三角函数求值问题的解答方法

三角函数求值问题的解答方法 三角函数求值问题是指在给定条件的情况下，求三角函数值或角的问题。这类问题主要包括： ①知角求值；②知值求值；③知值求角三种类型。各种类型具有一定的结构特征，解答的方 法也有所不同，那么在实际解答三角函数求值问题时，到底应该如何应对呢？下面通过典型 例题的解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、 =（ ） A B C 2 D 【解析】 【知识点】①诱导公式及运用；②二倍角公式及运用。 【解题思路】运用诱导公式，二倍角公式通过运算就可得出结果。 【详细解答】 原式= = =2， C 正确， 选 C。 2、4cos -tan =（ ） A B C D 2 -1 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②诱导公式及运用；③和角，差角，倍角公式及运 用；④任意角化特殊角的基本方法；⑤辅助角公式及运用。 【解题思路】运用同角三角函数的基本关系切化弦，结合分式的性质进行运算，根据和角， 差角，二倍角公式化成 asin +bcos 的式子，再利用辅助角公式通过运算得出结果。 【详细解答】 原式=4sin - = = = = = = = ， C 正确， 选 C。 3、求角 ， 的正弦、余弦、正切值； 【解析】 【知识点】①任意角化特殊角的基本方法；②和角，差角公式及运用。 【解题思路】运用 = + ， = - ，结合和角，差角公式通过运算可得出结果。 . 2 . 3 sin 70 2 cos 10 − − 1 2 2 2 3 2  . . 3 cos20 cos20 12 2 − +− . . 2(3 cos20 ) 4 cos20 1 − − − ⇒ ∴ .50 .40 2 2 3 2 + 3 2 α α  .40 . . sin 40 cos40 . . . . 4sin 40 cos40 sin 40 cos40 − . . . 2sin80 sin 40 cos40 − . . . . . 2sin(60 20 ) sin(60 20 ) cos40 + − − . . . 3 3sin 20 cos202 2 cos40 + . . . 3sin(20 30 ) cos40 + . . 3sin50 cos40 3 ⇒ ∴ 75。 15。 75。 .45 .30 15。 .45 .30【详细解答】 = + ， sin =sin( + )=sin cos +cos sin = ( + )= ； cos =cos( + )=cos cos -sin sin = ( - )= ；tan =tan( + )= = = = =2+ ； = + ， sin =sin( - )=sin cos - cos sin = ( - )= ；cos =cos( + )=cos cos +sin sin = ( + )= ；tan =tan( - )= = = = =2- 。 4、计算 cos cos +sin cos 的值； 【解析】 【知识点】①诱导公式及运用；②差角公式及运用。 【解题思路】运用诱导公式，差角公式通过运算就可得出结果。 【详细解答】原式= cos cos +sin sin =cos( - )=cos =0。 5、求 的值； 【解析】 【知识点】①特殊角三角函数值的运用；②和角公式及运用。 【解题思路】运用特殊角三角函数值，和角公式通过运算就可得出结果。 【详细解答】原式= = tan( + )=tan = 。 6、计算 的值； 【解析】  75。 .45 .30 ∴ 75。 .45 .30 .45 .30 .45 .30 2 2 3 2 1 2 6 2 4 + 75。 .45 .30 .45 .30 .45 .30 2 2 3 2 1 2 6 2 4 − 75。 .45 .30 . . . . tan 45 tan30 1 tan 45.tan30 + − . 31 3 31 3 + − 3 3 3 3 + − 9 6 3 3 9 3 + + − 3 15。 .45 .30 ∴ 15。 .45 .30 .45 .30 .45 .30 2 2 3 2 1 2 6 2 4 − 15。 .45 .30 .45 .30 .45 .30 2 2 3 2 1 2 6 2 4 + 15。 .45 .30 . . . . tan 45 tan30 1 tan 45.tan30 − + 31 3 31 3 − + 3 3 3 3 − + 9 6 3 3 9 3 − + − 3 113。 23。 113。 67。 113。 23。 113。 23。 113。 23。 .90 1 tan15 1 tan15 + − 。 。 . . . . tan 45 tan15 1 tan 45.tan15 + − .45 15。 .60 3 sin 7 cos15 sin8 cos7 sin15 sin8 + − 。 。 。 。 。 。【知识点】①差角公式及运用；②任意角化特殊角的基本方法。 【解题思路】运用差角公式结合任意角化特殊角的基本方法通过运算就可得出结果。 【详细解答】原式= = = tan =tan( - )= = = = =2- 。 7、已知 + = ，求（1+tan ）(1+tan )的值； 【解析】 【知识点】①和角公式及运用；②代数式求值的基本方法。 【解题思路】运用和角公式结合代数式求值的基本方法通过运算就可得出结果。 【详细解答】 + = ， tan( + )= =tan =1， =1- ， （ 1+tan ） (1+tan )=1+ + =1+1- + =2。 8、计算 Cos cos cos cos 的值； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②分式的定义与性质；③诱导公式及运用。 【解题思路】运用分式的定义与性质结合二倍角公式，诱导公式通过运算就可得出结果。 【详细解答】原式= = .cos = = = = 。 9、计算 cos -cos 的值； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②分式的定义与性质；③诱导公式及运用；④和角，差角 公式及运用。 【解题思路】运用分式的定义与性质结合二倍角公式，诱导公式，和角，差角公式通过运算 可得出结果。 . . . . . . . . . . . . sin15.cos8 cos15.sin8 cos15.sin8 cos15.cos8 sin15.sin8 sin15.sin8 − + + − . . . . sin15.cos8 cos15.cos8 15。 .45 .30 . . . . tan 45 tan30 1 tan 45.tan30 − + 31 3 31 3 − + 3 3 3 3 − + 9 6 3 3 9 3 − + − 3 α β 4 π α β α β 4 π ∴ α β tan tan 1 tan .tan α β α β + − 4 π ⇒ tan tanα β+ tan .tanα β ∴ α β tan tanα β+ tan .tanα β tan .tanα β tan .tanα β 20。 40。 60。 80。 . . . . . . 2sin 20 cos20 cos40 cos80 cos60 2sin 20 . . . . 2sin 40 cos40 cos80 4sin 20 60。 . . . . 2sin80 cos80 cos60 8sin 20 . . . sin160 cos60 8sin 20 .cos60 8 1 16 5 π 2 5 π【详细解答】原式= = = = = 。 10、计算 + +sin cos 的值； 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②诱导公式及运用；③和角，差角公式及运用。 【解题思路】运用二倍角公式，诱导公式，和角，差角公式通过运算可得出结果。 【详细解答】原式= + +sin cos（ - ）=1- + + sin cos + sin sin =1- + + sin - sin + cos - cos = - + sin + cos = - + sin( + ) = - + sin = - + = 。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是知角求值的问题，解答这类问题的基本思路是把任意角转化为特殊角，从 而运用特殊角的函数值求出结果； （2）解答该类问题上注意知识的综合运用，同时还要注意和角，差角，二倍角公式的灵活 运用（即可以从公式的左边到右边，也可以从公式的右边到左边）。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、求 - sin （ - ）的值； 2、 计算 sin cos -cos sin 的值； 3、计算 的值； 4、计算 的值； 5、计算 tan +tan + tan tan 的值； 22sin cos 2sin cos5 5 5 5 2sin 5 π π π π π − 2 2 2sin sin( ) sin( )5 5 5 5 5 2sin 5 π π π π π π + − − + 2 3sin sin sin5 5 5 2sin 5 π π π π + − 2 2sin sin sin5 5 5 2sin 5 π π π π + − 1 2 2sin 10。 2cos 40。 10。 40。 .1 cos20 2 − .1 cos80 2 + 10。 60。 .20 .cos20 2 .cos80 2 1 2 10。 .20 3 2 10。 .20 .cos20 2 .sin10 2 1 4 .30 1 4 10。 3 4 10。 3 4 .30 3 4 .cos20 2 1 4 10。 3 4 10。 3 4 .cos20 2 1 2 10。 60。 3 4 .cos20 2 1 2 .70 3 4 .cos20 2 .cos20 2 3 4 . . 1 cos20 2sin 20 + 10。 . 1 tan5 .tan5 58。 37。 58。 37。 tan53 tan 23 1 tan53 tan 23 − + 。 。 。 。 . . 1 tan15 1 tan15 − + 20。 40。 3 20。 40。6、计算 Cos cos cos cos 的值。 【典例 2】解答下列问题： 1、若角 的顶点为原点，始边与 X 轴正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2 =（ ） A - B - C D 【解析】 【知识点】①任意角三角函数的定义与性质；②二倍角公式及运用。 【解题思路】运用任意角三角函数的定义与性质求出角 的正弦（或余弦）值，根据二倍角 公式通过运算就可得出结果。 【详细解答】 角 的顶点为原点，始边与 X 轴正半轴重合，终边在直线 y=2x 上， sin = = ， cos2 =1-2sin =1-2 =- ， B 正确， 选 B。 2、已知 sin2 = ，则 cos （ + ）=（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①二倍角公式及运用；②诱导公式及运用。 【 解 题 思 路 】 运 用 二 倍 角 公 式 和 诱 导 公 式 得 到 cos （ + ） = = ，根据条件通过运算就可得出结果。 【详细解答】 cos （ + ）= = ，sin2 = ， cos （ + ）= = ， A 正确， 选 A。 3、已知 为锐角，且有 2tan( - )-3cos( + )+5=0，tan( + )+6sin( + )-1=0， 则 sin 的值是（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①诱导公式及运用；②二元一次方程组及其解法；③同角三角函数的基本关系。 【解题思路】运用诱导公式和二元一次方程组的解法求出 tan 的值，根据同角三角函数 的基本关系通过运算就可得出结果。 .12 .24 .48 .96 θ θ 4 5 3 5 3 5 4 5 θ  θ ∴ θ 2 5 2 5 5 ⇒ θ 2 θ × 4 5 3 5 ⇒ ∴ α 2 3 2 α 4 π 1 6 1 3 1 2 2 3 2 α 4 π 1 cos( 2 )2 2 π α+ + 1 sin 2 2 α−  2 α 4 π 1 cos( 2 )2 2 π α+ + 1 sin 2 2 α− α 2 3 ∴ 2 α 4 π 21 3 2 − 1 6 ⇒ ∴ α π α 2 π β π α π β α 3 5 5 3 7 7 3 10 10 1 3 α【详细解答】 2tan( - )-3cos( + )+5=0， -2tan +3sin +5=0， tan =3， tan( + )+6sin( + )-1=0， tan -6sin -1=0， sin =3cos ， sin + sin =1， sin = ， 为锐角， sin = ， C 正确， 选 C。 4、已知 sinA+cosA=- ，A 为第四象限角，则 tanA 等于（ ） A B C - D - 【解析】 【知识点】①任意角三角函数的定义与性质；②勾股定理及其运用；③一元二次方程的定义 与解法。 【解题思路】运用任意角三角函数的定义与性质，借助图像和勾股定理求出两直角边的值， 根据任意角正切函数的定义通过运算就可得出结果。 【详细解答】如图，设 0B=x， sinA+cosA=- ， y BC=x+7，在 Rt OBC 中， OB +BC =OC ， O B x + =13 ， +7x-60=0， x=5， 13 BC=5+7=12， A 为第四象限角， tanA=- ， C C 正确， 选 C。 5、已知 sin .cos = ， ＜ ＜ ，则 cos -sin 的值为（ ） A - B C - D 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二倍角公式及运用；③完全平方公式及运用。 【解题思路】运用同角三角函数的基本关系求出 cos -sin 的平方的值，根据 ＜ ＜ ，就可得出 cos -sin 的值。 【详细解答】 sin .cos = ， = cos -2 sin .cos + sin =1-2 = ， ＜ ＜ ， cos -sin >0， cos -sin = ， B 正  π α 2 π β ∴ α β ⇒ α π α π β α β ⇒ α α ⇒ 2 α 1 9 2 α ⇒ α ± 3 10 10  α ∴ α 3 10 10 ⇒ ∴ 7 13 12 5 5 12 12 5 5 12  7 13 ∴ ∆  2 2 2 ∴ 2x 2( 7)x + 2 ⇒ 2x ⇒  ∴ 12 5 ⇒ ∴ α α 1 8 5 4 π α 3 2 π α α 3 2 3 2 3 4 3 4 α α 5 4 π α 3 2 π α α  α α 1 8 ∴ 2(cos sin )α α− 2 α α α 2 α × 1 8 3 4  5 4 π α 3 2 π ∴ α α ⇒ α α 3 2 ⇒确， 选 B。 6、已知 sin = ，则 sin -cos 的值为（ ） A - B - C D 【解析】 【知识点】①平方差公式及运用；②同角三角函数的基本关系。 【解题思路】运用平方差公式分解因式，由同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。 【详细解答】 sin -cos =（sin + cos ）（sin - cos ）= sin - cos =2 sin - 1，sin = ， sin -cos =2 -1=- ， B 正确， 选 B。 7、已知 tan =3，则① = ；②sin -3sin cos +1= ； 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②十字相乘法及运用。 【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果；②运用十字相乘法分 解因式，根据同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。 【详细解答】 tan =3， ① = = =1；②sin -3sin cos +1=2sin -3sin cos + cos =（2sin - cos ）（sin - cos ） = cos （2tan -1）（tan -1）= （2 3-1）（3-1）=1。 8、已知角 终边上一点 P（-4,3），则 的值为 ； 【解析】 【知识点】①任意角三角函数的定义与性质；②诱导公式及运用。 【解题思路】①运用任意角三角函数的定义与性质求出 tan 的值，根据诱导公式通过运 算就可得出结果。 【详细解答】 角 终边上一点 P（-4,3）， tan =- ， 原式= = tan =- 。 9、已知 ， 为锐角，cos = ，sin（ + ）= ，则 cos = ； 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②差角公式及运用。 ∴ α 5 5 4 α 4 α 1 5 3 5 1 5 3 5  4 α 4 α 2 α 2 α 2 α 2 α 2 α 2 α 2 α α 5 5 ∴ 4 α 4 α × 1 5 3 5 ⇒ ∴ α 2sin 3cos 4sin 9cos α α α α − − 2 α α α  α ∴ 2sin 3cos 4sin 9cos α α α α − − 2tan 3 4tan 9 α α − − 2 3 3 4 3 9 × − × − 2 α α α 2 α α α 2 α α α α α 2 α α α 1 10 × α cos( ).sin( )2 11 9cos( ).sin( )2 2 π α π α π πα α + − − − + α  α ∴ α 3 4 ⇒ sin .sin sin .cos α α α α − − α 3 4 α β α 1 7 α β 5 3 14 β【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系求出 sin ，cos（ + ）的值，根据差角 公式通过运算就可得出结果。 【详细解答】 cos = ， 为锐角， sin = = ， ， 为锐角， sin（ + ）= ， cos（ + ）= = ， 0< < + < ， cos （ + ） =- ， = （ + ） - ， cos =cos[ （ + ） - ]= cos （ + ）.cos + sin（ + ）.sin =- + =- + = 。 10、已知 sin = ，并且 是第二象限的角。 求下列三角函数的值：①cos ； ②tan 。 解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系。 【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。 【详细解答】 sin = ，并且 是第二象限的角， ① cos =- =- ； ②tan = =- 。 11、已知 cos =- 。 求下列三角函数的值：①sin ； ②tan 。 解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系。 【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。 【详细解答】 cos =- 0， ＜ ， sin( + )=- =- ， sin(2 + )= cos2 =2 sin( + ).cos（ + ）=2 (- ) =-- ，