一题多解——中考反比例函数试题精讲

反比例解题方法探索 经典例题：(仙桃中考)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－1 2x 与反比例函数 y＝k x(k≠0) 在第二象限内的图象相交于点 A(m，1)． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线 y＝－1 2x 向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点 B，与 y 轴交于点 C， 且△ABO 的面积为3 2，求直线 BC 的表达式． 解：(1)∵直线 y＝－1 2x 过点 A(m，1)， ∴－1 2m＝1， 解得 m＝－2. ∴A(－2，1)． ∵反比例函数 y＝k x(k≠0)的图象过点 A(－2，1)， ∴k＝(－2)×1＝－2. ∴反比例函数的表达式为 y＝－2 x. (2)法一：设直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋b，连接 OA， ∵△ACO 与△ABO 面积相等，且△ABO 的面积为3 2， ∴S△ACO＝1 2OC·2＝3 2. ∴OC＝3 2，即 b＝3 2. ∴直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋3 2. 关键知识点：平行线间的距离，等底等高的三角形面积相等，练习： 如图，从△ABC 各顶点作平行线 AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于 D，E，F．若 △ABC 的面积为 1，则△DEF 的面积为（　　） A．3 B． C． D．2 法二：过点 A 作 AD∥OC，交 BC 于点 D，设直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋b， ∵AD∥OC，OA∥CD ∴四边形 OADC 是平行四边形 ∴ 即 ∴OC＝3 2，即 b＝3 2. ∴直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋3 2. 练习 1.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝BC，E 为 AB 上一点， CF⊥BE，垂足为点 F．如果四边形 ABCD 面积为 48，BE＝7，那 32 == OABOADC Ss △四边形 32 =⋅= OCs OADC四边形么 CF＝　 　． 2．如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，AD＝2AB，直线 AB 的解析式为 y＝﹣ 2x+4，双曲线 y＝ （x＞0）经过点 D，与 BC 边相交于点 E． （1）填空：k＝　 　； （2）连接 AE、DE，试求△ADE 的面积； 法三：过点 B 作 BD∥OC，交 OA 于点 D，设直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋b， 在△ABD 中，设 BD 边上的高为 ， 在△OBD 中，设 BD 边上的高为 ， ∵BD∥OC，OD∥CB ∴四边形 ODBC 是平行四边形 1h 2h∴OC=BD 即 ∴ ∴OC＝3 2，即 b＝3 2. ∴直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋3 2. 22 1 )(2 1 2 1 2 1 21 21 ⋅= += +⋅= += BD hhBD BDhhBD SSS OBDABDABO △△△ 2 322 1 =⋅BD 2 3=BD法四：过点 A 作 AD⊥x 轴，交 x 轴于点 D, 过点 B 作 BE⊥x 轴，交 x 轴于点 E，交 OA 于点 F， 设直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋b，B 的坐标为 ∵A、B 都在反比例函数 y＝k x的图像上， ∴ ∴ 解得: 所以 B 坐标为（-1,2） 将 B 带入直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋b 解得：b＝3 2.      − aa 2, 2 k== OBEOAD SS △△ ADEFOBF OEFOBEOEFOAD SS SSSS 梯形△ △△△△ 即 = −=−∴ 2 3== OABABED SS △梯形 ( ) 2 3 2 1 =+⋅= BEADDES ABED梯形 [ ] 2 321)2(2 1 =        −+⋅−− aa )(41 在第二象限，舍去或 aaa =−=∴直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋3 2. 练习 1.如图，A，B 是反比例函数 y＝4 x在第一象限内的图象上的两点， 且 A，B 两点的横坐标分别是 2 和 4，则△OAB 的面积是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 2.如图，反比例函数 （x＞0）经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧），作 BC⊥ y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC，AO，BO． （1）求反比例函数 的解析式； （2）若∠ACB＝45°，求直线 AB 的解析式； （3）在（2）的条件下，求△AOB 的面积． 法五： 过点 B 作 BD⊥OA 交 OA 于点 D，过点 C 作 CE⊥OA 交 OA 于点 E，过点 A 作 AF⊥x 轴 交 x 轴于点 F. 设直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋b， ∵OA∥BC ∴BD=CE 由（1）可知 A 的坐标为（-2,1） ∴OA= ∴BD= 5 2 3·2 1 == BDOAS OAB△ 5 53∴CE= 又∵∠OCE+∠COE=90° ∠AOF+∠AOC=90° ∴∠AOF=∠OCE ∴OC＝3 2，即 b＝3 2. ∴直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋3 2. 法六：延长 BA，交 x 轴于点 D.设直线 BC 的表达式 为 y＝－1 2x＋b，B 的坐标为 5 53 5 2cos ===∠ OA OF OC CEOCE      − aa 2,由（1）可知，A 坐标为（-2,1）. 设直线 AB 的解析式为 y=mx+n 将点 A(-2,1)、B 带入，得 解得 ∴ 当 y=0 时， ∴D 坐标为（ ） OD= = 即 解得: 所以 B 坐标为（-1,2） 将 B 带入直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋b 解得：b＝3 2. ∴直线 BC 的表达式为 y＝－1 2x＋3 2. 练习：      − aa 2,    −=+ =+− anam nm 2 12      −= −= a an am 2 1 a axay 21 −+−= 2−= ax 0,2−a 2−a a−2 12 12-·2 1 ⋅−    = −= ODaOD SSS OADOBDOAB △△△ ( ) 2 312-22 1 =     −− aa )(41 在第二象限，舍去或 aaa =−=1.如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝ x 与双曲线 y＝ （k≠0）交于点 A，过点 C（0， 2）作 AO 的平行线交双曲线于点 B，连接 AB 并延长与 y 轴交于点 D（0，4），则 k 的值 为　 　．