江苏省2020学年度高一数学第一学期期末考试试题

- 1 - 江苏省 2020 学年度高一数学第一学期期末考试试题 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1.函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对数函数的性质，只需 ，即可求解. 【详解】 , , 解得 ， 所以函数的定义域为 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，属于容易题. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 把 变为 ，利用诱导公式 化简后，再利用特殊角的三角 函数值即可得结果. 【详解】 ，故选 A. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记 忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导 公式，以便提高做题速度. ( ) ( )lg 2f x x= + [ 2, )− +∞ ( 2, )− +∞ (2, )+∞ [2, )+∞ 2 0x + > ( ) ( )lg 2f x x= + 2 0x∴ + > 2x > − ( 2, )− +∞ sin 225° 2 2 − 2 2 3 2 − 3 2 225 180 45+  ( )sin 180 sinα α+ = − ( ) 2sin 225 sin 180 45 sin 45 2 ° = °+ ° = − ° = −- 2 - 3.函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：直接利用周期公式求解即可. 详解：∵ ， ， ∴ ．故选 D 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于简单题.由 函数 可求得 函数的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐 标. 4.若向量 不共线，且 与 共线，则实数 m 的值为（ A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量共线可得 ，化简即可求出 m 的值. 【详解】因为向量 不共线，且 与 共线， 所以 ， 即 ， 所以 ， 解得 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量共线，属于容易题. 23cos( )5 6y x π= − 2 5 π 5 2 π 2π 5π 23cos 5 6y x π = −   2 5 ω = 2π 5πT ω= = cos( )y A xω ϕ= + 2π ω x kω ϕ π+ = 2x k πω ϕ π+ = + ,a b  a mb+  ( )2b a−  1 2 1 2 − 2− ( )2a mb k b a−+ =    ,a b  a mb+  ( )2b a−  ( )2a mb k b a−+ =    2ba mb kak+ = −   1 2 m k k =  = − 1 2m = −- 3 - 5.若 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用角的变换 ，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为 ， 所以 , 故选：B 【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于容易题. 6.要得到函数 y＝cos 图象，只需将函数 y＝cos2 的图象(　　) A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度 C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】B 【解析】 ∵ ， ∴要得到函数 的图像，只需将函数 的图像向左平移 个单位． 选 B． 7.已知角 θ 的终边经过点 P（4，m），且 sinθ= ，则 m 等于（ ） A. ﹣3 B. 3 C. D. ±3 【答案】B 【解析】 的 1tan 3 α = 1tan( ) 2 α β+ = tan β = 1 7 − 1 7 6 7 7 6 ( )β α β α= + − ( )β α β α= + − 1 1 tan( ) tan 12 3( ) ] = 11+ tan( ) ttan t an 71 6 an[ α β αα β α α β αβ −+ −+ − = =+ ⋅ + = 2 3x π +   x 3 π 6 π 6 π 3 π cos(2 ) cos[2( )]3 6y x x π π= + = + cos 2 3y x π = +   cos2y x= 6 π 3 5 16 3- 4 - 试题分析： ，解得 . 考点：三角函数的定义. 8.已知扇形圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长. 【详解】 扇形弧长 故答案选 C 【点睛】本题考查了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的 计算能力. 9.若 ， ，则 的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用角的变换 ,代入两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为 ， ， 所以 ， 故 ， 2 3sin 516 m m θ = = + 3m = 6 π 3 π 6 π 4 π 3 π 2 π 2 21 1 22 2 6 3S r r r πα π= = × = ⇒ = 26 3l r π πα= = × = 0 2a π< < 3sin( )3 5 π α− = sinα 4 3 3 10 + 4 3 3 10 − 3 4 3 10 − 4 3 3 10 +− ( )3 3 π πα α= − − 0 2a π< < 3sin( )3 5 π α− = 0 3 2 π πα< − < 4cos( )3 5 π α− =- 5 - 所以 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正弦公式，属于中档题. 10.已知正三角形 ABC 边长为 2，D 是 BC 的中点，点 E 满足 ，则 （） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】 化简 ，分别计算 ， ，代入得到答案. 【详解】 正三角形 ABC 边长为 2，D 是 BC 的中点，点 E 满足 故答案选 C 【点睛】本题考查了向量的计算，将 是解题的关键，也可以建立直 角坐标系解得答案. 11.如果函数 y＝f(x)在区间 I 上是增函数，且函数 在区间 I 上是减函数，那么称函 数 y＝f(x)是区间 I 上的“缓增函数”，区间 I 叫做“缓增区间”．若函数 是区间 I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为(　　) A. [1，＋∞) B. [0， ] C. [0，1] D. [1， ] sin sin[ ( )] sin cos( ) sin( )cos3 3 3 3 3 3 π π π π π πα α α α= − − = − − − 3 4 3 1 4 3 3 2 5 5 2 10 −= × − × = AE 2ED=  EB EC⋅ =  1 3 − 1 2 − 2 3 − 2 EB EC ED DB DC⋅ = + ⋅    3 3ED = 1DB DC= = 2 EB EC ( ) ( ) ( )ED DB ED DC ED ED DB DC DB DC⋅ = + ⋅ + = + ⋅ + + ⋅            AE 2ED=  33 , 13AD ED DB DC= ⇒ = = = 2 23 2EB EC ( ) 13 3ED DB DC⋅ = + ⋅ = − = −    2 EB EC ED DB DC⋅ = + ⋅    ( )f xy x = 21 3( ) 2 2f x x x= − + 3 3- 6 - 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，求 的增区间，再求 的减区间，从而求 缓增区间. 【详解】因为函数 的对称轴为 x＝1， 所以函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数， 又当 x≥1 时， ， 令 (x≥1)，则 ， 由 g′(x)≤0 得 ， 即函数 在区间 上单调递减， 故“缓增区间”I 为 ， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关新定义的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性， 属于简单题目. 12.已知 ， 为图象的顶点，O，B，C，D 为 与 x 轴的交点， 线段 上有五个不同的点 ．记 ，则 的值为（ ） A. B. 45 C. D. 21 3( ) 2 2f x x x= − + ( ) 1 312 2 f xy xx x = = − + 21 3( ) 2 2f x x x= − + ( ) 1 312 2 f x xx x = − + 1 3( ) 12 2g x x x = − + 2 2 2 1 3 3'( ) 2 2 2 xg x x x −= − = 1 3x≤ ≤ ( ) 1 312 2 f x xx x = − + [1, 3] [1, 3] 3( ) |sin |2f x xπ= 1 2 3, ,A A A ( )f x 3A D 1 2 5, , ,Q Q Q 2 ( 1,2, ,5)i in OA OQ i= ⋅ =   1 5n n+ + 15 32 45 2 15 34- 7 - 【答案】C 【解析】 【分析】 通 过 分 析 几 何 关 系 ， 求 出 ， ， 再 将 表 示 成 ，结合向量的数量积公式求解即可 【详解】 解：由图中几何关系可知， , , , ， ,∴ ，即 ． 则 ， 答案选 C 【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量 ， 是关键 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13.已知向量 ， ，若 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量平行可得 ，由向量坐标运算即可求解. 2 30A OC °∠ = 2 60A OC °∠ = in 2 2 2( )=i i in OA OQ OA OD DQ OA OD= ⋅ = ⋅ + ⋅       3 2OE = 2 3 2A E = 2 3OA = 2 1A C = 2 30A OC °∠ =∴ 2 60A OC °∠ = 3 2/ /A D A C 2 3OA DA⊥ 2 3OA DA⊥  2 2 2 2( ) cos 6i i in OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π= ⋅ = ⋅ + = ⋅ = ⋅         1 5 3 453 3 52 2n n+ + = × × × = 2OA OD ( )2,1a =r ( ), 2b x= − / /a b  a b+ =  ( )2, 1− − b- 8 - 详解】 , , 解得 ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行向量，向量的坐标运算，属于容易题. 14.若幂函数 的图象过点 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 设 ，将点 代入函数 的解析式，求出实数 的值，即可求出 的 值. 【 详 解 】 设 ， 则 ， 得 ， ， 因 此 ， . 故答案为 . 【点睛】本题考查幂函数值的计算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，考查运算求解能 力，属于基础题. 15.给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点 C 在以 O 为 圆心的圆弧 上变动.若 其中 ,则 的最大值是________. 【答案】2 【解析】 【 / /a b   2 ( 2) x∴ × − = 4x = − ( 4, 2)b∴ = − − (2,1) ( 4, 2) ( 2, 1)a b∴ + = + − − = − −  ( )2, 1− − ( )f x ( )4,2 ( )8f = 2 2 ( ) af x x= ( )4,2 ( )y f x= a ( )8f ( ) af x x= ( )4 4 2af = = 1 2a = ( ) 1 2f x x∴ = ( ) 1 28 8 2 2f = = 2 2 OA OB 120o ,OC xOA yOB= +   ,x y R∈ x y+- 9 - 【详解】 所以最大值 2 16.已知函数 ，下列结论中： 函数 关于 对称； 函数 关于 对称； 函数 在 是增函数， 将 的图象向右平移 可得到 的图象． 其中正确的结论序号为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】 把 化成 的型式即可． 【详解】由题意得 所以对称轴为 ， 对，当 时，对称中心为 ， 对． 的增区间为 ， 对 为 1 2x y OA OC− = ⋅  1 2 x y OB OC− + = ⋅  2( ) 2 2cos ,x y OA OB OC OD OC OD OC+ = + ⋅ = ⋅ = < >       ( ) 2 1sin sin cos 2f x x x x= + − ① ( )f x 8x π= − ② ( )f x ( ,0)8 π ③ ( )f x 3( , )8 8 π π ④ 2 cos22y x= 3 4 π ( )f x ①②③ ( )f x ( ) ( )sinf x A wx ϕ= + ( ) 2 1 2sin sin cos sin 22 2 4f x x x x x π = + − = −   32 4 2 8 2 kx k x π π π ππ− = + ⇒ = + ① 2 4 8 2 kx k x π π ππ− = ⇒ = + ,08 2 kπ π +   ② ( )f x 32 2 2 +2 4 2 8 8k x k k x k π π π π ππ π π π− + ≤ − ≤ + ⇒ − + ≤ ≤ ③ 2 cos22y x=- 10 - 向右平移 得 ． 错 【点睛】本题考查三角函数的性质，三角函数变换，意在考查学生对三角函数的图像与性质 的掌握情况． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.已知向量 ， ， （1）若 ，求 的值﹔ （2）若 ，求 值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由向量垂直知数量积为 0，化简即可求解（2）根据向量平行的性质，可得 ，根据 弦化切即可求解. 【详解】（1）由 得， ， ， （2）由 得， ， . 【点睛】本题主要考查了向量垂直、平行的性质，向量的坐标运算，同角三角函数的基本关 系，二倍角公式，属于中档题. 18.如图为函数 的部分图象 3 4 π ( ) 2 3 2 3 2cos2 cos 2 sin 22 4 2 2 2f x x x x π π   = − = − = −       ④ 1,c( )osa α= 1( ,sin )3b α= (0, )α π∈ bα ⊥  sin 2α / /a b  sin cos sin cos α α α α + − 2 3 − 2− tanα a b⊥  1 sin cos 03a b α α⋅ = + = 1 1sin cos sin22 3 α α α= = − 2sin2 3 α = − / /a b 1 1sin cos ,tan3 3 α α α= = sin cos tan 1 sin cos tan 1 α α α α α α + +∴ =− − 1 413 3 21 213 3 + = = = − − − ( ) sin( )( 0, 0,| | , )2f x A x A x R πω ϕ ω ω= + > > < ∈- 11 - （1）求函数解析式； （2）求函数 的对称轴的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 (1)由已知图象求出振幅、周期和相位，即可求出函数的解析式（2）令 ，即可求出函数的对称轴. 【详解】（1）由题中的图象知， ， ， 即 ， 所以 ， 根据五点作图法，令 ， ， 得到 ， ， 因为 . 所以 ， 故解析式为 . （2）令 ， 解得 ， ( )f x ( ) 2sin(2 )3f x x π= + ,2 12 kx k Z ππ= + ∈ 2 ,3 2x k k Z π ππ+ = + ∈ 2A = 4 3 12 4 T π π π= − = T π= 2 2T πω = = 2 212 2 k π πϕ π× + = + k Z∈ 23 k πϕ π= + k Z∈ | | 2 ϕ π< 3 πϕ = ( ) 2sin(2 )3f x x π= + 2 ,3 2x k k Z π ππ+ = + ∈ ,2 12 kx k Z ππ= + ∈- 12 - 故 的对称轴的方程 . 【点睛】本题主要考查了三角函数的解析式与应用问题，也考查了数形结合解题思想，属于 容易题. 19.已知函数 . （1）求 定义域； （2）若 ，求 值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）函数有意义则需 ，解不等式即可求出函数定义域（2）化简 ，由 求 ，利用三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）由 ， 知 故 的定义域为 . （2） 由 得 ， ， 所以 ， ， 所以 ( )f x ,2 12 kx k Z ππ= + ∈ 2sin2 2sin( ) sin cos x xf x x x −= − ( )f x 4 3tan ( )3 2 2 π πα α= < < (2 )6f πα + | ,4x x k k Z ππ ≠ + ∈   7 24 3 25 − sin cosx x≠ ( ) 2sinf x x= − 4 3tan ( )3 2 2 π πα α= < < sin ,cosα α sin cosx x≠ ,4x k k Z ππ≠ + ∈ ( )f x | ,4x x k k Z ππ ≠ + ∈   2sin2 2sin 2sin (sin cos )( ) 2sinsin cos sin cos x x x x xf x xx x x x − −= = − = −− − 4 3tan ( )3 2 2a π πα = < < 4sin 5 α = − 3cos 5 α = − 24sin 2 2sin cos 25 α α α= = 2 7cos2 2cos 1 25 α α= − = − (2 ) 2sin(2 )6 6f π πα α+ = − + 2(sin2 cos cos2 sin )6 6a π πα= − +- 13 - . 【点睛】本题主要考查了函数 定义域，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的 正弦公式，属于中档题. 20.在 中，满足 ， 是 中点. （1）若 ，求向量 与向量 的夹角的余弦值； （2）若 是线段 上任意一点，且 ，求 的最小值. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 试题分析： （1）由向量的夹角公式 可求； （2） ，则 ， ，由此可用 表示出 ，从而可得最小值． 试题解析： （1）设向量 与向量 的夹角为 , , 令 ， . （2）∵ ，∴ ，设 ，则 . 而 ，所以 .当且仅当 时， 的最 小值是 . 21.已知函数 （1）若 ， .求 的最小值； 的 7 24 3 25 −= ABC∆ AB AC⊥  M BC AB AC=  2+ AB AC 2AB AC+  O AM 2AB AC= =  ⋅ + ⋅   OA OB OC OA 4 5 1 2 − cos a b a b θ ⋅=     OA x= 1OM x = − 2OB OC OM+ =   x ⋅ + ⋅   OA OB OC OA 2+ AB AC 2AB AC+  θ ( 2 ) (2 )cos 2 2 AB AC AB AC AB AC AB AC        θ + ⋅ += + ⋅ + AB AC a= =  2 22 2 4cos 55 5 a a a a θ += = ⋅ 2AB AC= =  AM 1= OA x= OM 1 x= − 2OB OC OM+ =   ( ) 2OA OB OC OA OM⋅ + = ⋅     2 2 1 12 cos 2 2 2 2 2OA OM x x xπ  = ⋅ = − = − −     1 2x = ( )OA OB OC⋅ +   1 2 − ( ) cos2 cos( ) ,2f x x m x n x R π= + − + ∈ 1m = 0n = ( )y f x=- 14 - （2）若 m=1，f（x）=0 在[0，π]内有解.求实数 n 的取值范围： （3）若 .求 的最大值 . 【答案】（1） 的最小值 .（2） （3） 【解析】 【分析】 （1）化简函数，代入 ， ，根据二次函数求最值即可（2）变形方程得 形 式，方程有解可转化为求函数 的值域（3）根据二次函数对称轴分类讨论即可求出最大值 . 【详解】由 ， 得： ， （1）当 ， 时， ， 当 时， ， （2）当 m=1 时， ， 由 f（x）=0 有解可得 有解， 令 ， ， ， ， 即 ， ， （3）当 时， ， 0n = ( )y f x= ( )mg ( )f x 2− 9 ,08  −   2 1, 4 ( ) 1, 4 48 1, 4 m m mg m m m m − − < − = + − ≤ ≤  − > 1m = 0n = ( )n h x= ( )h x ( ) cos2 cos( ) ,2f x x m x n x R π= + − + ∈ 2( ) 2sin sin 1,f x x m x n x R= − + + + ∈ 1m = 0n = 2 21 9( ) 2sin sin 1 2(sin )4 8f x x x x= − + + = − − + sin 1x = − min( ) 2f x = − 2( ) 2sin sin 1f x x x n= − + + + 22sin sin 1n x x= − − 2( ) 2sin sin 1h x x x= − − [0, ]x π∈ 21 9( ) 2(sin )4 8h x x= − − sin [0,1]x∈ 21 1 9( ) ( ) 2(sin ) (1)4 4 8h h x x h∴ ≤ = − − ≤ 9 ( ) 08 h x− ≤ ≤ 9 ,08n ∴ ∈ −   0n = 2( ) 2sin sin 1,f x x m x x R= − + + ∈- 15 - ， 当 ，即 时， 时， ， 当 ，即 时， 时， ， 当 ，即 时， 时， ， 综上 【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，二次函数的值域，分类讨论，属于中档题. 22.已知函数 是定义在 上的奇函数. （1）求 a 的值： （2）求函数 值域； （3）当 时， 恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）利用函数是奇函数的定义求解 a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利 用函数恒成立，分离参数 m,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可. 【详解】（1）∵ 是 R 上的奇函数， ∴ 即： . 即 整理可得 . 的 2 2( ) 2(sin ) 14 8 m mf x x∴ = − − + + 14 m < − 4m < − sin 1x = − max( ) 1f x m= − − 1 14 m− ≤ < 4 4m− ≤ ≤ sin 4 mx = 2 max( ) 1 8 mf x = + 1 4 m< 4 m< sin 1x = max( ) 1f x m= − 2 1, 4 ( ) 1, 4 48 1, 4 m m mg m m m m − − < − = + − ≤ ≤  − > 2 4( ) ( 0, 1)2 x x a af x a aa a − += > ≠+ R ( )f x [ ]1,2x∈ ( )2 2 0xmf x+ − > 2a = ( )1,1− (10 ,3 )+∞ ( )f x ( ) ( )f x f x− = − 2 4 2 4 2 2 x x x x a a a a a a a a − − − + − += −+ + 2 ( 4 ) 2 4 2 2 x x x x a a a a a a a a + − + ⋅ − + −=+ ⋅ + 2a =- 16 - （2） 在 R 上递增 ∵ ， , ∴函数 的值域为 . （3）由 可得， ， . 当 时， 令 ）， 则有 ， 函数 在 1≤t≤3 上为增函数， ∴ ， ， 故实数 m 的取值范围为 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用， 属于中档题. 2 2 2 2 1 2( ) 12 2 2 2 1 2 1 x x x x xf x ⋅ − −= = = −⋅ + + + 2 1 1x + > 22 02 1x ∴− < − − 2 1( ) 2 22 1 x x xmf x m −= > −+ [ ]1,2x∈ (2 1)(2 2) 2 1 x x xm + −> − (2 1 1 3)x t t− = ≤ ≤ ( 2)( 1) 2 1t tm tt t + −> = − + 2 1y t t = − + max 2 10( 1) 3t t − + = 10 3m∴ > (10 ,3 )+∞