数列通项公式的求法

数列通项公式的求法 数列的通项公式是指表示数列任意一项与序号相关的式子。求数列的通项公式问题是目前高 考中的热点，可以这样毫不夸张地说，只要是涉及数列问题的考试，就一定有求数列通项公 式的问题。从各种考试的情况来看，数列通项公式问题主要包括：①已知数列的前几项，求 数列的一个通项公式；②求基本数列（等差数列或等比数列）的通项公式；③已知数列的首 项，数列的通项公式与前 n 项和公式之间的关系式，求数列的通项公式；④已知数列的首项 和数列的递推公式，求数列的通项公式四种不同的类型。那么在求解数列的通项公式问题时， 如何根据不同类型的特征去展开思路，准确、快捷地解答问题呢？下面通过典型例题的解析 来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、数列 1，3，7，15，31，------的一个通项公式是（ ） A = B = +1 C = -1 D = 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。 【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通 项公式。 【详细解答】 1=2-1，3=4-1= -1，7=8-1= -1，15=16-1= -1，31=32-1= -1，--------， = -1 ， C 正确， 选 C。 2、数列 ，- ， ，- ，------的一个通项公式是（ ） A = B = C = D = 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。 【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通 项公式。 【详细解答】 = ，- = ， = ， - = ，--------， = ， C 正确， 选 C。 3、下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项 公式是（ ）（2013 河北衡水中学模以） | | | A = -n+1 B = | | | C = D = | | | 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。 【解题思路】对数列给出的几个图形入手，认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求 出数列的通项公式。 na 2n na 2n na 2n na 12n+  22 32 42 52 ∴ na 2n ⇒ ∴ 1 2 3 4 5 8 7 16 na 1 2 1( 1) 2 n n n + −− na 2 1( 1) 2 n n n −− na 1 2 1( 1) 2 n n n+ −− na 2 1( 1) 2 n n n −−  1 2 1 11 +−（ ） × 2 1 1 2 × − 3 4 2 11 +−（ ） × 2 2 2 1 2 × − 5 8 3 11 +−（ ） × 3 2 3 1 2 × − 7 16 4 11 +−（ ） × 4 2 4 1 2 × − ∴ na 1 2 1( 1) 2 n n n+ −− ⇒ ∴ na 2n na ( 1) 2 n n − na ( 1) 2 n n + na ( 2) 2 n n +【详细解答】 1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，---------， =1+2+3+-------+n = ， C 正确， 选 C。 4、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）1，3，5，7，------- （2）4，- ，2，- ，-------- （3）3，5，9，17，33，----------- （4）- ， ，- ， ，-------- （5） ， ， ， ，---------- 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数学归纳法的定义与运用。 【解题思路】对数列给出的几项认真分析，寻找各项与序号之间的规律，从而求出数列的通 项公式。 【详细解答】（1） 1=2 1-1，3=4-1=2 2-1，5=6-1=2 3-1，7=8-1=2 4-1，--------， =2n -1 ；（2） 4= = ，- = = ， 2= = ， - = = ， ------ ， = ；（3） 3=2+1，5=4+1= +1，9=8+1= +1，17=16+1= +1，33=32+1= +1， --------， = +1 ；（4） - = = ， = = ， - = = ， = = ， -------- ， = ；（5） =1+ =1+ ， =2+ =2+ ， =3+ =3+ ， =4+ =4+ ，-------， =n+ = 。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是已知一个数列的前几项，求数列的一个通项公式的问题，解答这类问题需 要理解通项公式的定义，了解这类问题的特征，掌握解答的基本方法； （2）解答已知一个数列的前几项，求数列的一个通项公式问题的基本方法是归纳法（即由  ∴ na ( 1) 2 n n + ⇒ ∴ 5 2 7 4 1 2 1 6 1 12 1 20 3 2 8 3 15 4 24 5  × × × × ∴ ∴ na  1 11 +−（ ） × 4 1 1 11 +−（ ） × 1 3 1 + 5 2 2 11 +−（ ） × 5 2 2 11 +−（ ） × 2 3 2 + 3 11 +−（ ） × 6 3 3 11 +−（ ） × 3 3 3 + 7 4 4 11 +−（ ） × 7 4 4 11 +−（ ） × 4 3 4 + ∴ na n 11 +−（ ） 3 n n +  22 32 42 52 ∴ na 2n  1 2 11−（ ）× 1 2 11−（ ）× 1 1 2× 1 6 21−（ ）× 1 6 21−（ ）× 1 2 3× 1 12 31−（ ）× 1 12 31−（ ）× 1 3 4× 1 20 41−（ ）× 1 20 41−（ ）× 1 4 5× ∴ na 1 n−（ ） 1 ( 1)n n +  3 2 1 2 1 1 1+ 8 3 2 3 2 2 1+ 15 4 3 4 3 3 1+ 24 5 4 5 4 4 1+ ∴ na 1 n n + ( 2) 1 n n n + +特殊到一般）的数学思维方法，根据数列的前几项找出其共同的规律（横看“各项之间的关 系”，纵看“项的各部分与项数 n 的关系”）；其基本步骤是：①对给出的几项认真观察，分 析寻找项与项之间的关系；②如果给出的项直接找不出项与项的关系，可以对给出的几项作 适当的处理使项与项之间的关系更明显；③根据项与项之间的关系得到规律，求出通项公式； ④把求得的通项公式代入已知的项进行验证； （3）解决这类问题的关键是如何去破解数列已知的前几项，在实际问题中具体包括：①已 知的几项是用图形表示的数列；②已知的几项是用数组成的数列； （4）解答已知的几项是用图形表示的数列时，应该从两个方面入手：①前后两个图形的数 量关系（即递推关系）；②由递推关系求出前面几项，再进行归纳； （5）解答已知的几项是用数组成的数列时，应该从如下四个方面入手：①把前几项化成相 同的结构；②利用常见正整数组成的数列推测出项的各部分与项数 n 的关系；③确定项的符 号特征；④注意运用“因数分解”“ ”的技巧。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、数列 1， ， ， ，------的一个通项公式是（ ） A = B = C = D = 2、若数列的通项公式为 = ，记 f(n)=2（1- ）（1- ）-----（1- ），试通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值，猜测 f(n)等于（ ） A B C D 3、数列 ， ， ， ，-----中，有序实数对（a，b）可以是（ ） A （21，-5） B （16，-1） C （- ， ） D （ ，- ） 4、根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）2，4，6，8，----------- （2） ， ， ， ，---------- （3）- ， ，- ， ---------- （4） ， ， ， ，---------- 【典例 2】解答下列问题： 1、在等差数列｛ ｝中，已知 =10， =31。求① ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②等差数列的定义与性质；③求等差数列首项， 公差的基本方法。 【解题思路】运用等差数列的定义与性质，结合问题条件得到关于首项和公差的二元一次方 ± 8 5 15 7 24 9 na 2 2 1 n n + na ( 2) 1 n n n + + na 2( 1) 1 2( 1) n n + − + na ( 2) 2 1 n n n + + na 2 1 ( 1)n + 1a 2a na 1n n + 3 1 n n + + 2 1 n n + + 3 2 n n + + 5 3 10 8 17 a b+ 24 a b− 41 2 11 2 41 2 11 2 1 5 1 10 1 15 1 20 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2 1 6 1 12 1 20 na 5a 12a 20a程组，求解方程组得出等差数列首项和公差的值，从而求出等差数列的通项公式。 【详细解答】设等差数列｛ ｝的首项为 ，公差为 d， = +4d=10①， = +11d=31②，联立①②解得： =-2，d=3， =-2+3（n-1）=3n-5， =3 20-5=55。 2、设数列｛ ｝的前 n 项和为 ，若 = ， +2 =0 (n≥2,n∈ )。求数列 ｛ ｝的通项公式； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前 n 项和的定义与性质；③等差数列的定 义与判定方法。 【解题思路】运用数列的通项公式与前 n 项和公式，结合条件得到关于数列前 n 和 的等 式，判定数列{ }是等差数列，由等差数列的通项公式求出 ，再求出 ，进一步求出 数列的通项公式。 【详细解答】当 n 2 时， +2 =0， - +2 =0， - =2， = ， +2（ + ） =0， =- ， = + = - = ， =4， 当 n 2 时，数列{ }是以 4 为首项，2 为公差的等差数列， =4+2（n-2）=2n， = ， = - = - =- (n≥2)， 当 n=1 时，式子没有意义， 数列｛ ｝ 的通项公式为 = ，n=1， - ，n≥2。 3、已知等比数列｛ ｝中， + + =7， =8。求 ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②等比数列的定义与性质；③求等比数列首项， 公比的基本方法。 【解题思路】运用等比数列的定义与性质，结合问题条件得到关于首项和公比的二元一次方 程组，求解方程组得出等比数列首项和公比的值，从而求出等比数列的通项公式。 na 1a  5a 1a 12a 1a 1a ∴ na ⇒ 20a × na sn 1a 1 2 na sn n-1s N ∗ na sn 1 nS 1 nS sn ≥  na sn n-1s ∴ sn n-1s sn n-1s ⇒ 1 nS 1 1 nS −  1a 1 2 ∴ 2a 1a 2a 1a ⇒ 2a 1 4 ⇒ 2S 1a 2a 1 2 1 4 1 4 ⇒ 2 1 S ∴ ≥ 1 nS ⇒ 1 nS ⇒ sn 1 2n ∴ na sn n-1s 1 2n 1 2( 1)n − 1 2 ( 1)n n −  ∴ na na 1 2 1 2 ( 1)n n − na 1a 2a 3a 1a 2a 3a na【详细解答】设等比数列｛ ｝的首项为 ，公比为 q， + + = （1+q+ ）=7 ①， = =8②，联立①②解得 =4，q= 或 =1，q=2， =4 = 或 =1 = 。 4、设有数列｛ ｝， = ，若以 ， ，----- 为系数的二次方程 - x+1=0 (n≥ 2,n∈ )。都有根 、 ，满足：3 - +3 =1。 （1）求证：数列｛ - ｝为等比数列； （2）求 ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②一元二次方程根与系数的关系定理及运用；③ 等比数列的定义与判定方法。 【解题思路】（1）运用一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件得到关于 ， 的等式，根据等比数列的判定方法证明结论；（2）由（1）可知数列｛ - ｝为等比数 列，运用等比数列的通项公式求出 - ，从而求出数列的通项公式 。 【详细解答】（1）证明： 、 是方程 - x+1=0 (n≥2,n∈ )的根， + = ， . = ， 3 - +3 =3（ + ）- . =1， 3 - =1， 3 -1= ， 3（ - ）= - ， = ， = ， 3 -1= ， = ， - = - = ， 当 n≥2 时, 数列｛ - ｝是以 为首项， 为公比的 等比数列， - = - = ， = = ， 数列｛ - ｝是以 为首项， 为公比的等比数列；（2）由（1）知，数列｛ - ｝是以 为首项， 为公比的等比数 列， - = = ， = + (n∈ )。 『思考问题 2』 na 1a  1a 2a 3a 1a 2q 1a 2a 3a 3 1( )a q 1a 1 2 1a ∴ na × 11 2 n−（ ） 31 2 n−（ ） na × 12n− 12n− na 1a 5 6 1a 2a na 1na − 2x na N ∗ α β α α β β na 1 2 na na 1na − na 1 2 na 1 2 na α β 1na − 2x na N ∗ ∴α β 1 n n a a − α β 1 1 na −  α α β β α β α β ∴ × 1 n n a a − 1 1 na − ⇒ na 1na − ⇒ na 1 2 1na − 1 2 ⇒ 1 1 2 1 2 n n a a − − − 1 3  1a 5 6 ∴ 2a 1a ⇒ 2a 11 18 ⇒ 2a 1 2 11 18 1 2 1 9 ∴ na 1 2 1 9 1 3  1a 1 2 5 6 1 2 1 3 ∴ 2 1 1 2 1 2 a a − − 1 9 1 3 1 3 ∴ na 1 2 1 3 1 3 na 1 2 1 3 1 3  na 1 2 1 3 × 11 3 n−（ ） 1 3 n（ ） ∴ na 1 3 n（ ） 1 2 N ∗（1）【典例 2】是求基本数列通项公式的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列 的定义，掌握等差数列，等比数列通项公式的求法； （2）求基本数列的通项公式关键是由条件求出：① ，② （或 ）； （3）求基本数列的首项，公差（或公比）的基本思想是 ；其基本方法是：①设出 基本数列的 ，公差（或公比）；②根据已知条件列出关于首项，公差（或公比）的 组；③求解方程组；④写出基本数列的通项公式。 〔练习 2〕解答下列问题： 1、在等差数列｛ ｝中，已知 =10， =19。求① ； 2、设数列｛ ｝是公差为 2 的等差数列，数列｛ ｝满足： =2， = (n∈ )。 求数列｛ ｝的通项公式； 3 、 已 知 数 列 ｛ ｝ 是 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 若 =1 ， =16, 。 ① 求 ； 4、在等比数列｛ ｝中，已知 =12， =18。①求 。 【典例 3】解答下列问题： 1、已知数列｛ ｝的前 n 项和为 ，满足 + = ，且 =1，那么 等于（ ） A 1 B 9 C 10 D 55 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】运用数列前 n 项和公式的定义与性质，结合问题条件求出数列的通项公式，从 而求出 的值。 【详细解答】当 n=m=1 时， + = ， + = ， + = + ， = ，当 n=1，m=2 时， + = ， + = ， + + = + + ， = ，当 n=1，m=3 时， + = ， + = ， + + + = + + + ， = ，------，当 n=1，m=9 时， + = ， + = ， + + + +------+ = + + +-------+ ， = ， A 正确， 选 A。 2、已知数列｛ ｝的前 n 项和 =2 +3n，那么此数列的通项公式为 = ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】运用数列前 n 项和公式的定义与性质，结合问题条件就可求出数列的通项公式。 【详细解答】当 n=1 时， = =2 1+3 1=2+3=5，当 n≥2 时, =2 +3n， = na 4a 7a 20a na nb 1b nb 2n 1a + N ∗ nb na 1a 5a 20a na 3a 4a na na ns ns ms n ms + 1a 10a 10a  ns ms n ms + ∴ 1S 1S 2S ⇒ 1a 1a 1a 2a ⇒ 2a 1a  ns ms n ms + 1S 2S 3S ⇒ 1a 1a 2a 1a 2a 3a ⇒ 3a 1a  ns ms n ms + 1S 3S 4S ⇒ 1a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 4a ⇒ 4a 1a  ns ms n ms + 1S 9S 10S ⇒ 1a 1a 2a 3a 9a 1a 2a 3a 10a ⇒ 10a 1a ⇒ ∴ na ns 2n na  1S 1a × ×  ns 2n ∴ na- =2 +3n-2 -3（n-1）=2 +3n-2 +4n-2-3n+3=4n+1， 当 n=1 时， =4 1+1=5 成立， 数列的通项公式为 =4n+1(n∈ )。 3、若数列｛ ｝的前 n 项和 = + ，则｛ ｝的通项公式 = ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】当 n=1 时，求出 的值；当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质， 结合问题条件得到关于 ， 的等式，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛ ｝ 为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列｛ ｝的通项公式，验证 当 n=1 时是否成立，从而得出数列｛ ｝的通项公式。 【详细解答】当 n=1 时， = = + ， =1，当 n≥2 时, = + ， = - = + - - = - ， =- ， =-2， =1， = + = + ， =-2， 数列｛ ｝是以-2 为首项，-2 为公比的等 比数列， =-2 = （n≥2）， 当 n=1 时， = =1 成立， 数 列 ｛ ｝的通项公式 = (n∈ )。 4、设数列｛ ｝的前 n 项和为 ，若 =1， = (n∈ )。求： ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质，结合问题条件得到关于 ， 的等式，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛ ｝为等比数列，利用等比数列 通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列｛ ｝的通项公式，验证当 n=1 时是否成立，从而得 出数列｛ ｝的通项公式。 【详细解答】当 n≥2 时， = (n∈ )， - = （ - ）= ， = ， = ， =1， = = = ， 数列｛ ｝是以 为首项， sn n-1s 2n 21n −（ ） 2n 2n  1a × ∴ na N ∗ na sn 2 3 na 1 3 na na 1a na 1na − na na na  1S 1a 2 3 1a 1 3 ∴ 1a  ns 2 3 na 1 3 ∴ na sn n-1s 2 3 na 1 3 2 3 1na − 1 3 2 3 na 2 3 1na − ⇒ 1 3 na 2 3 1na − ⇒ 1 n n a a −  1a 2S 1a 2a 2 3 2a 1 3 ∴ 2a ⇒ na ⇒ na × 2n−（- 2） 1n−（- 2）  1a 1 1−（- 2） ∴ na na 1n−（- 2） N ∗ na sn 1a 1na + 1 3 sn N ∗ na na 1na − na na na  1na + 1 3 sn N ∗ ∴ 1na + na 1 3 sn n-1s 1 3 na ⇒ 1na + 4 3 na ⇒ 1n n a a + 4 3  1a ∴ 2a 1 3 1S 1 3 1a 1 3 ⇒ na 1 3为公比的等比数列， = = （n≥2）， 当 n=1 时， = = , 1， 数列｛ ｝的通项公式 = 1，n=1， ，n≥2。 5、已知数列｛ ｝的各项均为正数，且 = （ + ）。求： ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前 n 和公式的定义与性质。 【解题思路】当 n=1 时，求出 的值；当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质， 结合问题条件得到关于 ， 的等式，根据等差数列判定的基本方法，判定数列｛ ｝ 为等差数列，利用等差数列通项公式的求法求出当 n≥2 时,数列｛ ｝的通项公式，进一 步求出 ，再利用公式 = - 求出 ，验证当 n=1 时是否成立，从而得出数列｛ ｝ 的通项公式。 【详细解答】当 n=1 时， = = （ + ）， =1， = 1， >0， =1，当 n≥2 时， = （ + ）， = （ - + ）， 2 （ - ）= +1， - =1， =1， = + = （ + ）， 2 +2 = +1， +2 -1=0 ， =-1 ， >0 ， = -1 ， = + =1+ -1= ， =2， 数列｛ ｝是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， =2+（n-2） 1=n， 数列｛ ｝的各项均为正数， = ， = - = - （n≥2）， 当 n=1 时， = - =1 成立， 数列｛ ｝的通项公式 = - (n∈ )。 6、设数列｛ ｝的前 n 项和为 ，若 2 =（n+2） -1(n∈ )。求： ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列前 n 和公式的定义与性质。 4 3 ⇒ na 1 3 × 24 3 n−（ ） 1 4 × 14 3 n−（ ）  1a 1 4 × 1 14 3 −（ ） 1 4 ≠ ∴ na na 1 4 × 14 3 n−（ ） na sn 1 2 na 1 na na 1a 2 nS 2 1nS − 2 nS 2 nS sn na sn n-1s na na  1S 1a 1 2 1a 1 1 a ∴ 2 1a ⇒ 1a ±  1a ∴ 1a  sn 1 2 na 1 na ∴ sn 1 2 sn n-1s 1 1 n nS S −− ⇒ sn sn n-1s 2 1( )n nS S −− ⇒ 2 nS 2 1nS −  1a 2S 1a 2a 1 2 2a 2 1 a ∴ 2a 2 2a 2 2a ⇒ 2 2a 2a ⇒ 2a ± 2  2a ∴ 2a 2 ⇒ 2S 1a 2a 2 2 ⇒ 2 2S ∴ 2 nS ⇒ 2 nS ×  na ∴ sn n ⇒ na sn n-1s n 1n −  1a 1 1 1− ∴ na na n 1n − N ∗ na sn sn na N ∗ na【解题思路】当 n=1 时，求出 的值；当 n≥2 时,运用数列前 n 项和公式的定义与性质， 结合问题条件得到关于 ， 的等式，求出 关于 n 的代数式，利用叠乘法求出当 n≥ 2 时,数列｛ ｝的通项公式，验证当 n=1 时是否成立，从而得出数列｛ ｝的通项公式。 【详细解答】当 n=1 时， 2 =2 =（1+2） -1， =1，当 n≥2 时， 2 =（n+2） -1， 2（ - ）=2 =（n+2） -（n+1） ， n =（n+1） ， = ， = ， = ，-------， = ， = ， = ， = = （n≥2）， 当 n=1 时， = =1 成立， 数列｛ ｝的通项公式 = (n∈ )。 『思考问题 3』 （1）【典例 3】是已知数列的首项，通项 与前 n 项和 之间的关系式，求数列通项公式 的问题，解答这类问题需要理解数列通项公式，前 n 项和的定义，注意通项 与前 n 项和 之间的联系公式； （2）解答这类问题的基本思路有两种：①把 - (n≥2,n∈ )换成 ；②把 换成 - (n≥2,n∈ )； （3）这两种方法都要运用通项 与前 n 项和 之间的一个重要关系式，这个关系式是 = ； （4）解答这类问题的基本方法是：①通过把 - 换成 ，或把 换成 - 将数列转 化为基本数列；② 根据条件求出基本数列的首项；③求出基本数列的通项公式；④求出所 求数列的通项公式，并验证 n=1 时是否成立；⑤得出结果； （5）解答这类问题时，应该注意的问题是：①把 - 换成 ，或把 换成 - 时(n≥ 2,n∈ )的条件，②求出结果后一定要验证 n=1 是否成立，若 n=1 时成立，则可以直接写 出通项公式；若 n=1 时不成立，则通项公式应该写成分段式。 〔练习 3〕解答下列问题： 1、已知数列｛ ｝的前 n 项和 =3 -2n+1，则其通项公式为 ； 1a na 1na − 1 n n a a − na na  1S 1a 1a ∴ 1a  sn na ∴ sn n-1s na na 1na − ⇒ na 1na − ⇒ 1 n n a a − 1n n + ⇒ 1 2 n n a a − − 1 n n − 2 3 n n a a − − 1 2 n n − − 3 2 a a 4 3 2 1 a a 3 2 ⇒ 1 na a 1 2 n + ∴ na 1 2 n + 1a 1 2 n +  1a 1 1 2 + ∴ na na 1 2 n + N ∗ na sn na sn sn n-1s N ∗ na na sn n-1s N ∗ na sn na sn n-1s na na sn n-1s sn n-1s na na sn n-1s N ∗ na sn 2n2、已知数列｛ ｝的前 n 项和 = -9n，则其通项公式 = ，若它的第 k 项满 足 5＜ ＜8，则 k= ； 3、已知数列｛ ｝的前 n 项和为 ，且 =2. +2，则此数列的通项公式为 ； 4、若数列｛ ｝的前 n 项和 = -10n（n=1，2，3，----），则此数列的通项公式 = ； 数列｛n ｝中数值最小的项是第 项； 5、设数列｛ ｝的前 n 项和为 ，已知 =a， = + ，n∈ 。设 = - ，求 数列｛ ｝的通项公式； 6、设数列｛ ｝的前 n 项和为 ，若 = ， +2 =0 (n≥2,n∈ )求数列｛ ｝ 的通项公式； 7、设数列｛ ｝的前 n 项和为 ，若 =1，n =(n+3) (n∈ )，求： ； 8、设数列｛ ｝的前 n 项和为 ，满足：2 = - +1（n∈ ），且 ， +5， 成等差数列。 （1）求 的值； （2）求数列｛ ｝的通项公式。 9、设数列｛ ｝的前 n 项和为 ， =1， = +2（n-1）(n∈ )。 （1）求证：数列｛ ｝为等差数列； （2）求出 与 关于 n 的表达式。 【典例 4】解答下列问题： 1、已知数列｛ ｝中， =1， = +1(n∈ )，求： ； 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。 【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于 加上一个常数的 新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛ +c｝（c 为常数）为等比数列，利用 等比数列通项公式的求法求出数列｛ +c｝的通项公式，从而得出数列｛ ｝的通项公式。 na sn 2n na ka na sn sn 5n na sn 2n na na na ns 1a 1na + ns 3n N ∗ bn ns 3n bn na sn 1a 1 2 na sn n-1s N ∗ na na sn 1a 1ns + sn N ∗ na na ns sn 1na + 12n+ N ∗ 1a 2a 3a 1a na na sn 1a na ns n N ∗ na na sn na 1a 1na + 1 2 na N ∗ na na na na na【详细解答】 = +1(n∈ )， -2= +1-2， -2= （ -2）， = ， =1， -2=1-2=-1， 数列｛ -2｝是以-1 为首项， 为公比的等比 数列， -2=（-1） =- ， =2- (n∈ )。 2、已知数列｛ ｝中， =a， = (n∈ )，求： 。 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。 【解题思路】运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到关于 加上一个常数的 新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数列｛ +c｝（c 为常数）为等比数列，利用 等比数列通项公式的求法求出数列｛ +c｝的通项公式，从而得出数列｛ ｝的通项公式。 【详细解答】 = (n∈ )， + =2 ， +1= ， +1-2= -2， -1=2( -1)， = ， =a， -1= -1= ， 数列｛ -1｝是以 为首项， 为公比的等比数列， -1= = ， = (n∈ )。 3、根据下列条件，确定数列｛ ｝的通项公式： （1） =1， = ；（2） =1， =3 +2；（3） =2， = +ln（1+ ）。 【解析】 【知识点】①数列通项公式的定义与求法；②数列递推公式的定义与性质。 【解题思路】（1）运用数列递推公式的定义与性质，结合问题条件得到 关于 n 的代数  1na + 1 2 na N ∗ ∴ 1na + 1 2 na ⇒ 1na + 1 2 na ⇒ 1 2 2 n n a a + − − 1 2  1a ∴ 1a ⇒ na 1 2 ⇒ na × 11( )2 n− 11( )2 n− ∴ na 11( )2 n− N ∗ na 1a 1na + 2 1 n n a a+ N ∗ na 1 na 1 na 1 na na  1na + 2 1 n n a a+ N ∗ ∴ 1na + 1na + na na ⇒ 1 na 1 2 na + ⇒ 1 na 1 2 na + ⇒ 1 na 1 1 na + ⇒ 1 1 1 1 1 n n a a + − − 1 2  1a ∴ 1 1 a 1 a 1 a a − ⇒ 1 na 1 a a − 1 2 ⇒ 1 na 1 a a − × 11( )2 n− 1 1 2n a a− − ∴ na 1 1 2 1 (2 1) n n a a − −− + N ∗ na 1a 1na + 2n na 1a 1na + na 1a 1na + na 1 n 1 n n a a −式，利用叠乘法就可求出数列｛ ｝的通项公式；（2）运用数列递推公式的定义与性质， 结合问题条件得到关于 加上一个常数的新数列，根据等比数列判定的基本方法，判定数 列｛ +c｝（c 为常数）为等比数列，利用等比数列通项公式的求法求出数列｛ +c｝的通 项公式，从而得出数列｛ ｝的通项公式；（3）运用数列递推公式的定义与性质，结合问 题条件得到 - 关于 n 的代数式，利用叠加法就可求出数列｛ ｝的通项公式。 【详细解答】（1） = ， = ， = ， = ，--------， = ， =2， = . .--------. .2= = ， =1， = = (n∈ )；（2） =3 +2， +1=3 +2+1， +1=3（ +1）， =3， =1， +1=1+1=2， 数列｛ +1｝是以 2 为首项，3 为公比的等比数 列， +1=2 ， =2 -1 (n∈ )；（3） = +ln（1+ ）， ,- =ln（1+ ）=ln ， - = ln ， - = ln ，--------， - = ln ， - =ln2， - = ln + ln +--------+ ln + ln2，=ln ------- 2=lnn， =lnn+ ， =2， =2+lnn=lnn (n∈ )。 『思考问题 4』 (1) 【典例 4】是已知数列的首项和递推公式，求数列通项公式的问题，解答这类问题需要 理解递推公式的定义； （2）解答这类问题的基本思路是构造一个新数列，使构造的新数列为基本数列； （3）这类问题常见的类型有：① = +f(n)（n 2，n∈ ）；② =f(n) （n 2，n∈ ）；③ = +c（n 2，n∈ ，c 为常数）； （4）求解这类问题的基本方法是：①由已知的递推公式向上（或向下）得到一个式子；② 把已知式子与递推式子相减构造一个新数列，③求出新数列的通项公式；④根据新数列的通 项公式求出所求数列的通项公式； （5）求出新数列通项公式后求所求数列通项公式时常用的方法是：①叠加法，适用于 = na na na na na na 1na − na  1na + 2n na ∴ 1n n a a + 2n ⇒ 1 n n a a − 12n− 1 2 n n a a − − 22n− 3 2 a a 22 2 1 a a ⇒ 1 na a 12n− 22n− 22 (n-1 1) 22 n + 2 22 n  1a ∴ na 2 22 n 1a 2 22 n N ∗  1na + na ∴ 1na + na ⇒ 1na + na ⇒ 1 1 1 n n a a + + +  1a ∴ 1a ⇒ na ⇒ na × 13n− ∴ na × 13n− N ∗  1na + na 1 n ∴ 1na + na 1 n n 1 n + ⇒ na 1na − n 1n − 1na − 2na − n-1 2n − 3a 2a 3 2 2a 1a ⇒ na 1a n 1n − n-1 2n − 3 2 n 1n − × n-1 2n − × × 3 2 × ⇒ na 1a  1a ∴ na 2e N ∗ na 1na − ≥ N ∗ 1 n n a a − ≥ N ∗ na 1na − ≥ N ∗ na+f(n)（n 2，n∈ ）这种类型；②叠乘法，适用于 =f(n) （n 2，n∈ ）这种 类型；③换元法，适用于 =p +q（n 2，p 0，且 p 1）；④迭代法，将 =f( ) 代入 =f( )得到 与 的关系，再将 =f（ ）代入，-------直到 =f（ ）代 入为止。 〔练习 4〕解答下列问题： 1、已知数列｛ ｝满足 =1， = （n 2，n∈ )，则 = ； 2、已知数列｛ ｝的前 n 项和为 ，且 =2 -1(n∈ )，则 等于（ ） A -16 B 16 C 31 D 32 3、已知数列｛ ｝中， =9，3 =4- (n∈ )，求： ； 4、已知数列｛ ｝中， = ， =4 +1(n∈ )，求： 。 1na − ≥ N ∗ 1 n n a a − ≥ N ∗ na 1na − ≥ ≠ ≠ 1na − 2na − na 1na − na 2na − 2na − 3na − 2a 1a na 1a na 1n n − 1na − ≥ N ∗ na na sn sn na N ∗ 5a na 1a 1na + na N ∗ na na 1a 1 2 1na + na N ∗ na