吉林省榆树市第一高级中学2020届高三（文）数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 吉林省榆树市第一高级中学 2020 届高三（文）数学上学期期末考试试 题（含解析） 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分. 1.若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵ ∴ ∵集合 ∴选项 满足要求 故选 A. 2.已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算化简 ，由此求得 的虚部. 【详解】 ，故虚部为 . 故选：C 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题. 3.设 满足约束条件 , 则 的最小值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 { }| 0B x x= ≥ A B A= A { }1,2 { }| 1x x ≤ { }1,0,1− R A B A∩ = A B⊆ { | 0}B x x= ≥ A 1 = − iz i i z 1 2 i 1 2 i− 1 2 1 2 − z z ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 i ii iz ii i i + − += = = = − +− − + 1 2 ,x y 3 0 0 2 x y x y x − + ≥  + ≥  ≤ 3z x y= + 5− 4 3− 11- 2 - 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示． 由 可得 ．平移直线 ，结合图形可得，当直线 经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 也取得最小值． 由 ，解得 ，故点 A 的坐标为 ． ∴ ．选 C． 4.已知 ， ， ，则 a, b, c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为 ，所以由指数函数的性质可得 ， ，因此 ,故选 A. 考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题. 【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属 于中档题.多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常 是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以 为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各 个数按顺序排列. 3z x y= + 3y x z= − + 3y x z= − + 3y x z= − + 3 0 0 x y x y − + =  + = 3 2 3 2 x y  = −  = 3 3( , )2 2 − min 3 33 ( ) 32 2z = × − + = − 1.22a = 0.81( )2b −= 52log 2c = c b a< < c a b< < b a c< < b c a< < 0.8 0.81( ) 22b −= = 0.8 1.21 2 2b a< = < = 5 52log 2 log 4 1c = = < c b a< < 0,1- 3 - 5.若 是定义在 上的偶函数，在 为增函数，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 判断出 的单调性，由此化简不等式 ，求得不等式的解集. 【详解】由于 是定义在 上的偶函数，且在 上递增，所以在 上递减. 由 得 ，所以不等式的解集 为 . 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题. 6.已知椭圆 与圆 ，若椭圆 上存在点 P，使得由 点 P 所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 画出图像，根据图像判断出 ，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小 值. 【详解】设过 作圆的切线，切点为 ，连接 .由于 ， ( )f x [ ]-2,2 [ ]-2,0 ( 1) (2 )f x f x− ≤ 21, 3  −   11, 3  −   [ ]1,1− 1 ,13      ( )f x ( 1) (2 )f x f x− ≤ ( )f x [ ]2 2− , [ ]2,0− [ ]0,2 ( 1) (2 )f x f x− ≤ 2 1 2 2 2 2 1 2 x x x x − ≤ − ≤ − ≤ ≤  − ≥ ( )2 2 1 3 1 1 1 4 x x x x − ≤ ≤⇒ − ≤ ≤  − ≥ 11 3x⇒ − ≤ ≤ 11, 3  −   2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 2 :C x y b+ = 1C 2C 1C 3 3 3 2 2 2 1 2 2b a≤ P ,A B , ,OA OB OP PA PB⊥- 4 - 根据切线的对称性可知 .在 中有 ，即 ，所以 ，即 ，化简得 ， ，所以椭圆 离心率的最小值为 . 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合 的数学思想方法，属于中档题. 7. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 为 的外心 ，则 （ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 取 的中点 ，可得 ，这样 ，然后都用 表示后 运算即可． 【详解】取 的中点 ，连接 ，∵ 是 外心，∴ ， ， 4APO BPO π∠ = ∠ = Rt OAP∆ 2OP OA a= ≤ 2b a≤ 2 22b a≤ ( )2 2 22 a c a≤− 2 22a c≤ 2 12 c a ≤ < 1C 2 2 ABC∆ A B C a b c 3b = 2c = O ABC∆ AO BC⋅ =  13 2 5 2 5 2 − BC D 0OD CB⋅ =  AO BC⋅  AD BC= ⋅  ,AC AB  BC D ,OD AD O ABC∆ OD BC^ 0OD CB⋅ = - 5 - ． 故选：B． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取 的中点 ，把 转化为 ，再选取 为基底，用基底进行运算． 8.执行如图所示的程序框图，当输出 时，则输入 的值可以为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算 S=n×（n-1）×…×5 的值， 由于 S=210=7×6×5， 可得：n=7，即输入 n 的值为 7． 故选 B． 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体 ( )AO BC AD DO BC AD BC DO BC⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅         1 ( ) ( )2AD BC AC AB AC AB= ⋅ = + ⋅ −      2 2 2 21 1 5( ) (3 2 )2 2 2AC AB= − = − =  BC D AO BC⋅  AD BC⋅  ,AC AB  210S = n 6 7 8 9- 6 - 积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图判断出几何体由半个球和半个圆柱构成，由此计算出几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体的上半部分是半个球，下半部分是半个圆柱，故体积为 . 故选：C 【点睛】本小题主要考查由三视图还原原图，考查球和圆柱体积有关的计算，属于基础题. 10.已知锐角 满足 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由 cos（α﹣ ）=cos2α，得 ， 14 3 π 10 3 π 8 3 π 5 3 π 3 21 4 1 81 1 42 3 2 3 π ππ× × + × × × = α cos( ) cos24 πα α− = sin cosα α 1 4 1 4 − 2 4 2 4 − 4 π 2 2cos cos sin sin cos sin4 4 π πα α α α+ = − 2 (sin cos ) (sin cos )(cos sin )2 α α α α α α+ = + −- 7 - ∴sinα+cosα＞0， 则 cosα﹣sinα= ． 两边平方得： ， ∴ ． 故答案为 A． 11.抛物线 焦点 与双曲线 一个焦点重合，过点 的直线 交 于点 、 ，点 处的切线与 、 轴分别交于 、 ，若 的面积为 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 双曲线的一个焦点为 ，所以 ，设点 ，则利用导数得到 处切线方程 ，求出 的坐标后利用 的面积为 4 得到 ，最后利用焦半径 公式可求 . 【详解】双曲线的一个焦点为 ，所以 .设点 ， 故抛物线在点 处切线 斜率为 ，切线方程为 ， 所以 ，所以 ，故 ， ，故选 C. 的 (0, )2 πα ∈ 2 2 11 2sin cos 2 α α− = 1sin cos 4 α α = 2: 2 ( 0)C x py p= > F 2 22 2 1y x− = F C A B A x y M N OMN∆ 4 | |AF 3 4 5 6 ( )0,1F 2p = 2 1 1, 4 xA x      A 2 1 1 2 4 x xy x= − ,M N OMN∆ 1 4x = ± AF ( )0,1F 2p = 2 1 1, 4 xA x      A 1 2 xk = ( ) 2 2 1 1 1 1 12 4 2 4 x x x xy x x x= − + = − 2 1 1,0 , 0,2 4 x xM N    −      3 11 42 8OMN x S∆ = = 1 4x = ± 2 1 4 1 54 2 x pAF = + = + =- 8 - 【点睛】若求抛物线 上点 的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率， 再结合切线方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛物线的焦半径公式来求. 12.已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ，记数列 的 前 项和为 ，则 （ ） A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019 【答案】A 【解析】 【分析】 由 得到 ，即 ，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列 的前 项和为 ， 当 时， ； 当 时， ， 上式对 时也成立， ∴ ， ∴ ， ∵函数 的周期 ， ∴ ， 故选 A. 【点睛】本题考查 知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主 要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13.学校艺术节对同一类的 ， ， ， 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前， 甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 的 ( )2 2 0x py p= > A { }na n 2 nS n n= − { }nb 1sin 2n n nb a π+= { }nb n nT 2017T = 2 nS n n= − 2 2na n= − nb = 2( 1)cos 2 nn π− { }na n 2 nS n n= − 1n = 1 1 1 1 0a S= = − = 2n 1n n na S S −= − 2 2( 1) ( 1) 2 2n n n n n = − − − − − = −  1n = 2 2na n= − cos 2n n nb a π= = 2( 1)cos 2 nn π− cos 2 ny π= 2 4 2 T π π= = ( )2017 1 5 2013T b b b= + + + + ( 2 6b b+ )2014b+ + ( ) ( )3 7 2015 4 8 2016 2017b b b b b b b+ + + + + + + + +  0 2(1 5 2013) 0= − + + + + + 2(3+ 7 2015) 0 4 504 2016+ + + = × = A B C D- 9 - 甲说：“ 或 作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”； 丙说：“ ， 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“ 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 【答案】B 【解析】 【分析】 首 先 根 据 “ 学 校 艺 术 节 对 四 件 参 赛 作 品 只 评 一 件 一 等 奖 ” ， 故 假 设 分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出 结果． 【详解】若 A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若 B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若 C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若 D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故 B 获得一等奖． 【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做 本题的时候，可以采用依次假设 为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是 否正确． 14.若直线 与圆 相切，且圆心 C 在直线 l 的上方， 则 ab 的最大值为___________． 【答案】 . 【解析】 【分析】 根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，求得 的关系，利用二次函数的性 质求得 的最大值. 【详解】圆的圆心为 ，半径为 ，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径， 即 .由于圆心 在直线 的上方，所以 ，即 ， 所 以 ， ， 则 C D B A D C A B C D、 、 、 A B C D、 、 、 A B C D、 、 、 2 0l x y+ =： ( ) ( )2 2: 10C x a y b− + − = 25 4 ,a b ab ( ),a b 10 2 10, 2 5 2 5 a b a b + = + = ( ),a b 2 xy = − 2 ab > − 2 0a b+ > 2 2 5 2a b a b+ = + = 5 2 2a b= −- 10 - ， 对 称 轴 为 ， 所 以 的 最 大 值 为 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点和直线的位置关系，考查化归与转化 的数学思想方法，属于中档题. 15.在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BD，∠BCD=30°，AB2+4BD2=6，若将△ABD 沿 BD 折成直二面角 A-BD-C，则三棱锥 A-BDC 外接球的表面积是______. 【答案】 . 【解析】 【分析】 先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线 与中截面的交点，再由 求得外接球的半径，进而求出外接球的表面积. 【 详 解 】 因 为 将 沿 折 成 直 二 面 角 ， ， 面 面 面 ， 所以 面 .所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面 的交点， 设外接球的半径为 ，底面外接圆的半径为 ，则 ，在 中，由题意 知 ， 所以 ， ( ) 25 2 2 2 5 2ab b b b b= − ⋅ = − + ( ) 5 2 5 2 2 2 4 − =× − ab 2 5 2 5 2 252 5 24 4 4  − × + × =    25 4 6π 2 2 2 2 ABR r  = +    ABD∆ BD A BD C− − AB BD⊥ ABD ∩ ,BCD BD AB= ⊆ ABD AB ⊥ ABD R r 2 2 2 2 ABR r  = +    BCD∆ 2 sin sin30 BD BDr BCD = =∠  r BD=- 11 - 所以 ，而 ，所以 ，所以外接球的 表面积为 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查几何体外接球表面积的计算，考查数形结合的数学 思想方法，属于中档题. 16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是双曲线左支上 的一点，若直线 与直线 平行且 的周长为 ，则双曲线的离心率为 ______. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义及三角形的周长可求出 ，利用直线 与直 线 平行知 ，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知 ，又 解得 ， 因为直线 与直线 平行， 所以 ，故 ， 由余弦定理得： 即 ，化简得 ， 解得 或 （舍去）. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 2 2 2 4 4 4 AB AB BDR BD += + = 2 24 6AB BD+ = 2 3 2R = 24 6S Rπ π= = 6π ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F A 1AF by xa = 1 2AF F∆ 9a 2 1 11 2 7 2| | ,| |2 2 a c a cAF AF − −= = 1AF by xa = 1 2cos aAF F c ∠ = 2 1| | | | 2AF AF a− = 2 1| | | | 9 2AF AF a c+ = − 2 1 11 2 7 2| | ,| |2 2 a c a cAF AF − −= = 1AF by xa = 1 2tan bAF F a ∠ = 1 2cos aAF F c ∠ = 1 2cos aAF F c ∠ = 2 2 2 1 2 1 | | 4 | | 2 | | 2 AF c AF AF c + −= ⋅ 2 2 1 18 4 4 14 4 e e e e e − + += − 2 2 8 0e e+ − = 2e = 4e = −- 12 - 17.在 中 的对边分别 ，若 ， ， ， （1）求 （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 ，结合特殊角的三角函数值，求得 . （2）利用正弦定理得到 ，利用余弦定理列方程，解方程求得 的值. 【详解】（1）由 ,得 ,且 ,所以 ， - （2）因为 ,由正弦定理得 又由余弦定理 得： 解得 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属 于基础题. 18.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 =9，S6=60． （I）求数列{an}的通项公式； （II）若数列{bn}满足 bn+1﹣bn= （n∈N+）且 b1=3，求数列 的前 n 项和 Tn． 【答案】（Ⅰ）an=2n+3；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前 项和公式列出关于首项和 公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列 的通项公式，再利用裂项抵消法进 行求和. ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) 2sin(2 ) ( ) 26f x x f C π= + = −， 7c = sin B = 2sin A C a 2 3C π= 1a = ( ) 2f C = C 2b a= a ( ) 2f C = − sin(2 ) 16C π+ = − (0, )C π∈ 32 6 2c π π+ = 2 3C π= sin 2sinB A= 2b a= 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2 27 4 2 2 cos ,3a a a a π= + − × 1a = 3a na 1 nb       3 1 1 4 2( 1) 2( 2)n n − −+ + n { }nb- 13 - 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，∵a3=9，S6=60．∴ ，解得 ． ∴an=5+（n﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an=2n+3，b1=3， 当 n≥2 时，bn=（bn﹣bn﹣1）+…+（b2﹣b1）+b1 =[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3= ． 当 n=1 时，b1=3 适合上式，所以 ． ∴ ． ∴ = = 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为 ，求前 项和： ； （2）已知数列的通项公式为 ，求前 项和 ： ； （3）已知数列的通项公式为 ，求前 项和:. 1 ( 1)na n n = + n 1 1 1 ( 1) 1na n n n n = = −+ + 1 (2 1)(2 1)na n n = − + n 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1na n n n n = = −− + − + 1 1na n n = + + n- 14 - 19.“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交 通方式的满意度，从交通拥堵不严重的 A 城市和交通拥堵严重的 B 城市分别随机调查了 20 个 用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图： （1）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体 值，给出结论即可）； （2）若得分不低于 80 分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种 交通方式“不认可”，请根据此样本完成此 2×2 列联表，并据此样本分析是否有 95%的把握 认为城市拥堵与认可共享单车有关； A B 合计 认可 不认可 合计 （3）在 A，B 城市对此种交通方式“认可”的用户中按照分层抽样的方法抽取 6 人，若在此 6 人中推荐 2 人参加“单车维护”志愿活动，求 A 城市中至少有 1 人的概率． 参考数据如下：（下面临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6 635 7.879 10.828. 1 1 1na n n n n = = + − + + 2( )P K k≥ k- 15 - （参考公式 ，其中 ） 【答案】（1）A 城市评分的平均值小于 B 城市评分的平均值 ， A 城市评分的方差大于 B 城市评分的方差，（2）没有 95%的把握，（3） 【解析】 【详解】试题分析： （1）结合茎叶图根据数据的分布可得结论．（2）结合题意的到列联表，根据表中的数据求 得 ，对比临界值表可得没有 95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关．（ 3）先由分层抽样方法得到在 A，B 两市抽取的人数，然后根据古典概型概率公式求解即可． 试题解析： (1) 由茎叶图可得：A 城市评分的平均值小于 B 城市评分的平均值； A 城市评分的方差大于 B 城市评分的方差． (2) 由题意可得 2×2 列联表如下： 故 ， 所以没有 95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关． (3) 由题意得在 A 市抽取 人，设为 x,y；在 B 市抽取 人，设为 a,b,c,d． 则从 6 人中推荐 2 人 所有基本事件共有： ，共 15 个． 设“A 市至少有 1 人”为事件 M，则事件 M 包含的基本事件为： ，共 9 个． 由古典概型概率公式可得 ， 的 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 3( ) 5P M = 2 8 3.8413K = < ( )2 2 40 5 10 10 15 8 3.84120 20 15 25 3K × − ×= = > 1F 2F ( )6, 1P − C l 2 CD ABλ= Rλ ∈ λ l- 18 - 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】 （1）根据 的面积求得 的值，再利用椭圆过点 及 ，求得 的值，从而求得椭圆的方程； （2）设直线 方程为 ，由直线和圆、椭圆都相交，求得 ，再利用弦长 公式分别计算 ， ，从而建立 的函数关系式，当 取得最小值时，可求得 的值，从而得到直线 的方程. 【详解】解：（1）由 的面积可得 ，即 ，∴ ．① 又椭圆 过点 ，∴ ．② 由①②解得 ， ，故椭圆 的标准方程为 . （2）设直线 的方程为 ，则原点到直线 的距离 ， 由弦长公式可得 ． 将 代入椭圆方程 ，得 ， 由判别式 ，解得 ． 由直线和圆相交的条件可得 ，即 ，也即 ， 设 ， ，则 ， ， 由弦长公式，得 ． 的 2 2 18 4 x y+ = y x= 1 2PF F△ c ( )6, 1P − 2 2 2a b c= + ,a b l y x m= + 2 2m− < < AB CD λ ( )f m= λ m l 1 2PF F△ 1 2 1 22 c⋅ ⋅ = 2c = 2 2 4a b− = C ( )6, 1P − 2 2 6 1 1a b + = 2 2a = 2b = C 2 2 18 4 x y+ = l y x m= + l 2 md = 2 22 2 8 22 mAB m= − = − y x m= + 2 2 18 4 x y+ = 2 23 4 2 8 0x mx m+ + − = ( )2 216 12 2 8 0m m∆ = − − > 2 3 2 3m− < < d r< 2 2 m < 2 2m− < < ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 1 2 4 3 mx x+ = − 2 1 2 2 8 3 mx x −= ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 16 8 32 42 4 2 129 3 3 m mCD x x x x m −= + − = ⋅ − = −- 19 - 由 ，得 ． ∵ ，∴ ，则当 时， 取得最小值 ， 此时直线 的方程为 ． 【点睛】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查 函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利 用坐标将 与 建立联系，从而使问题得到解决. 22.已知函数 . （1）当 时，求函数 的极值； （2）设 ，若函数 在 内有两个极值点 ，求证： . 【答案】（1）极大值 ，极小值 （2）见解析 【解析】 试题分析： （1）当 时， ，求导后根据导函数的符号判断函数 的单 调性，从而可得函数的极值．（2）由题意得 ，设 ，结合题意可得方程 在 上有两个不相等的 实根 ，且 1 不能是方程的根，故可得 ，由此可得 ．然后求 得 CD ABλ= 2 22 4 12 2 2 83 13 48 2 mCD AB mm λ − = = = + −− 2 2m− < < 20 4 4m< − ≤ 0m = λ 2 6 3 l y x= λ m 2 ( ) ( 0, )x x ax af x x a Re − + −= > ∈ 1a = ( )f x ( ) ( )( ) 1 f x f xg x x ′+= − ( )g x (0,1) (1, )∪ +∞ 1 2,x x 1 2 2 4( ) ( )g x g x e ( )f x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 x x a xg x x e − + += − ′ ( ) ( )22 2 2h x x a x= − + + ( ) 0h x = ( ) ( )0,1 1,∪ +∞ 1 2,x x ( )2 1 2 1 2 2 16 0 2 02 1 0 a ax x x x ∆ = + − > + + = >  = > 2a > ( ) ( )1 2g x g x =- 20 - ，最后由 可得结论成立． 试题解析： （1）当 时， . ∴ 当 时 ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． 所以 在 上有极大值 ，极小值 ． （2）由题意得 ， ∴ ， 设 ， ∵函数 在 内有两个极值点 ， ∴方程 在 上有两个不相等的实根 ，且 1 不 能是方程的根， ∴ ，解得 ． ∴ ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2 2 4 22 2 a a a a e e + + −= = + −   2a > 1a = ( ) 2 1( 0)x x xf x xe − + −= > ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 2 ( 0) x x x x x e x x e x xf x xe e − + − − + − − −= >′ = ( ) ( )0,1 , 2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,2x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x ( )0,+∞ ( ) 11f e = − ( ) 2 32f e = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 x f x f x x ag x x x e + − += =− − ′ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 x x a xg x x e − + += − ′ ( ) ( )22 2 2h x x a x= − + + ( )g x ( ) ( )0,1 1,∪ +∞ 1 2,x x ( ) ( )22 2 2 0h x x a x= − + + = ( ) ( )0,1 1,∪ +∞ 1 2,x x ( )2 1 2 1 2 2 16 0 2 02 1 0 a ax x x x ∆ = + − > + + = >  = > 2a > ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 1 1 1x x x x x a x a x x a x x ag x g x x e x e x x x x e + − + − + − + += =− −  − + +  ( ) 2 2 2 2 2 2 4 22 2 a a a a e e + + −= = + −   2,a >- 21 - ∴ ， ∴ ． 2 2 2 4 4 a ee + < ( ) ( )1 2 2 2 2 4 4 ag x g x ee +=