2012年高考北京数学真题深度解析（视频）

  2012年高考数学新东方名师周帅独家解析     下载此视频文件   　　高考数学考试结束之后，很多同学和家长问我，包括网友也提这样的问题，说今年的难度和去年相比究竟怎么样，全国各地由于考区不同会有所变化，但是总体差不太多，以北京为例，今年整体的难度和去年差不多的，但是很多考生考完之后都觉得今年考试比去年要难一点，我们先讲一下。 　　从出题人考虑，每一年都维持一定的难度，为什么今年考生觉得难度增加了？实际上是因为虽然考点没有变化，但是在部分考点上，考生们发现一些具体考点和考法在平时复习的时候不一样，因此我们心理难度增加，这是考试的趋势，也是在接下来考试中很有可能主要的出现方向性的变化，这么多年教学大纲和考试大纲基本稳定，新课标已经考了好几年了，已经比较成熟和稳定了，所以能够做的变化是有限的，因此出题人肯定会在具体考点上做变化，因此大家不能追求平时的知识，这是今年所有考试体现出来的趋势，难度是稳定的，但是题目考得不一样了。 　　第二个问题，从具体到数学考察的能力来看，我们发现它依然有这样一个特点，数学试卷依然考察学生对教材的基本掌握、基本能力，以及基本的技巧，也就是在考试大纲和很多专家做的分析里面说到的，因此从区分度来说，难度略微可能是增加了一点，但是我们能够明显从这套题目里面看到出题人的指向性，希望更多考察学生对基础知识的掌握，而不是对具体题型的了解，如果基础知识比较扎实，考得应该不错，如果平时只是学一些考试的方法，或者押题的话，肯定会遇到一些问题，因为基础不够扎实。 　　第二点，考点稳定，但是考法发生变化，因为考试大纲和各个地方考试说明，是高考出题的纲领性文件，所以没有出现太多超纲的题目，但是在传统考点上，我们发现出题人方向发生变化，内容不会有太大变化，但是具体细节会做一个调整，这是我们需要关注的，也是接下来我们新高三学生复习的时候要注意的。 　　我们具体到大家更加关注的一些具体的考点的分布，以及特别是很多同学和家长关注的关于文科、数学、理科的关系来看，我们发现有这样一个趋势，在全国很多地方，包括北京卷，像山东卷、广东卷等等里面，我们发现高考数学里面，今年出现了这样一个特点或者趋势。　　第一点，高中数学最主要最基础的部分，函数部分得到增加，以数列部分的要求进一步明确下来，不再强求学生更多的计算，而是更多让学生关注数列的基本公式。　　第二个问题，我提到一个立体几何回归，前几年考法中立体几何出现不同的变换，就理科来说，立体几何变成大学里面，或者类似大学里面的空间解析几何，对于文科来说，立体几何出现了立体几何平面化背景，立体几何只是一个背景，更多考察学生对立体几何知识的理解，我们发现更多的还是考察高中教学里面立体几何一些重要性质和定义，包括立体垂直的模型。　　我们看很多地方出现了一些重要的考法，以今年北京卷为例，我们发现第三问出现了典型的在立体几何探索的问题，这是接下来我们需要关注的问题，因为这是新课标对学生思维的考察。　　从文科来说，我们发现，今年在很多地区，特别是我们关注的像北京这样一些地方，文科和理科数学的差距相对来说越来越小，并且在部分题目上越来越一致，即使在不一样的地方，出题背景和思路是一样的，所以我们提出这样一个观点，文科、理科同质化趋势越来越加强，对于数学这样题目来说，不管是文科数学，还是理科数学也罢，更加关注于数学的基础能力、素质和思维素养加强，所以不管是文科还是理科接下来考的方向其实是趋同的，特别是不仅针对于高三的学生，很可能是接下来一两年之后需要参加高考的学生需要注意和加强的。 [NextPage]   　　接下来我们结合一些具体题目来告诉大家考试重点在考什么，考法有什么变化，以及我们大家接下来复习的时候需要关注的地方。 　　我们来看一下，这些题目刚刚出来的今年高考的真题，正常情况下一套高考卷子我们分成三种主要题型的，这个不止是老师说的常见的，而是我们应该从考试变化和趋势的角度进行分析，分成三种： 　　第一种叫做常规题；　　第二种叫做变种题；　　第三种叫做创新题；　　这些题目本身不是很重要，最重要是体现的解题思想和命题人的想法，我们首先来看一道常规题，我们先来看一下命题人为什么会出这样的题目，这是一道立体几何的题目，在新课标中，立体几何90%是考三视图，另外10%考比较复杂的线面关系，今年北京卷都是考的三视图，今年考的是表面积，平时我们做三视图的题目应该是有两种考法，第一种方法考求体积，去年考的求体积，今年叫求表面积。 　　很多同学一不小心看成了求体积，没有看清楚，而这个题目在很多题上出现，很多同学做错真不是状态问题，而是细节方面注意。从这个题目本身角度来说，我们看看出题人关注的是什么，一定要把题目问什么搞清楚。　　这个题目是一个比较常规的考法，我们看到给了三个完整视图，关系都给出了，很多同学问题就是如果求体积我们知道，底面积、高就知道了，但是求表面积，我们并不知道这个图形是什么，尽管我们知道它是三棱锥。在平时教学过程中我们很多老师去讲的一些方法和技巧没用了，因为很多同写基础能力没有掌握，把三视图变成直观图，新课标提出要求的，并不是对三视图本身的要求，而是把握三视图和直观图之间的关系，如果我们把握这个关系这个题目就可以解决，但是很遗憾很多同学平时很少这样做。    如果这个题目它的直观图我们能够画出来，我们发现就是这个样子，这个直观图画出来之后，整个几何体就很清楚，答案就很清楚，这个时候同学就会知道，老师，我知道了，这个题需要画直观图，我知道了，但是我不知道怎么画直观图，其实立体几何是在考什么，各位，一定要听清楚了，很多问题是你们平时不注意的，但是是出题人关注的。　　立体几何从本质上讲，只考一个字，叫做高，实在是高，其实原因特别清楚，这个在平时各种各样的课程里面，包括模考选题班专门讲过，但是很多同学没有关注，这是一种考法。这里我讲讲，大家记住以后一定考这个。 　　立体几何里面和三视图相关的高有几个，都考到了，第一个叫做底面上的高，题目上给出了左视图的关系，左视图的宽就是底面的高，这个面考的另外一个高，叫做三视图的斜高，这个题目已经给出来了。 　　各位，请记住这三个高学好了，立体几何一定能够学得非常清楚，最后考试变化也能够基本了解，而平时我们讲一些题型的话你会发现问题。　　好，立体几何就说到这里，今年立体几何大题可能有的同学出了问题，因为今年立体几何大题考的是探索，所有立体几何，这个时候大家只需要关注一个点就行了，就是大题出给出的平面几何条件，如果给出四边形，肯定是这个平面的对角线和高有关系。　　我们看下一个问题，在每年考试中，三角函数都是一个要考的东西，这个东西难度虽然较低，但是还是保留下来了。就今年北京卷15题来说，出题人想法是很清楚的，在之前如果单纯考三角函数，我们知道重点是什么？一定是把这个函数化解之后去求值域，因此有的同学看到题之后真的求值域，很多时候大家是会做题的，但是由于我们太会做题，但是由于题目发生变化，就会出现问题，这个题问定义域，化解完之后只求了一个正周期，连定义域都忘了。　　各位，这和我们考试能力没有任何关系，完全是平时良好的答题、解题、读题习惯，很多同学是没有看题就解题了，很多时候是跟同学强调更多的。　　这个题目是定义域及最小正周期，这个题目化解完之后还挺容易，求单调递增区间，单调递增区间是今年重点考的。　　就三角函数而言有几个东西是重点考的，一个单调性，一个对称性，一个周期性。在今年考前考试预测的时候，今年我跟北京全北京市同学都讲过，如果今年考试考三角函数，它很有可能考对称性和周期性，如果大题不考对称性和周期性，求单调递增区间一定要考，而很多同学认为求单调递增区间比较容易，没有重视，我们说单调递增区间，应该是把我们最后求出来的三角函数，让它成为3X的增区间，然后大家再加上周期，考前我们专门讲过这个，大家觉得比较简单，导致考试的时候做题比较慢了，三角函数是它本身的性质，而不是它的题型。　　接下来我们说导数，今年很多同学导数题目做得比较慢，但是如果大家上过我们课的话，就会发现，这道题除了数字不变，其他都一样，可能有的同学看到题就笑了，这是周帅老师在考前讲过的一道题，是求公切线的，我们讲过在导数考切线的时候的三个基本公式，如果今年考切线有两种考法，当然今年是比较简单的考法，起初我一直在说这个问题，很多时候我跟大家讲清楚了，但是很多同学没有把这个问题提上议事日程，最后导致做得慢，导致考得效果不好。　　而第二种考法相对来说比较常规，是我们一些主流考法，就是讨论参数，这个没有问题。今年从一个函数变成两个函数，两个函数考切线，只能考公切线，接下来考的时候要注意求参数取值范围的问题，如果大家把这个看看就发现几个大题，和接下来的解析几何大题，都是能够考得好的。　　解析几何在北京卷是倒数第二大题，很多人觉得解析几何特别难，但其实解析几何没有那么难，只是部分同学计算上做得不是特别好，我们看今年出的题目，这个不得不说一句，考前新东方学校做了一个模考串讲班，里面设了一些考前预测题目，今年高考北京卷文科数学解析几何的大题，和新东方之前的模拟的大题，除了这几个数字之外，其它地方完全一样，但是很遗憾的是，很多同学因为各种原因没有来上课。 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　　今年解析几何有两种考法，第一是考三角形面积，原因是考两个问题，我们之前说的第二个问题是，今年很有可能考向量，今年理科考试至少证明三点共线，这个考前专门讲了三点共线问题，比如ABC三点，我以这个题目为例子给大家讲讲，为什么会这么考，我们之前是以什么标准预测的，我们需要注意什么问题，三点共线三种考法，第一种考法和斜率有关系，第二种考法是和距离有关系，三点共线的意思是直线AC和直线BC的斜率。　　今年考向量，我专门讲了向量共线问题，这个题依然是这样，所以如果大家考前对于我们讲的这两类问题，一个是距离问题，还有一个斜率问题掌握得比较好，这个题就可以解得比较清楚。　　我们很多同学除了思路上的问题，考法上的问题有时候不太清楚之外，还有一部分在解析几何，计算能力有问题，计算能力有问题是什么？很多时候，我们计算之所以复杂是因为你算多了，所以就复杂了，如果我们知道一些特别主要的算法和公式的话，就能够使计算简单，比如说这里有一个，我告诉大家，你会发现计算是非常轻松。　　三角形面积正常情况下是这样表示的，而很遗憾的是，在绝大部分考生参考中，这个答案变成了什么，这个公式几乎每年必考，叫做根号下1加配方，称以X1和X2的绝对值。很多同学算面积问题为什么算不好，就是这个公式使用不好，因为大家记的公式是X1一X2的绝对值，等于根号下X1+X2的平方，减去4倍的X1、X2，这个公式是很多同学一生中碰到的最复杂的公式，原因是这个公式有平方，有根号，我们代入之后，它是一个有分式，有平方，有K方，这个在化解过程中出现的错误，导致很多题目在这个步骤就错误，为什么？因为没算对，我要告诉大家，其实很多时候大家是算多了，这里简单讲一个小东西，希望大家能够记住。　　上过我们新东方优能中学课程的大家都知道，其实这个公式不是那个样子，至少算的时候不要这样算，原因是算的时候真的会算错，正常的时候我们是用这样一个公式，而这个时候你会发现整个计算过程瞬间简化了，因为你必然要算一个判别式，这个公式原理我们之后课上会跟大家讲，其实特别简单，但是很多同学没有这样的机会看到这个公式。　　当然解析几何里面还有很多其它常见的结论和公式，这个我们之后再跟大家讲，今年我们发现出现了一个面积的题目，这是我们说的常规题的部分。　　可能有一些地方很多同学觉得比较难，有写同学没有掌握到立体几何的本质导致大家做慢了，比如解析几何，大家不知道一些计算算法。所以如果这样几点大家都做得比较好的话，高考数学大家还是比较有把握的，因为考点是比较固定的，考法可以告诉大家。　　接下来在今年考试中，在出题人某些方面做了变化之后，我们该如何看待这个东西，特别是今年北京卷文科、理科考的，这个题目居然有的同学没有做出来，有同学打电话说这道题13题，太好了，就是你之前讲的，一样，很多同学之前没有听过我们的课，很遗憾。第二种考法前两年都考了，向量都考了，给出一个坐标，所以我跟大家讲今年一定不考坐标了，考什么？考建系。　　向量的本质是什么？其实是一件比较清楚的事情，在高中教学里面，向量有不同含义，比如向量有平面几何的含义，比如平行四边形法则，向量还有一个意义就是它的点成优势，可能是它的几何意义和物理意义，而向量从出题人眼里看来，大家一定要明白，很多时候我们学习，不一定完全是学教材上学什么，很多时候考试也不一定学之前考什么，而是你一定要明白出题的大学教授，他们在想什么，他们可能出什么样的变化，即使向量不考坐标，其实还是在考坐标，如果这个题目大家能够建一个坐标系出来，以A为底点，AB、AD为轴建一个坐标系，因此我们可以看出在这个题出所有的坐标都标出来，这些点的坐标都标出来之后，题目中所有向量都可以用坐标表示，很多时候同学看到坐标用坐标算，看到图用到图，而没有结合起来用，出题人考虑的就是这一点，数学大纲有一种对于图象的判断和数使用能力的考察，从数学考察能力来说，各位，我们都非常清楚，这是数形结合的思想，但是这种考法和出题人思路对我们来说非常重要。　　这个时候我们来看，这个时候大家会做，我们讲过，在所有动点问题里面，第一种情况，特殊点代入求值，第二点坐标计算，所以这个坐标设成X、0，接下来所有都可以用坐标计算出来，所以这个时候告诉我们，考前一定要了解考试的变化，如果只是复习平时的问题，你会发现考得很不一样，很多同学会有这样的想法，只要一考试就感觉，只要复习什么，考试时候就不考什么，或者这几年考试对比的规律来看，我们平时非常重视一模二模的考试，各位，这不是规律，是方向，除了一些每年必考之外，北京市考什么，外地考什么，所以各位一定明白高考会有一定变化的。　　大家看这个变化，请允许我给这个题目加个警示标志，因为这个题目特别重要，如果大家对数字、文字比较敏感，这道题目很容易做，但是很多同学把它当作纯数学题目。新课标里面，概率统计是特别重要的点，只要是实施新课标的地方，概率统计是非常重要的点，很多时候没有太多生活基础，或者和生活有联系，有时候问两个班的高考数学成绩，或者这个班的身高怎么分布的，总是这种考法。　　大家清楚，一旦我们熟悉一种考法的时候，出题人更熟悉，他会做变化，这道题，文科、理科考得都一样，文理科分科不是重点，但是考察的方向是一样的。这道题是环保，考垃圾分类，如果这道题目从纯数学的角度来说，其实特别简单，问题是我们是否了解到这个题目的本质，很多时候我们复习数学做什么？做题型，现在绝大部分时间和情况下，在绝大部分教学过程中，我们老师们跟同学们讲的都是题型和对应方法的问题，所以高考绝对不是考题型和对应方面问题，这不是数学，如果那样子的话那纯粹考记忆效果，数学考察的是对于问题的综合分析能力。 　　以这个题目为例，第一个和第二个的问题比较简单，这是一个简单的问题，用数字相除就可以了。　　第三个同学觉得特别难，完全做不出来，很多时候不是题目很难让我们失去信心，这个题目按照惯例，在概率统计里面，如果这道题真的要做的话，它是一个比较复杂的求最值的问题，它可以是一个函数问题，也可以是一个不等式问题，反正就一个词，特别复杂，你之所以算不出来，就一个原因，问题是你算了，如果不算，其实非常简单，题目给了我们这个提示。　　题目要求是当ABC的平方差最大时，写出ABC的值，特别要求的是结要求证明，你算出结果也只算结果分，这是数学里面特别重要的东西，叫做猜想。数学从其发展路径来看，各位一定要清楚这个基本原理，如果基本原理清楚之后就特别简单，我们很多同学熟悉平时的固定的公式，固定的解题模型，导致一些数学的猜想没有了，如果数学高考依然考那样的题型，各位，我们知道高考是教学的指挥棒，如果高考也考题型，意味着高考就没有意义，所以高考不能这么考。　　今年这个题目怎么考的？他只是让我们知道，是根据规律的猜想，不是蒙。大家想一想，我们要求的结论是方差最大，方差是什么？这是数学的东西，方差反映的是数据分布的一种规律，如果方差越大，就表明方差分布越离散，不均匀，如果方差越小就说明数据分布越均匀。　　因此我们知道，如果有三个数据，大家想明白就非常简单，a、b、c三个数字，如果方差最小，a、b、c三个数字如果都相等的话，方差为0，因为特别平均，如果方差越大，就说明越是大越好，就走极端了，这个时候题目给了充分的提示，a+b+c=600，而且还有a>0，b和c没有限制，这就意味着是特殊元素，差距越大越好，a是600，b是0，c是0，可能很多同学老是觉得，老师我会算就行了，但是可能这时候会傻了，就是方差的本质是什么，不需要算就行了。从另外一个角度来说，它其实还可以体现在数学其它地方讲到的特殊值和极限的思想，它一定会考本质，现象是会变化的。　　接下来进入到创新部分，在北京、广东、上海、江苏这样高考改革比较先进的地方，我们发现创新题时有重新，从北京卷开始，从每一年的8、14、20题是创新实验的主战场，我们发现每年一个考法，第一年的时候会考到立体结合的重点问题，2010年考了解析几何，2011年考了数列，今年题目在创新性上体现得特别好，而同时这种创新不是纯粹的没有难度的增加，而是考生对平时学过知识的综合运用，我们来告诉大家，特别是希望考出更好成绩的同学，这些创新题是什么东西？平时我们是不是学过这些东西。　　我们看看第8题，看到数字和字母很敏感的，看到S就是考数列的，但是这个题目和数列好像没有多大关系，因为数列要想算必须要有数字，这个东西是数列里面特别重要的，就是数和形的结合，这个题没有图你要无中生有，比如说函数的图象，或者圆、椭圆，这个题目问的是什么呢？我们发现这个题目问的还是一个比较简单的问题，至少理解上比较简单，就是要想前m额年的平均产量最高的，前两年的总产量是Sm，平均产量是Sm，很遗憾这个图象没有公式，我们能不能根据这个图象得出一个公式吗？不能，因为分布太不平均了。这个题目没有什么函数可画，什么叫数形结合。　　大家要知道，在数学里面，有几个东西是具有几何意义的，这个东西，我关注的不是S，也不是m，而是分数线，其实很多时候分数线或者根号都是有对应的考法的，但是很遗憾，很多时候我们只作为计算。　　在我们春季班课程里面，其中讲到一个问题，就是用数形结合解题，我们考得最多的就是斜率问题，因为大家知道斜率从几何反映的是图形的单调性，如果Sm=K×m的，这个题瞬间变成了比较简单的东西，把形变成数，sm虽然已经有了，而km是关于m的一次性函数，这个时候我们需要把原点和斜率点连接起来，这个题目很清楚了，很遗憾，很多同学第一这个题目蒙错了，第二，在这个题目做了大量文章，这个题目是图，数形结合是一个问题。　　这是今年的第8题，考的是一个斜率问题。 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