简易逻辑问题的类型与解法

简易逻辑问题的类型与解法 大家知道，简易逻辑问题是近几年高考的热点问题之一，基本上每卷都有一至二个五分小题， 从题型上看，是选择题或填空题，难度属于中档或低档类题目。纵观近几年的高考试卷，归 结起来简易逻辑问题主要包括：①判断命题的真假；②四种命题之间的关系；③充分条件， 必要条件，充分必要条件的判断；④复合命题的结构及真假判断；⑤全称量词与特称量词问 题；⑥求参数的值或潜在范围等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也各 不相同，那么在实际解答简易逻辑问题时，到底如何抓住题型的结构特征，快捷，准确地给 予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、下列判断正确的是（ ） A “x＜-2”是“ln(x+3) ＜0”的充分不必要条件 B 函数 f(x)= + 的最小 值为 2 C 当 ， ∈R 时，命题“若 = ，则 sin =sin ”的逆否命题为真命题 D 命 题“ x＞0， +2019＞0”的否命题是“ 0， +2019 0” 【解析】 【知识点】①命题的定义与性质；②命题真假判断的基本方法；③充分条件，必要条件，充 分必要条件判断的基本方法；④基本不等式及运用；⑤四种命题之间的关系；⑥全称命题， 特称命题的定义与性质。 【解题思路】运用命题真假判断的基本方法，结合问题条件分别对各选项的命题真假进行判 断，从而得出选项。 【详细解答】对 A， 当 x=-4 时，-40 时， + -xy-1=0，设 （s，1）， （1，t），s∈[0,1], t∈[0,1], -s=0， s∈ [0,1], -s 0， 0+0-0-1=-10，y| |”的 （ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）设函数 f(x)=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f(x)为偶函数”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【解析】 【知识点】①充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质；②判断充分条件，必要条 件，充分必要条件的基本方法。 【解题思路】（1）运用判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件 对问题进行判断就可得出选项；（2）运用判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本 方法，结合问题条件对问题进行判断就可得出选项。 【详细解答】（1）如图， + = ， = A - ， | |=| - |，当 与 的夹角为锐角时， | + | =| | +| | +2 . >| | +| | B C -2 . =| - | =| | ， | + |>| |， 由 与 的夹角为锐角， 能够推出| + |>| |； 当| + |>| |时，| | =| - | =| | + | | -2 . ，| + | =| | +| | +2 . ， | | +| | +2 . >| | +| | -2 . ， 4 . >0， 与 的夹角为锐角， C 正确， 选 C；（2）当 b=0 时， f(x)=cosx+bsinx= cosx 是偶函数， 由 b=0 能够推出 f(x)为偶函数；当 f(x)为偶函数时， f(x)=cosx+bsinx= sin（x+ ）（其中 tan = ）是偶函数， x+ = +x， = ， tan = 为正无穷大， b=0， 由 f(x) 为偶函数能够推出 b=0， C 正确， 选 C。 3、若 x 为实数，则“ x 2 ”是“2 3”成立的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 【解析】 【知识点】①充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质；②判断充分条件，必要条 4 π  ϕ 4 π ∴ × 4 π ϕ π ⇒ ϕ 3 4 π π ϕ 3 4 π π 4 π ∴ ϕ 4 π ϕ 4 π ⇒ ∴ AB AC AB AC BC  AB BC AC ∴ BC AC AB ⇒ BC AC AB AB AC AB AC 2 AB 2 AC 2 AB AC AB 2 AC 2 AB AC AB AC 2 BC 2 ⇒ AB AC BC ∴ AB AC AB AC BC  AB AC BC BC 2 AB AC 2 AB 2 AC 2 AB AC AB AC 2 AB 2 AC 2 AB AC ∴ AB 2 AC 2 AB AC AB 2 AC 2 AB AC ⇒ AB AC ⇒ AB AC ⇒ ∴  ∴  21 b+ ϕ ϕ 1 b ∴ ϕ 2 π ⇒ ϕ 2 π ⇒ ϕ 1 b ⇒ ∴ ⇒ ∴ 2 2 ≤ ≤ 2 2 ≤ 2 2x x + ≤件，充分必要条件的基本方法。 【解题思路】运用判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件对问 题进行判断就可得出选项。 【详细解答】当 x 2 时， =x+ 2 =2 ， 由 x 2 不 能 推 出 2 3 ； 当 2 3 时 ， 0 且 0， 1 x 2， 由 2 3 能够推出 x 2 ， B 正确， 选 B。 4、已知锐角 ABC 的三个内角分别为 A，B，C，则“sinA＞sinB”是“tanA＞tanB”的 （ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 【解析】 【知识点】①充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质；②判断充分条件，必要条 件，充分必要条件的基本方法。 【解题思路】运用判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件对问 题进行判断就可得出选项。 【详细解答】当锐角 ABC 的三个内角分别为 A，B，C，sinA＞sinB 时，能够推出 tanA＞ tanB；当锐角 ABC 的三个内角分别为 A，B，C，anA＞tanB 时，也能够推出 sinA＞sinB， C 正确， 选 C。 5、设 ， 为非零向量，则“存在负数 ，使得 = ”是“ . ＜0”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 【解析】 【知识点】①充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质；②判断充分条件，必要条 件，充分必要条件的基本方法。 【解题思路】运用判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件对问 题进行判断就可得出选项。 【详细解答】当 ， 为非零向量，存在负数 ，使得 = 时， . =| |.| |cos 1， 命题 p 是假命题， p 是真命题；对命题 q， a，b∈（0，+ ）， a+ 2 ，b+ 2 ， ， 至少有一个大于或等腰 1， 命题 q 是真命题， B 正确， 选 B；（2） 对命题 p， ∈（0，+ ）， + >1， 命题 p 是假命题， p 是真命题；对命 题 q， x ＞0， x+ 2 =2， 命题 q 是真命题， B 正确， 选 B。 2、设 、 、 是非零向量，已知命题 p：若 . =0， . =0，则 . =0；命题 q：若 // ， // ，则 // 。则下列命题中真命题是（ ） A p q B p q C （ ） （ ） D p （ ） 【解析】 【知识点】①命题的定义与性质；②判断命题真假的基本方法；③复合命题的定义与性质；④ 判断复合命题真假的基本方法。 【解题思路】运用判断复合命题真假的基本方法，结合问题条件对命题进行判断就可得出选 项。 【详细解答】对命题 p， 、 、 是非零向量， . =0， . =0， ， ， // ， 命题 p 是假命题；对命题 q， 、 、 是非零向量， // ， // ， // ， 命题 q 是真命题， A 正确， 选 A。 ∃ 0x ∞ 03x 0x 1 2016 ∀ ∞ 1 b 1 a ∧ ¬ ∧ ∧ ¬ ¬ ∧ ¬ ∃ 0x ∞ 03x 0x 1 2016 ∀ 1 x ≥ ∧ ¬ ∧ ∧ ¬ ¬ ∧ ¬  0x ∞ ∴ 03x 0x ⇒ ∴ ¬  ∞ ∴ 1 b ≥ 1.a b 1 a ≥ 1.b a ⇒ 1.a b 1.b a ∴ ⇒ ∴  0x ∞ ∴ 03x 0x ⇒ ∴ ¬  ∴ 1 x ≥ 1.x x ⇒ ⇒ ∴ a b c a b b c a c a b b c a c ∨ ∧ p¬ ∧ q¬ ∨ q¬  a b c a b b c ∴ a ⊥ b b ⊥ c ⇒ a c ∴  a b c a b b c ∴ a c ⇒ ⇒ ∴3、给定两个命题 p，q，若 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是 的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 【解析】 【知识点】①命题的定义与性质；②判断命题真假的基本方法；③复合命题的定义与性质；④ 判断复合命题真假的基本方法；⑤充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质；⑥判 断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。 【解题思路】运用判断复合命题真假的基本方法，结合问题条件对命题进行判断就可得出选 项。 【详细解答】 命题 p，q 满足 是 q 的必要而不充分条件， 由 不能推出 q，由 q 能 够推出 ， 由 p 能够推出 ，由 不能推出 p， p 是 的充分不必要条件， A 正确， 选 A。 『思考问题 4』 （1）【典例 4】是复合命题真假判断的问题，解答这类问题需要理解逻辑连接词“且”， “或”，“非”的意义，注意复合命题的几种结构形式①p∧q；②p∨q；③ p；掌握复合命 题真假判断的基本方法； （2）复合命题真假判断的基本方法是：①确定问题中的简单命题；②确定复合命题的结构 形式；③判断简单命题的真假；④结合相应的真值表得出结果。 〔练习 4〕解答下列问题： 1、设命题 p：函数 y=sin2x 的最小正周期为 ，命题 q：函数 y=cosx 的图像关于直线 x= 对称，则下列判断正确的是（ ） A p 为真 B 为真 C p q 为真 D p q 为真 2、设命题 p：函数 y=cos2x 的最小正周期为 ，命题 q：函数 y=sin(x- )的图像的一条对 称轴是 x= ，则下列判断正确的是（ ） A p 为真 B 为真 C p q 为真 D p q 为真 3、若命题“p∧q”为假，且“ p”为假，则（ ） A p 或 q 为假 B q 为假 C q 为真 D 不能判断 q 的真假 4、若命题 p:x=2 且 y=3，则 p 为（ ） A x 2 或 y 3 B x 2 且 y 3 C x=2 或 y 3 D x 2 或 y= 3 5、已知命题 p：存在 x∈R,使 sinx= ，命题 q：不等式 +x+1≥0 对 x∈R 恒成立，给 出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧ q”是假命题；③命题“ p∨q” 是真命题；④命题“ p∨ q”是假命题。其中正确的是（ ） A ②③ B ②④ C ③④ D ①②③ p¬ q¬  p¬ ∴ p¬ p¬ ⇒ q¬ q¬ ∴ q¬ ⇒ ∴ ¬ 2 π 2 π q¬ ∧ ∨ 2 π 4 π 4 π q¬ ∧ ∨ ¬ ¬ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 2 2 2x ¬ ¬ ¬ ¬6、已知命题 p：若方程 a +x-1=0 有实数解，则 a≥- 且 a 0；命题 q：函数 y= -2x 在［0，3］上的最大值与最小值之和为 2，则下列为真命题的是（ ） A p∧q B p∧ q C p∨ q D p∨q 7、关于函数 f(x)=sin（2x+ ）,命题 p：函数 y=f(x)的图像关于点（ ，0）成中心对称； 命题 q：当 t= 时，函数 y=f(x+t)为偶函数。下列命题中的真命题是（ ） A p∧q B p∧（ q ） C p∨（ q ） D p∨q 【典例 5】解答下列问题： 1、命题“ x∈（1，+ ），x-1 lnx”的否定是（ ） A x∈（1，+ ），x-1 lnx B x∈（1，+ ），x-1＜lnx C ∈（1，+ ）， -1 ln D ∈（1，+ ）， -1＜ln 【解析】 【知识点】①全称命题的定义与性质；②特称命题的定义与性质；③全称命题否定的基本方 法。 【解题思路】运用全称命题否定的基本方法，结合问题条件写出全称命题的否定命题就可得 出选项。 【详细解答】 全称命题的否定命题是特称命题， 可以排除 A，B； x-1 lnx 的否定是 x-1