圆锥曲线离心率问题的解答方法

圆锥曲线的离心率问题 大家知道，圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容，可以毫不夸张地说，不管是高 考，还是高三的诊断考试，基本上是每卷都有出现。这类问题归结起来主要包括：①已知圆 锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线的离心率；②已知圆锥曲线满足某一条件，求圆锥曲线离 心率的取值范围。从题型上看，属于 5 分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从考试的 深难度来看，属于中、高档题。那么如何解答这类问题呢？下面通过对典型例题的解析来回 答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、已知 、 是椭圆两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若 AB 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）（2016—2017 成都实外西区期中考试） A B C D 2、已知双曲线 C： =1（a＞0,b＞0）的左，右焦点分别为 ， ，抛物线 =2px （p＞0）与双曲线有相同的焦点，设 P 为抛物线与双曲线 C 的一个交点，且 cos P = ，则双曲线 C 的离心率为（ ）（2019 成都市高三三诊） A 或 B 或 3 C 2 或 D 2 或 3 〖解析〗 1、【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③正三角形的定义与性 质； 【解答思路】题中没有确定焦点在 X 轴还是 Y 轴，按理应该分两种情况分别考虑，但椭圆离 心率只与长半轴和半焦距有关，这样两种情况求出的结果是一致的，为使问题简化，这里只 考虑焦点在 X 轴上的情况。由正三角形的定义与性质结合椭圆的定义分别求出 a，c 的值， 然后根据椭圆离心率的公式 e= 求出结果； 【详细解答】如图 AB 是正三角形，A X 轴， y A = ， |A |=2|A |，设|A | =2， A 则|A |=1，在 Rt A 中， tan = = x 1F 2F 1F ∆ 2F 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 x y a b − 1F 2F 2y ∠ 1F 2F 5 7 2 3 2 3 c a  ∆ 2F 1F ⊥ ∴ ∠ 2F 1F .30 ⇒ 2F 1F 2F 1F ∆ 1F 2F  .30 1 1 2 | | | | AF F F 1F O 2F 1F 0 2F = ， c= ， |A |+ |A |=1+2=3=2a， a= ， e= = = 。 2、【考点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③抛物线的定义与 性质；④曲线交点的定义与求法； 【解答思路】题中给出了双曲线方程，已经明确焦点在 X 轴上，根据问题条件结合双曲线， 抛物线的定义与性质分别求出 a，c 的值，然后由双曲线离心率的公式 e= 求出结果； 【详细解答】如图，过 作垂直于 X 轴的直线 l， y 过 P 作 PQ l 于 Q， 抛物线 =2px（p＞0）与 Q P 双双曲线 C 有相同的焦点，P 是抛物线与 双曲线 C 的一个交点， |PQ|=|P |， QP = P， O x cos P = ， cos QP = = = ， |P |= |P |，设|P |=7，则|P |=5， |P |-|P |=7-5=2=2a， a=1， 在 P 中， | P| = |P | +|| | -2|P || | cos P ， 25=49+4 -2 7 2c ， -5c+6=0， c=2 或 c=3， e= = 或 e= = e=2 或 e=3。 〖思考问题 1〗 （1）【典例 1】是运用公式 e= 求椭圆（或双曲线）离心率的问题，解答这类问题的关键 是根据题给条件求出椭圆的长半轴 a 和半焦距 c（或双曲线的实半轴 a 和半焦距 c）； （2）注意从实例解析中体会椭圆（或双曲线）定义的巧妙运用，同时数形结合的数学思想 也是解题过程中必不可缺的基本思想与方法。 [练习 1]解答下列问题： 1、设椭圆的两个焦点分别为 ， ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A B C 2- D -1 2、（理）如图，在 ABC 中，已知 BAC= ， B 其内切圆与 AC 边相切于点 D，AD：DC=1：5， 延长 BA 到 E，使 BE=BC，连接 CE，设以 E，C A 为焦点且经过点 A 的椭圆的离心率为 ，以 E，C D 1 2c 3 3 ∴ 3 2  1F 2F ∴ 3 2 ⇒ c a 3 2 3 2 3 3 c a 1F ⊥  2y ∴ 2F ∠ 1F ∠ 2F 1F 1F 2F  ∠ 1F 2F 5 7 ∴ ∠ 1F 1 | | | | PQ PF 2 1 | | | | PF PF 5 7 ⇒ 2F 5 7 1F 1F 2F ⇒ 1F 2F ⇒  ∆ 1F 2F 2F 2 1F 2 1F 2F 2 1F 1F 2F ∠ 1F 2F ∴ 2c × × × 5 7 ⇒ 2c ⇒ ∴ c a 2 1 c a 3 1 ⇒ c a 1F 2F 1F ∆ 1F 2F 2 2 2 1 2 − 2 2 ∆ ∠ .120 1e为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 ，则当 C E + 取最大值时， 的值为 ； （文）如图，在 ABC 中，已知 BAC= ，其内切圆与 AC 边相切于点 D，AD： DC=1：5，延长 BA 到 E，使 BE=BC，连接 CE，设以 E，C 为焦点且经过点 A 的椭圆的离 心率为 ，以 E，C 为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 ，则 + 的值为 （2019 成都市高三零诊） 3、双曲线 =1（a＞0,b＞0）的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ； 【典例 2】解答下列问题： 1、已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别是椭圆 C 左右顶点，P 为椭圆 C 上一点，且 PF X 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 Y 轴交于点 E，若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）（2016 全国高考新课标丙 卷） A B C D 2、设 、 分别为双曲线 =1（a＞0,b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存 在一点 P，满足|P |=| |，且 到直线 P 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线 的离心率 e 为（ ）（2013 山西长治第二次质检） A B C D 〖解析〗 1、【考点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆离心率的定义与求法；③过定点的直线方程的 求法；④直线与曲线（或直线）的交点的求法； 【解答思路】题中焦点在 X 轴上已经确定，由问题条件得到关于 a，c 的齐次方程，进一步 化为关于 e 的一元二次（或一元一次）方程，然后求解方程，根据椭圆离心率的取值范围求 出结果； 【详细解答】如图， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M， y 与 Y 轴交于点 E， 直线 l 的方程为：y=kx+ka， PF X 轴， 直线 PF 的方程为：x=-c，由 y=kx+ka， M（-c， P E 由 y=kx+ka， x=-c， k(a-c)）， x=0, E（0，ka）， N(0， )， 直线 BM A B x 2e 1 2 e 2 1 e AD DC ∆ ∠ .120 1e 2e 1e 2e 2 2 2 2 x y a b − 2 2 2 2 x y a b + ⊥ 1 3 1 2 2 3 3 4 1F 2F 2 2 2 2 x y a b − 2F 1F 2F 2F 1F 4 5 5 4 3 5 5 3 ∴  ⊥ ∴ ⇒ ⇒ ⇒ 2 ak  M N F O 1F 0 2F 的方程为：y=- x + ， 点 N(0， )在直线 BM 上， = a+c=2(a-c)， a=3c， = ， 椭圆离心率 e 满足：0