简单线性规划问题的类型与解答方法

简单线性规划问题的类型与解法 简单线性规划问题就是在线性约束条件下，求目标函数最优解的数学问题。纵观近几年的高 考，简单线性规划问题是高考的热点问题，基本上每卷都有一个五分小题。归结起来简单线 性规划问题主要包括：①在线性约束条件下，求目标函数的最值；②含有参数的简单线性规 划问题；③简单线性规划的应用问题等几种类型，各种类型具有各自的结构特征，简单方法 也各不相同，那么在实际解答解答线性规划问题时，如何抓住问题的结构特征，快捷、准确 地实施解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、设变量 x、y 满足约束条件 x+2y-5≤0 则目标函数 Z=2x+3y+1 的最大值为（ ） x-y-2 ≤0 A 11 B 10 X≥0 C 9 D 8.5 【解析】 【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示 的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。 【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确 定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。 【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y 由 x+2y-5=0，得到 x=3， A（3，1），B（2，0）， 3 x-y-2=0 x-y-2=0， y=1, C（5，0）， 2 x+2y-5=0 当目标函数 z=2x+3y+1 经过点 C（5，0）时， 1 A C z=2 5+3 0+1=10+1=11 为最大， A 正确， 0 1 2B 3 4 5 x 选 A。 -1 x-y+1≤0 -2 2、实数 x、y 满足 x＞0 (1)若 z= ，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围； y≤2 （2）若 z= ，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围。 【解析】 【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示 的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。 【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确 定可行域，利用求目标函数最值的基本方法分别求出最大值和最小值，就可得出目标函数的 取值范围。 【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y 由 x-y+1=0，得到 x=1， A（0，2），B（1，2）， 3 x-y+1=0 y-2=0， y=2, C（0，1）， 2 A B y-2=0 （1）当目标函数 z= 经过点 B（1，2）时，z= 1 C =2 为最小值，目标函数无最大值， 目标函数 z 的 -1 0 1 2 x 取值范围是[,2，+ ）；（2）当目标函数 z= 经过点 C（0，1）时，z=0+1=1 为最小 值，当目标函数 z= 经过点 B（1，2）时，z=1+4=5 为最大值，的取值范围是[1，5]。  ∴ ⇒ × × ⇒ ∴ y x 2 2x y+  ∴ ⇒ y x 2 1 ∴ ∞ 2 2x y+ 2 2x y+3、设实数 x、y 满足约束条件 x+y≤1 则目标函数 Z=3x+y 的最小值为（ ） y≤x A 7 B 2 y≥-2 C -6 D - 8 【解析】 【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示 的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。 【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确 定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。 【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y 由 x+y=1，得到 x= ，x+y=1，得到 x=3， y=x， 3 y=x， y= , y=-2， y=-2，y=-2， 2 y=x 得到 x=-2， A（ ， ），B（-2，-2），C（3，-2） 1 A y=-2， 当目标函数 z=3x+y 经过点 B（-2，-2） 0 1 2 x 时，z=3 (-2)+1 (-2)=-6-2=-8 为最小， D 正确， -1 x+y=1 选 D。 B -2 C y=-2 『思考题 1』 （1）【典例 1】是在线性约束条件下求目标函数的最值问题，这类问题包括：①目标函数是 线性函数；②目标函数是非线性函数两种类型； （2）求解目标函数是非线性函数的最值问题一般要结合给定代数式的几何意义来完成；常 见代数式的几何意义有：① 表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；② 表示点（x，y）到最小 Ax+By+C=0 的距离；③ 表示点（x，y）与点 （a，b）的距离；④ 表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率；⑤ 表示点（x，y） 与点 （a，b）连线的斜率。 〔练习 1〕解答下列问题： x+2y-5≥0 1、设实数 x、y 是满足不等式组 2x+y-7≥0,若 x、y 为整数，则 3x+4y 的最小值是（ ） x≥0,y≥0 A 14 B 16 C 17 D 19 2、若变量 x、y 满足约束条件 3≤2x+y ≤9,则 Z=x+2y 的最小值为 ； x≥0 6≤x-y≤9 3、实数 x，y 满足 x-y+1≤0, ①若 z= ，求 z 的取值范围；②若 z= + -2x-2y+3， y≤2，求 z 的最大值与最小值。 【典例 2】解答下列问题 ： y≥1 1、已知实数 x、y 满足约束条件 y≤2x-1,如果目标函数 Z=x-y 的最小值是-1，则实数 m 等 于（ ）（2008 全国高考陕西卷）x+y≤m A 7 B 5 C 4 D 3  1 2 1 2 ∴ 1 2 1 2 ⇒ × × ⇒ ∴ 2 2x y+ 2 2 | |Ax By C A B + + + 2 2( ) ( )x a y b− + − y x y b x a − − 1 1 y x − − 2x 2y【解析】 【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示 的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④一元 一次方程的定义与解法。 【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确 定可行域，利用求目标函数最值的基本方法得到关于实数 n 的方程，求解方程得出实数 n 的 值就可得出结果。 【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y 由 x+y=n，得到 x= ， y=2x-1, 得到 x=1， 2 y=2x-1 y=2x-1， y= , y=1， y=1， 1 C B y=1 x+y=n，得到 x=n-1， A（ ， ），B（1，1）， -1 0 1 2 y=1， y=1，C（n-1，1）， 当目标函数 z=x -1 x+y=n -y=经过点 A（ ， ）时，z= - = ，当目标函数 z= x-y=经过点 B（1， 1）时，z=1-1=0，当目标函数 z= x-y=经过点,C（n-1，1）时，z=n-1-1=n-2， n-2- = ，①若 n 1，n-2- = 0， 目标函数 z 的最小值为 =-1， n=5；② 若 n