江苏省南通市启东市2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

- 1 - 江苏省南通市启东市 2020 学年高一数学上学期期末考试试题（含解析） 一、单项选择题： 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式可求出 的值. 【详解】根据诱导公式可得 . 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 2.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据偶次根式被开方数非负，分母不为零，得出关于 的不等式组，即可求出函数 的定义域. 【详解】由题意可得 ，解得 且 ， sin 3 π −   1 2 3 2 1 2 − 3 2 − sin 3 π −   3sin sin3 3 2 π π − = − = −   ( ) 3 2 2 xf x x −= + 3, 2  −∞   3, 2  −∞   ( ) 3, 2 2, 2  −∞ − −   ( ) 3, 2 2, 2  −∞ − −   x ( )y f x= 3 2 0 2 0 x x − ≥  + ≠ 3 2x≤ 2x ≠ −- 2 - 因此，函数 的定义域为 . 故选：C. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要结合一些常见的求函数定义域的基本原 则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3.满足 的集合 的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 列举出符合条件的集合 ，即可得出答案. 【详解】满足 的集合 有： 、 、 . 因此，满足 的集合 的个数为 . 故选：B. 【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析 问题和解决问题的能力，属于基础题. 4.在梯形 中， ， ， 是边 上的点，且 .若记 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出图形，由向量加法的三角形法则得出 可得出答案. 【详解】如下图所示： ( ) 3 2 2 xf x x −= + ( ) 3, 2 2, 2  −∞ − −   { } { }1 1,2,3A⊆  A 2 3 8 4 A { } { }1 1,2,3A⊆  A { }1 { }1,2 { }1,3 { } { }1 1,2,3A⊆  A 3 ABCD //AB CD 2AB CD= E CD 1 3CE CD= AB a=  AD b=  BE = 2 3 a b− +  2 3 a b+  4 3 a b+  2 1 3 3a b+  BE BA AD DE= + +   - 3 - 由题意可得 ， 由向量加法的三角形法则可得 . 故选：A. 【点睛】本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考查数形 结合思想的应用，属于基础题. 5.已知 ， 是第三象限角，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的平方关系求出 的值，然后利用两角差的余弦公式求出 的值. 【详解】 为第三象限角，所以， ， 因此， . 故选：A. 【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，在利用同角三角函数基本关系求值时，要结 合角的取值范围确定所求三角函数值的符号，考查计算能力，属于基础题. 6.已知向量 ， ， ，若 ， ，则 （ ） 2 2 1 1 3 3 2 3DE DC AB a= = × =    1 2 3 3BE BA AD DE a b a a b= + + = − + + = − +         5sin 13 θ = − θ cos 3 πθ −   5 3 12 26 − − 5 3 12 26 − + 12 3 5 26 − − 12 3 5 26 − + cosθ cos 3 πθ −   θ 2 12cos 1 sin 13 θ θ= − − = − 12 1 5 3 5 3 12cos cos cos sin sin3 3 3 13 2 13 2 26 π π πθ θ θ − − − = + = − × − × =   ( )2,1m = ( )0,1n = ( )3,4p = Rλ ∈ ( )//m n pλ+   λ =- 4 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出向量 的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于实数 的等式，解出即可 . 【详解】 向量 ， ， ， 又 且 ， ，解得 . 故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，考查计算能力，属于基 础题. 7.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用幂函数的单调性得出 与 的大小关系，由指数函数的单调性可得出 与 的大小关系 ， 由此可得出 、 、 三个数的大小关系. 【详解】幂函数 在区间 上为减函数， ，即 ； 指数函数 在 上为增函数， ，即 . 因此， . 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性来比较指数幂的大小关系，解题时要结合 指数幂的结构选择幂函数和指数函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题. 8.在平面直角坐标系中，设角 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是 3 5 3 5- 5 3 5 3 − m nλ+  λ  ( )2,1m = ( )0,1n = ( )2, 1m nλ λ∴ + = +  ( )3,4p =  ( )//m n pλ+   ( )3 1 2 4λ∴ + = × 5 3 λ = 3 21.4a −= 3 21.7b −= 21.7c −= a c b< < c b a< < a b c< < b c a< < a b b c a b c 3 2y x −= ( )0, ∞+ 3 3 2 21.4 1.7 − −∴ > a b> 1.7xy = R 3 221.7 1.7 − −∴ > b c> c b a< < α P ( ),x y- 5 - ，规定：比值 叫做 的正余混弦，记作 .若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 可 得 出 ， 根 据 题 意 得 出 ， 结 合 可得出关于 和 的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系 可求出 的值. 【详解】 ，则 ，由正余混弦的定义可得 . 则有 ，解得 ，因此， . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方 程组求解 和 的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 二、多项选择题： 9.已知全集 ，集合 、 满足 ，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 作出韦恩图，结合图形可判断出各选项的正误. ( )0r r > y x r − α schα ( )1sch 05 α α π= < < tanα = 3 4 − 3 4 4 3 − 4 3 0 α π< < sin 0α > 1sch sin cos 5 α α α= − = 2 2cos sin 1α α+ = sinα cosα tanα 0 α π< sch sin cosy x r α α α−= = − 2 2 1sin cos 5 cos sin 1 sin 0 schα α α α α α  = − =  + =  >  4sin 5 3cos 5 α α  =  = sin 4tan cos 3 αα α= = sinα cosα U = R A B A B A B B= A B B∪ = ( )U A BÇ = Æ ( )UA B = ∅ - 6 - 【详解】如下图所示： 全集 ，集合 、 满足 ，则 ， ， ， . 故选：BD. 【点睛】本题考查集合运算正误的判断，根据题意作出韦恩图是关键，考查数形结合思想的 应用，属于基础题. 10.已知 、 、 是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若 ， ，则 C 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的定义可判断出 A、C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断出 B 选项 的正误；在等式 两边平方，可判断出 D 选项的正误. 【详解】对于 A 选项，设 与 的夹角为 ，则 ，则 ， ， 则 与 同向，所以 ，A 选项正确； 对于 B 选项，由于 、 、 是三个非零向量，且 ， ，则存在非零实数 、 ，使 得 ， ， ， ，B 选项正确； 对于 C 选项， ，则 ，即 ，所以， 与 在 方向上的投影相等，C 选项错误； .  U = R A B A B A B A= A B B∪ = ( )U A B ≠ ∅ ( )UA B = ∅  a b c a b a b⋅ = ⋅    //a b  //a b  //b c  //a c  a c b c⋅ = ⋅    a b=  a b a b+ = −    a b⊥  a b a b+ = −    a b θ cosa b a b a bθ⋅ = ⋅ = ⋅      cos 1θ = 0θ∴ = a b //a b  a b c //a b  //b c  λ µ λa b=  b cµ=  ( ) ( )a b c cλ λ µ λµ∴ = = =    //a c∴  a c b c⋅ = ⋅    ( ) 0a c b c a b c⋅ − ⋅ = − ⋅ =       ( )a b c− ⊥   a b c- 7 - 对于 D 选项，在等式 两边平方得 ，整理得 ，则 ，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查有关向量命题真假的判断，涉及平面向量数量积的定义、共线向量的定义 的理解，考查推理能力，属于基础题. 11.下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 逐一判断各选项中函数的奇偶性以及各函数在区间 上的单调性，从而可得出结论. 【详解】对于 A 选项，设 ，定义域为 ，关于原点对称， 且 ，该函数为偶函数， 且该函数在区间 上为增函数，所以，该函数在区间 上为减函数； 对于 B 选项，设 ，定义域为 ，关于原点对称， 且 ，该函数为偶函数， 当 时， ，则该函数在区间 上为增函数； 对于 C 选项，设 ，定义域为 ，关于原点对称， 且 ，该函数为偶函数， a b a b+ = −    2 2 2 2 2 2a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ +        0a b⋅ =  a b⊥  ( ),0−∞ 3 2y x= 1 2 x y  =    1 2 1logy x = siny x= ( ),0−∞ ( ) 3 2 1f x x= R ( ) ( ) ( )2 3 23 1 1f x x x f x− = − = = ( )0, ∞+ ( ),0−∞ ( )2 1 2 x f x  =    R ( ) ( )2 2 1 1 2 2 x x f x f x −   − = = =       0x < ( )2 1 1 22 2 x x xf x −   = = =       ( ),0−∞ ( )3 1 2 1logf x x = { }0x x ≠ ( ) ( )3 1 1 3 2 2 1 1log logf x f xx x − = = =−- 8 - 当 时， ，则该函数在区间 上为增函数，该 函数在区间 上为减函数； 对于 D 选项，函数 为奇函数，且在区间 上不单调. 故选：AC. 【点睛】本题考查基本初等函数单调性与奇偶性的判断，考查推理能力，属于基础题. 12.如图所示，点 、 是函数 的图象与 轴 的交点，点 在 、 之间的图象上运动，若 ，且当 的面积最大时， ，则（ ） A. B. C. 的单调增区间为 D. 的图象关于直线 对称 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据图象以及题中信息求出函数 的解析式，可判断出 B 选项的正误；求出 的 值，可判断出 A 选项的正误；结合余弦型函数的基本性质可判断出 C、D 选项的正误. 0x > ( )3 1 1 1 2 2 2 1 1log log logf x xx x = = = − ( )0, ∞+ ( ),0−∞ siny x= ( ),0−∞ M N ( ) ( )2cos 0, 2 2f x x π πω ϕ ω ω = + > − < 2logy u= ( ) ( )y g x f x= − [ ], 1m m + max 2 1logy a m  = +   min 2 1log 1y a m  = + +  max min 2 2 1 1log log 11y y a am m    − = + − + ≤   +    1 12 1a am m  + ≤ + +  ( ) 1 2 1 1 1 ma m m m m −≥ − =+ + 1m = ( ) 1 01 m m m − =+ 1 ,12m  ∈   11 0, 2t m  = − ∈   ( ) 1 1 my m m −= + ( )( ) 2 1 21 2 2 3 3 t ty t t t t t t = = =− − + − + − ( ) 2 3t t t ϕ = + − 10, 2      1t 2 10, 2t  ∈   1 2t t< 1 2 10 2t t< < ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 23 3 t tt t t t t t t tt t t t t t ϕ ϕ −     − = + − − + − = − + − = − +            ( )( )1 2 1 2 1 2 2t t t t t t − −= 1 2 10 2t t< < ≤ 1 2 0t t∴ − < 1 2 1 40 t t ( ) ( )1 2t tϕ ϕ>- 22 - 所以，函数 在区间 上单调递减， 当 时，函数 取得最大值 . 综上所述，函数 在 上的最大值为 ， . 因此，实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了 函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题. ( ) 2 3t t t ϕ = + − 10, 2      1 2t = 1 2 3 y t t = + − 2 3 ( ) 1 1 my m m −= + 1 ,12m  ∈   2 3 2 3a∴ ≥ a 2 ,3  +∞ 