- 6 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求． 【详解】由函数 ，得 f′（x）=x2﹣2x， 设函数 图象上任一点 P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为 α（0≤α＜ π）， 则 f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1， ∴tanα≥﹣1， ∴0≤α＜ 或 ≤α＜π． ∴过函数 图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0， ）∪[ ，π）． 故答案为：B 【点睛】（1）本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正 切函数的单调性．（2）函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是 11.已知椭圆和双曲线有共同焦点 ， ， 是它们的一个交点， ，记椭圆和 双曲线的离心率分别 ， ，则 的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得： ，解出 【 30, 4 π     30, ,2 4 π π π   ∪      3 ,4 π π    3 2 4 π π    ， ( ) 3 21 3f x x x= − ( ) 3 21 3f x x x= − 2 π 3 4 π ( ) 3 21 3f x x x= − 2 π 3 4 π ( )y f x= 0x 0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x 0 0 0( )( )y y f x x x′− = − 1F 2F P 1 2 60F PF∠ °＝ 1e 2e 2 2 1 2e e+ 3 2 + 3 2 2 3 3 1 2 1 2 12 , 2PF PF a PF PF a+ = − =- 7 - ．利用余弦定理化简可得关于 的关系 ，再由基本不等式求得 的最小值． 【 详 解 】 不 妨 设 椭 圆 与 双 曲 线 的 标 准 方 程 分 别 为 ： ， 设 ，则 ， ． ， 化为： ． ∴ ， ∴ 所以 ， 当且仅当 时，取等号，则 的最小值是： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12.已知函数 ，若方程 有四个不等实根 ，时，不等式 恒成立，则实数 的最 小值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 1 2,PF PF 1 2,e e 2 2 1 2 1 3 4e e + = 2 2 1 2e e+ ( )2 2 2 2 1 12 2 2 2 1 1 ( )1 0 , 1 0, 0x y x ya b a ba b a b + > > − = > >＝ ( )1 2, ,PF m PF n m n= = > 12 , 2m n a m n a+ = − = 1 1,m a a n a a∴ = + = − 2 2 24 1cos60 2 2 m n c mn + −° = = ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 14a a a a c a a a a+ + − − = + − 2 2 2 13 4 0a a c+ − = 2 2 1 2 1 3 4e e + = , ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 31 1 3 1 1 34 4 2 3 14 4 4 2 e ee e e e e e e e          + =  + + = + + ≥ =  +  + 2 13e e= 2 2 1 2e e+ 31 2 + ( ) ( ) ln ,0 2, 4 ,2 4 x xf x f x x  < ≤=  − < = − −⋅< = = ⋅ ×      60θ = ° EN BMN 60°- 15 - 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法， 空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题. 19.设 分别是椭圆 的左、右焦点． (1)若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值； (2)设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，且 为锐角(其中 为坐标 原点)，求直线 的斜率的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)设出点 P 的坐标，向量坐标化得到 的表达式，进而得到最值；（2） 为锐 角即 ，设出点 AB 的坐标，向量坐标化得到点积的表达式为：x1x2＋y1y2,联立直线 和椭圆方程，由韦达定理得到结果. 【详解】(1)由已知得，F1(－ ，0)，F2( ，0)，设点 P(x，y)， 则 ＋y2＝1，且－2≤x≤2． 所以 · ＝(－ －x，－y)·( －x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－ ＝ x2－2， 当 x＝0，即 P(0，±1)时，( · )min＝－2； 当 x＝±2，即 P(±2，0)时，( · )max＝1． (2)由题意可知，过点 M(0，2)的直线 l 的斜率存在． 设 l 的方程为 y＝kx＋2， 由 消去 y，化简整理得 (1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得 k2> ． 1 2,F F 2 2 14 x y+ = P 1 2PF PF⋅  ( )0,2M l ,A B AOB∠ O l 2− ,1 3 32, ,22 2k    − − ∪       ∈   1 2PF PF⋅  AOB∠ 0OA OB⋅ > - 16 - 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 又∠AOB 为锐角，所以 · ＞0，即 x1x2＋y1y2＞0， 有 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝(1＋k2)· ＋2k· ＋4＞0，解得 k2＜4， 所以 ＜k2＜4，即 k∈ ． 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程 是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题， 最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一， 尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 20.2018 年国际乒联总决赛在韩国仁川举行，比赛时间为 12 月 13﹣12 月 16 日，在男子单打 项目，中国队准备选派 4 人参加.已知国家一线队共 6 名队员，二线队共 4 名队员. （1）求恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率； （2）设随机变量 X 表示参加比赛的国家二线队队员的人数，求 X 的分布列； （3）男子单打决赛是林高远（中国）对阵张本智和（日本），比赛采用七局四胜制，已知在 每局比赛中，林高远获胜的概率为 ，张本智和获胜的概率为 ，前两局比赛双方各胜一局， 且各局比赛的结果相互独立，求林高远获得男子单打冠军的概率. 【答案】（1） ；（2）分布列见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）国家一线队共 6 名队员，二线队共 4 名队员．选派 4 人参加比赛，基本事件总数 ，恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数 ，由此能求出恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率．（2） 的取值为 0，1，2，3，4，分别求出相应的概率 ，由此能求出 X 的分布列．（3）分别求出 获胜、 获胜、 获胜的概率，由此利用 互斥事件概率加法公式能求出林高远获得冠军的概率． 【详解】(1)国家一线队共 6 名队员，二线队共 4 名队员.选派 4 人参加比赛， 基本事件总数 ， 3 32, ,22 2    − − ∪          2 3 1 3 8 21 64 81 4 10n C= 3 1 6 4m C C= X 4:1 4: 2 4:3 4 10n C=- 17 - 恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数 ， ∴恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率 p . (2) 的取值为 0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， ∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P (3) 获胜的概率 ， 获胜的概率 ， 获胜的概率 ， 所以林高远获得冠军的概率为 . 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥 事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.已知函数 . （1）当 ，求函数 的极值； 3 1 6 4m C C= 3 1 6 4 4 10 8 21 C Cm n C = = = X ( ) 10 14P X = = ( ) 81 21P X = = ( ) 32 7P X = = ( ) 43 35P X = = ( ) 14 210P X = = 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 4:1 3 1 2 8 3 27P  = =   4: 2 2 2 2 3 2 1 2 8 3 3 3 27P C  = × × × =   4:3 2 2 2 3 4 2 1 2 16 3 3 3 81P C    = × × × =       1 2 3 64 81P P P P= + + = ( ) ( ) 2ln 1 1f x a x a x+ − +＝ 1 2a = ( )f x- 18 - （2）当 时，在函数 图象上任取两点 ，若直线 的斜率的绝对值都不小于 ， 求 的取值范围. 【答案】（1）极大值为 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的极值； （2）结合直线的斜率公式可转化为函数的恒成立，结合导数可求． 【详解】(1)定义域为 ， 1， ， 由 可得 ， ∴函数 在 上单调递增，在 单调递减； ∴ 的极大值为 ， (2)设 ，不妨设 ， ， 所以 ， 又 ，又 ， 在定义域内恒成立，又 , 所以 ,所以 5， ， 即 ， 构造函数 ， 所以 ， 所以 在 上恒成立， 0a < ( )f x ,A B AB 5 a 1 3ln24 4 − + 2 3 6 4a −≤ (0, )+∞ 21 1ln2 2( )f x x x= − + 21 2'( ) 2 xf x x −= '( ) 0f x = 2 2x = ( )f x 20 2       ， 2 2  + ∞    ， ( )f x 1 3ln 24 4 − + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2x x< 2 1 2 1 AB y yk x x −= − 2 1 2 1 5y y x x − ≥− ( )( )' 2 1af x a xx = + − 0a < ( )' 0f x < 1 2x x< 1 2y y> 2 1 2 1 y y x x −− ≥− 2 2 1 15 5y x y x+ ≤ + 2 2 2 2 2 1 1 1( ) ( )ln 1 5 ln 1 5a x a x x a x a x x+ − + ≤ + − + 2( ) ( )ln 1 5g x a x a x x= + − + 2 1( ) ( )g x g x≤ '( ) 0g x ≤ (0, )+∞- 19 - 又 , 所以 恒成立， 又 ,只需要 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的的极值及导数几何意义的应用，属于中档试题． 22.在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，在以直角坐标系的原 点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求△AOB 的面积． 【答案】(1) (2)12 【解析】 试题分析：（1）利用消元，将参数方程和极坐标方程化为普通方程； （2）利用弦长公式求|AB|的长度，利用点到直线的距离公式求 AB 上的高，然后求三角形面 积 试题解析： (1)由曲线 C 极坐标方程 得 , 所以曲线 C 的直角坐标方程是 . 由直线 l 的参数方程 ，得 ，代入 中，消去 t 得 ， 所以直线 l 的普通方程为 . (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 ，得 ， 设 A，B 两点对应的参数分别为 . 则 ＝8， ＝7， 的 ( ) 22 1' ) 5( a x x ag x x − + += 2(2 1 0) 5a x x a− + + ≤ 0a < (25 8 1 0)a a∆ = − − ≤ 2 3 6 4a −≤ 1 3 x t y t = +  = − 2 2cosθρ sin θ= 4 0x y－ － ＝ 2 2cosθρ ,sin θ= 2 2 2sin cosρ θ ρ θ= 2 2y x＝ 1 3 x t y t = +  = − 3t y+＝ 1x t+＝ 4 0x y－ － ＝ 4 0x y－ － ＝ 2 2y x＝ 2 8 7 0t t +－ ＝ 1 2t t， 1 2t t+ 1 2t t- 20 - 所以|AB|＝ | |＝ × ＝6 ， 因为原点到直线 x－y－4＝0 的距离 d＝ ＝2 ， 所以△AOB 的面积是 |AB|·d＝ ×6 ×2 ＝12 点睛：(1)过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为 (t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即 t＝|PP0|时为距离．使用 该式时直线上任意两点 P1，P2 对应的参数分别为 t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2 的中点对 应的参数为 (t1＋t2)． 23.已知函数 f(x)＝|x－a|－ x(a＞0)． (1)若 a＝3，解关于 x 的不等式 f(x)＜0； (2)若对于任意的实数 x，不等式 f(x)－f(x＋a)＜a2＋ 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）{x|2＜x＜6}（2）(1，＋∞) 【解析】 试题分析：（Ⅰ）将 a 的值带入 f（x），原不等式等价于﹣ x＜x－3＜ x，解之即可； （Ⅱ）求出 f（x）=|x﹣a|﹣|x|+ ，原问题等价于|a|＜a2，求出 a 的范围即可． 试题解析： (1)当 a＝3 时，f(x)＝|x－3|－ x，即|x－3|－ x＜0，原不等式等价于－ ＜x－3＜ ，解得 2＜x＜6，故不等式的解集为{x|2＜x＜6}． (2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋ ， 原不等式等价于|x－a|－|x|＜a2， 由绝对值三角不等式的性质， 得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|， 原不等式等价于|a|＜a2， 又 a＞0，∴a＜a2，解得 a＞1. ∴实数 a 的取值范围为(1，＋∞)． 点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将 2 1 2t t− 2 ( )2 1 2 1 24t t t t+ − 2 4 1 1 − + 2 1 2 1 2 2 2 0 0 x x tcos y y tsin α α = +  = + 1 2 1 2 2 a 1 2 1 2 2 a- 21 - 原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法． 2．f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a 恒成立⇔f(x)min＞a.