三角函数5分小题的类型与解法

三角函数 5 分小题的类型与解法 大家知道，三角函数问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考不是一个大题，就是两到 三个小题，分值在十分至十五分之间。从题型上看，可能是大题，也可能是选择题或填空题； 难度系数为中档或低档，这里着重探导三角函数 5 分小题的问题。纵观近几年的高考试题， 归结起来三角函数 5 分小题主要包括：①与三角函数概念相关的问题；②同角三角函数基本 关系及运用的问题；③三角函数诱导公式及运用的问题；④三角函数的图像，性质及运用的 问题；⑤三角函数和角，差角，二倍角及运用的问题；⑥正弦定理，余弦定理及运用的问题 等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答 三角函数 5 分小题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷准确地给予解答呢？下 面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、已知集合 A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于 的角}，下列四个命题：①A=B=C；② A C；③C A；④A C=B。其中正确命题的个数为（ ） A 0 B 2 C 3 D 1 【解析】 【知识点】①象限角的定义与性质；②锐角的定义与性质；③任意角的定义与性质；④集合 的关系与运算；⑤判断命题真假的基本方法。 【解题思路】运用象限角，锐角，任意角的性质和集合的关系与运算，结合问题条件对各个 命题的真假进行判断，就可得出选项。 【详细解答】 A={第一象限角}，只需角的终边落在第一象限，可以是正角，也可以是负 角，包括大于 的角，也包括小于 的角；B={锐角}，只含大于 ，小于 之间的角； C={小于 的角}，包括锐角，也包括负角。 ①错误，②错误，③正确，④错误， D 正确， 选 D。 2 、 角 终 边 与 直 线 y=3x 重 合 ， 且 sin ＜ 0 ， 又 P （ m ， n ） 是 终 边 上 一 点 ， 且 |OP|= ， 则 m-n=（ ） A 2 B -2 C 4 D - 4 【解析】 【知识点】①正弦三角函数的定义与性质；②任意角的定义与性质；③两点距离的定义与求 法；④点在直线上的判断方法；⑤方程组的定义与解法。 【解题思路】运用任意角正弦三角函数的性质和任意角的性质，结合问题条件得到关于 m， n 的方程组，求解这个方程组得出 m，n 的值，通过运算就可得出选项。 【详细解答】 角 终边与直线 y=3x 重合，且 sin ＜0，点 P（m，n）在角 终边上，|OP|= ， + =10， m=-1， m-n=-1-（-3）=-1+3=2， B 正确， 选 B。 n=3m， n=-3， m0， sin .cos = ， cos -sin =|cos -sin |= = = = ， B 正确， 选 B。 2、已知 sin = ，则 sin -cos 的值为（ ） A - B - C D 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的 基本方法。 【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件通过计算就可得出选项。 【详细解答】 sin = ， sin -cos =（ + ）（ - ） = - =2 -1=2 -1= -1=- ， B 正确， 选 B。 3、已知 A 是锐角，lg（1+cosA）=m，lg =n，则 lgsinA=（ ） A m+ B m-n C D 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的 基本方法；③对数的定义与性质。 【解题思路】运用同角三角函数的基本关系和对数的性质，结合问题条件通过计算就可得出 选项。 【详细解答】 lg（1+cosA）=m，lg =n，A 是锐角， lg（1+cosA）-lg =lg（1+cosA）.（1-cosA）=lg（1-cos A）=lgsin A=2lgsinA=m-n， lgsinA= ， α α 1 8 5 4 π α 3 2 π α α 3 2 3 2 3 4 3 4  5 4 π α 3 2 π ∴ α α ⇒ α α  α α 1 8 ∴ ⇒ α α α α 2(cos sin )α α− 2 2cos 2cos sin sinα α α α− + 11 2 8 − × 3 2 ⇒ ∴ α 5 5 4 α 4 α 1 5 3 5 1 5 3 5  α 5 5 ∴ 4 α 4 α 2sin α 2cos α 2sin α 2cos α 2sin α 2cos α 2sin α × 25( )5 2 5 3 5 ⇒ ∴ 1 1 cos A− 1 n 2 m n− 2 m n+  1 1 cos A− ∴ 1 1 cos A− 2 2 ⇒ 2 m n−C 正确， 选 C。 4、已知 tan =3，则 的值是（ ） A B 1 C -1 D - 【解析】 【知识点】①同角三角函数的基本关系；②运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的 基本方法。 【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件通过计算就可得出选项。 【详细解答】 tan =3， = = =-1， C 正确， 选 C。 『思考问题,2』 （1）【典例 2】是同角三角函数的基本关系及运用问题，解答这类问题需要理解并掌握同角 三角函数的基本关系，掌握运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题的基本方法； （2）同角三角函数的基本关系主要包括：①平方关系， + =1；②商除关系， tan = ，运用同角三角函数基本关系解答相应数学问题时，注意灵活运用这两个基 本关系式，既可以从左边用到右边，也可以从右边用到左边。 〔练习 2〕解答下列问题： 1、已知 sin -cos = ，则 sin2 =（ ） A - B - C D 2、已知 为第二象限角，且 sin2 =- ，则 cos -sin 的值为（ ） A B - C D - 3、已知 为第三象限的角，且 tan = ，则 sin = ； 7、已知 tan =2，则 的值为 。 【典例 3】解答下列问题： 1、与 sin 相等的是（ ） A sin B -cos C cos D -sin 【解析】 【知识点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法。 【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件就可得出选项。 【详细解答】 sin = sin（ - ）=- cos ， B 正确， 选 B。 ⇒ ∴ α 2sin cos 2cos 3sin α α α α + − 5 3 5 3  α ∴ 2sin cos 2cos 3sin α α α α + − 2tan 1 2 3tan α α + − 2 3 1 2 3 3 × + − × ⇒ ∴ 2sin α 2cos α α sin cos α α α α 4 3 α 7 9 2 9 2 9 7 9 α α 24 25 α α 7 5 7 5 1 5 1 5 α α 3 4 α α sin sin( )2 sin( ) 2cos πα α π α α − − − + .220 .50 .50 .50 .50  .220 .270 .50 .50 ⇒ ∴2、已知 A= + （k Z），则 A 的值构成的集合是（ ） A {1，-1，2，-2} B {-1，1} C {-2，2} D {1，-1，0，2，-2} 【解析】 【知识点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法。 【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件就可得出选项。 【详细解答】①当 k 为偶数时， A= + = + =1+1 =2， A=2；②当 k 为奇数时， A= + = + = -1-1=-2， A=-2， A={-2，2}， C 正确， 选 C。 3、已知 为锐角，且有 2tan( - )-3cos( + )+5=0，tan( + )+6sin( + )-1=0， 则 sin 的值是（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法；③同 角三角函数的基本关系及运用；④方程组的定义与解法。 【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件得到关于 tan ，sin 的方程组，求 解方程组得到 tan 的值，利用同角三角函数的基本关系求出 sin 的值就可得出选项。 【详细解答】 2tan( - )-3cos( + )+5=0，tan( + )+6sin( + )-1=0， -2tan + 3sin =-5，tan -6sin =1， tan =3， tan = =3， + =1， sin = ， 为锐角， sin = ， C 正确， 选 C。 4、当 ∈（ ， ）时，若 sin（ - ）-cos（ + ）= ，则 sin -cos 的值 为（ ） A B - C D - 【解析】 【知识点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法；③同 角三角函数的基本关系及运用；④完全平方式的定义与性质。 【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件得到 sin +cos 的值，利用同角三 角函数的基本关系和完全平方式求出 sin -cos 的值就可得出选项。 sin( ) sin kπ α α + cos( ) cos kπ α α + ∈  sin( ) sin kπ α α + cos( ) cos kπ α α + sin sin α α cos cos α α ∴  sin( ) sin kπ α α + cos( ) cos kπ α α + sin sin α α − cos cos α α − ∴ ∴ ⇒ ∴ α π α 2 π β π α π β α 3 5 5 3 7 7 3 10 10 1 3 α β α α  π α 2 π β π α π β ∴ α β α β ⇒ α  α sin cos α α 2sin α 2cos α ∴ α ± 3 10 10  α ∴ α 3 10 10 ⇒ ∴ α 2 π π π α π α 2 3 α α 2 3 2 3 4 3 4 3 α α α α【详细解答】 sin（ - ）-cos（ + ）= ， sin +cos = ， 2 sin .cos =- ， （sin -cos ） =（sin +cos ） -4 sin .cos = -2 （- ）= ， ∈（ ， ）， sin -cos =| sin -cos |= ， C 正确， 选 C。 5、已知 tan =2，则 的值为 。 【解析】 【知识点】①三角函数诱导公式的定义与性质；②运用三角函数诱导公式的基本方法；③同 角三角函数的基本关系及运用。 【解题思路】运用三角函数诱导公式，结合问题条件得到 ，利用同角三角函 数的基本关系，结合问题条件求出 的值就可得出结果。 【详细解答】 tan =2， = = = = 。 『思考问题,3』 （1）【典例 3】是三角函数的诱导公式及运用问题，解答这类问题需要理解并掌握三角函数 的诱导公式，掌握运用三角函数诱导公式解答相应数学问题的基本方法； （2）理解和掌握三角函数的诱导公式，关键是吃透“奇变偶不变，符号看象限”这句话的 真正含义； （3）运用诱导公式把任意角的三角函数问题转化为熟悉的锐角三角函数问题的奇变方法是： ①确定诱导后三角函数的名称是否改变，基本法则是“奇变偶不变” ②确定诱导后三角函 数的符号，基本法则是“符号看象限”。 〔练习 3〕解答下列问题： 1、tan =（ ） A -2- B -2+ C 2- D 2+ 2、已知 为锐角，且 sin = ，则 cos（ + ）=（ ） A - B C - D 3、已知 sin -cos = ， ∈（0， ），则 sin2 =( )  π α π α 2 3 ∴ α α 2 3 ⇒ α α 7 9  α α 2 α α 2 α α 2 9 × 7 9 16 9 α 2 π π ∴ α α α α 4 3 ⇒ ∴ α sin sin( )2 sin( ) 2cos πα α π α α − − − + sin cos sin 2cos α α α α − + sin cos sin 2cos α α α α − +  α ∴ sin sin( )2 sin( ) 2cos πα α π α α − − − + sin cos sin 2cos α α α α − + tan 1 tan 2 α α − + 2 1 2 2 − + 1 4 .255 3 3 3 3 α α 4 5 π α 3 5 3 5 4 5 4 5 α α 2 α π αA - 1 B - C D 1 4、已知 sin -cos = ，则 sin2 =（ ） A - B - C D 5、已知 为第三象限的角，且 tan = ，则 sin = 。 【典例 4】解答下列问题： 1、函数 f(x)=2sin( x+ )( ＞0,- ＜ ＜ ）的部分图像如图所示，则 、 的 值分别是（ ） A 2，- B 2， - C 4 ， - D 4， 【解析】 【知识点】①正弦型三角函数的图像与性质；②正弦三角函数的图像与性质；③运用三角函 数的图像确定三角函数解析式的基本方法。 【解题思路】运用正弦型三角函数的图像与性质，结合问题条件得到 A，T 的值，根据公式 T= 求出 的值，把 A， 的值代入函数 f(x)的解析式，由点（ ，2）在函数 f(x) 的图像上，得到含 的等式，利用正弦三角函数的图像和性质求出 的值，就可得出选项。 【 详 细 解 答 】 如 图 ， A=2 ， = - = ， T= ， = =2 ， f(x)=2sin(2x+ )， 点（ ，2）在函数 f(x)的图像上， 2=2sin(2 + )， sin( + )=1， + =2k + ， =2k - （k Z）， - ＜ ＜ ， =- ， A 正确， 选 A。 2、将函数 y=sin(2x+ )的图像经过怎样的平移后所得图像关于点（- ，0）中心对称（ ） A 向右平移 个长度单位 B 向右平移 个长度单位 C 向左平移 个长度单位 D 向左平移 个长度单位 【解析】 【知识点】①正弦型三角函数的图像与性质；②正弦三角函数的图像与性质；③三角函数图 像平移变换的定义与性质。 【解题思路】运用三角函数的图像平移变换的性质，结合问题条件得到含 的等式，利用 正弦三角函数的图像和性质求出 的值，就可得出选项。 2 2 2 2 α α 4 3 α 7 9 2 9 2 9 7 9 α α 3 4 α ω ϕ ω 2 π ϕ 2 π ω ϕ 3 π 6 π 6 π 3 π 2 | | π ϖ ω ω 5 12 π ϕ ϕ  2 T 11 12 π 5 12 π 2 π ∴ π ⇒ ω 2π π ∴ ϕ  5 12 π ∴ × 5 12 π ϕ ⇒ 5 6 π ϕ ⇒ 5 6 π ϕ π 2 π ∴ϕ π 3 π ∈  2 π ϕ 2 π ∴ϕ 3 π ⇒ ∴ 3 π 12 π 12 π 6 π 12 π 6 π ϕ ϕ【详细解答】 函数 = sin[2（x+ ）+ ]= sin（2x+2 + ）的图像关于点（- ，0） 中心对称， 2 （- ）+2 + = k ， = - （k Z）， A 正确， 选 A。 3、将函数 f(x)的图像上的所有点向右平移 个单位长度，得到函数 g(x)的图像，若函数 g （x）=A sin( x+ )(A＞0， ＞0,- ＜ ＜ ）的部分图像如图所示，则函数 f(x)的 解析式为（ ） A f(x)=sin(x+ ) B f（x）=-cos(2x+ ) C f(x)=cos（2x + ） D f(x)=sin(2x+ ) 【解析】 【知识点】①正弦型三角函数的图像与性质；②正弦三角函数的图像与性质；③运用三角函 数的图像确定三角函数解析式的基本方法；④三角函数图像平移变换的定义与性质。 【解题思路】运用正弦型三角函数的图像与性质，结合问题条件得到 A，T 的值，根据公式 T= 求出 的值，把 A， 的值代入函数 g(x)的解析式，由点（ ，0）在函数 g(x)的 图像上，得到含 的等式，根据正弦三角函数的图像和性质求出 的值，从而求出函数 g(x) 的解析式，利用三角函数图像平移变换的性质求出函数 f(x)的解析式就可得出选项。 【 详 细 解 答 】 如 图 ， A=1 ， = - （ - ） = ， T= ， = =2 ， g(x)=sin(2x+ )， 点（ ，0）在函数 g(x)的图像上， 0=sin(2 + )， sin( + )=0 ， + =k ， =k - （ k Z ）， - ＜ ＜ ， = ， g(x)=sin(2x+ )， f(x)= sin[2（x+ ）+ ]= sin(2x+ + )= cos（2x + ）， C 正确， 选 C。 4、在区间（0， ）上，下列函数是增函数的是（ ） A y= B y=- C y=-sinx D y=-cosx 【解析】 【知识点】①正弦三角函数的图像与性质；②余弦三角函数的图像与性质；③函数单调性的 定义与性质；④判断函数单调性的基本方法。 【解题思路】运用正弦三角函数的图像与性质，余弦三角函数的图像与性质和判断函数单调 性的基本方法，结合问题条件对各选项进行判断就可得出选项。 【详细解答】对 A， 函数 y=sinx 在区间（0， ）上是增函数， 函数 y= 在区间 （0， ）上是减函数， A 错误；对 B， 函数 y=cosx 在区间（0， ）上是减函数，  y′ ϕ 3 π ϕ 3 π 12 π ∴ × 12 π ϕ 3 π π ⇒ ϕ 2 kπ 12 π ∈ ⇒ ∴ 4 π ω ϕ ω 2 π ϕ 2 π 5 12 π 3 π 3 π 7 12 π 2 | | π ϖ ω ω 3 π ϕ ϕ  2 T 3 π 6 π 2 π ∴ π ⇒ ω 2π π ∴ ϕ  3 π ∴ × 3 π ϕ ⇒ 2 3 π ϕ ⇒ 2 3 π ϕ π ∴ϕ π 2 3 π ∈  2 π ϕ 2 π ∴ϕ 3 π ⇒ 3 π ∴ 4 π 3 π 2 π 3 π 3 π ⇒ ∴ 2 π 1 sin x 1 cos x  2 π ∴ 1 sin x 2 π ⇒  2 π ∴函数 y=- 在区间（0， ）上是减函数， B 错误；对 C， 函数 y=sinx 在区间（0， ）上是增函数， 函数 y=-sinx 在区间（0， ）上是减函数， C 错误；对 D， 函数 y=cosx 在区间（0， ）上是减函数， 函数 y=-cosx 在区间（0， ）上是增函数， D 正确， 选 D。 5、已知 ＞0，| |＜ ，在函数 f(x)=sin( x+ )，g(x)=cos( x+ )的图像的交点中， 相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，当 x （- ， ）时，函数 f(x)的图像恒在 X 轴的上方，则 的取值范围是（ ） A （ ， ） B ［ ， ］ C （ ， ） D ［ ， ］ 【解析】 【知识点】①正弦型三角函数的图像与性质；②余弦型三角函数的图像与性质；③正弦函数 的图像与性质；④余弦函数的图像与性质。 【解题思路】运用正弦型三角函数的图像与性质，余弦型三角函数的图像与性质，结合问题 条件得到 = ，从而求出 的值，把 的值代入函数 f(x)的解析式，利用 x （- ， ）时，函数 f(x)的图像恒在 X 轴的上方的条件，得到关于 的不等式，求解不等式就可 得出选项。 【详细解答】 函数 f(x)=sin( x+ )，g(x)=cos( x+ )的图像的交点中，相邻两个交点的 横坐标之差的绝对值为 ， = ， T= ， = =2， f(x)=sin(2x+ )， 当 x （- ， ），即(2x+ ) （- + ， + ）时，函数 f(x)的图像恒在 X 轴的上方， sin（- + ） 0，且 sin（ + ） 0， 2 k - + 2 k + ，且 2 k + 2 k + ， 2 k + 2 k + ，且 2 k - 2 k （k Z）， | |＜ ， ， D 正确， 选 D。 1 cos x 2 π ⇒  2 π ∴ 2 π ⇒  2 π ∴ 2 π ⇒ ∴ ϖ ϕ 2 π ϖ ϕ ϖ ϕ 2 π ∈ 6 π 4 π ϕ 6 π 3 π 6 π 3 π 3 π 2 π 3 π 2 π 2 T 2 π ϖ ϖ ∈ 6 π 4 π ϕ  ϖ ϕ ϖ ϕ 2 π ∴ 2 T 2 π ⇒ π ∴ω 2π π ⇒ ϕ  ∈ 6 π 4 π ϕ ∈ 3 π ϕ 2 π ϕ ∴ 3 π ϕ ≥ 2 π ϕ ≥ ⇒ π ≤ 3 π ϕ ≤ π 2 π π ≤ 2 π ϕ ≤ π 2 π ∴ π 3 π ≤ ϕ ≤ π 5 6 π π 2 π ≤ ϕ ≤ π ∈  ϕ 2 π ∴ 3 π ≤ ϕ ≤ 2 π ⇒ ∴ （1 题图） （3 题图） 『思考问题,4』 （1）【典例 4】是与三角函数图像与性质相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握三角函 数的图像与性质，尤其需要掌握正弦三角函数的图像与性质； （2）已知正弦型三角函数 y=Asin( x+ )+B(A＞0, ＞0)的部分图像，求正弦型三角函 数 y=Asin ( x+ )(A＞0, ＞0)解析式的基本方法是：① 确定 A 的值，设函数 y 的最大 值为 M，最小值为 m，则 A=M 或 A=|m|；②求 的值，由图像确定三角函数的周期 T，运 用公式| |= 求出 的值；③求 的值，方法 1 根据求出的 A、 ，在图像上找一特殊 点代入解析式再运用相应三角函数的性质确定 ；方法 2 运用“五点法”一般是确定“五点 法”中的第一个零点（ ，0）为突破口； （3）求三角函数的最值或单调区间时，如果问题涉及到正弦型函数或余弦型函数，则只需 把 x+ 看作整体未知数 x 转化为正弦函数或余弦函数来处理即可。 〔练习 5〕解答下列问题： 1、已知函数 f(x)= Asin（ x+ ）（x R， ＞0，0＜ ＜ ）在一个周期内的图像如图 所示，若方程 f(x)=m 在区间［0， ］上有两个不等的实数解 ， ，则 + 的值为（） A B C D 或 2、为了得到函数 y=sin(2x- )的图像，可将函数 y=cos2x 的图像（ ） A 向右平移 个长度单位 B 向右平移 个长度单位 C 向左平移 个长度单位 D 向左平移 个长度单位 3、已知函数 f(x)=Asin( x+ ）（A＞0， ＞0,| |＜ ）的部分图像如图所示，现将函 数 f(x)图像上的所有点向右平移 个单位长度得到函数 g(x)的图像，则函数 g(x)的解析式为 （ ） ϖ ϕ ϖ ϖ ϕ ϖ ϖ ϖ 2 T π ϖ ϕ ϖ ϕ ϕ ϖ ϖ ϕ ϖ ϕ ∈ ϖ ϕ 2 π π 1x 2x 1x 2x 3 π 2 3 π 4 3 π 3 π 4 3 π 6 π 6 π 3 π 6 π 3 π ϖ ϕ ϖ ϕ 2 π 4 πA g(x)=2sin(2x+ ) B g（x）=2sin(2x+ ) C g(x)=2cos2x D g(x)=2sin(2x- ) 4、函数 f(x)=sinx+cosx 的最小正周期为（ ） A B C 2 D 4 5、函数 f(x)= tan( x+ )的单调递增区间为（ ）（2017—2018 成都市高一上期质量检测） A （2k- ，2k+ ），k Z B （2k- ，2k+ ），k Z C （4k- ，4k+ ），k Z D （4k- ，4k+ ），k Z （1 题图） （3 题图） 【典例 5】解答下列问题： 1、已知 sin2 = ，则 cos （ + ）=（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①三角函数二倍角公式的及运用；②三角函数诱导公式及运用。 【解题思路】运用三角函数二倍角公式和诱导公式，结合问题条件就可得出选项。 【详细解答】 sin2 = ， cos （ + ）= = = = ， A 正确， 选 A。 2、（1）若 ， 都是锐角，且 sin = ，sin（ - ）= ，则 sin =( ) A B C D （2）若 ， ∈（ ， ），且 sin = ，sin = ，则 sin（ + ）=( ) A B - C D - 4 π 3 4 π 4 π 2 π π π π 1 3 2 π 4 π 3 2 1 2 ∈ 1 2 1 2 ∈ 1 2 1 2 ∈ 3 2 1 2 ∈ α 2 3 2 α 4 π 1 6 1 3 1 2 2 3  α 2 3 ∴ 2 α 4 π cos(2 ) 12 2 πα + + sin 2 1 2 α− + 2 13 2 − + 1 6 ⇒ ∴ α β α 2 5 5 α β 10 10 β 7 2 10 2 2 1 2 1 10 α β 2 π π。 α 2 5 5 β 2 2 α β 3 10 10 3 10 10 10 10 10 10【解析】 【知识点】①三角函数差角公式的及运用；②同角三角函数的基本关系及运用；③变角的数 学思想与基本方法。 【解题思路】（1）运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件分别求出 cos ，cos（ - ）的值，利用变角的基本方法和三角函数的差角公式通过运算求出 sin 的值就可得出选 项；（2）运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件分别求出 cos ，cos 的值，利用 三角函数的和角公式通过运算求出 sin（ + ）的值就可得出选项。 【详细解答】（1） 是锐角，，且 sin = ， cos = = ； ， 都是锐角，且 sin（ - ）= ， cos（ - ）= = ， = - （ - ）， sin = sin[ -（ - ）]= sin cos（ - ）- cos sin（ - ）= - = - = ， B 正确， 选 B；（2） 是锐角，，且 sin = ， cos = = ； 是锐角，，且 sin = ， cos = = ； sin（ + ）= sin cos + cos sin = + = + = ， A 正确， 选 A。 3、（1）已知 sin( + )= ，则 sin 的值等于（ ） A - B - C D （2）若 cos( + )= ，则 cos2 的值等于 ； 【解析】 【知识点】①三角函数二倍角公式的及运用；②同角三角函数的基本关系及运用；③三角函 数诱导公式及运用。 【解题思路】（1）运用三角函数二倍角公式，结合问题条件求出 cos( + )的值，利用三 角函数诱导公式求出 sin 的值就可得出选项；（2）运用三角函诱导公式，结合问题条件 α α β β α β α β α α 2 5 5 ∴ α 22 51 ( )5 − 5 5  α β α β 10 10 ∴ α β 2101 ( )10 − 3 10 10  β α α β ∴ β α α β α α β α α β 2 5 5 × 3 10 10 5 5 × 10 10 6 2 10 2 10 2 2 ⇒ ∴ α α 2 5 5 ∴ α 22 51 ( )5 − 5 5  β β 2 2 ∴ β 221 ( )2 − 2 2 ∴ α β α β α β 2 5 5 × 2 2 5 5 × 2 2 10 5 10 10 3 10 10 ⇒ ∴ 2 α 4 π 1 3 α 7 9 2 9 2 9 7 9 2 π α 1 3 α 2 π α α求出 sin 的值，利用三角函数二倍角公式通过运算求出 cos2 的值就可得出结果。 【详细解答】（1） sin( + )= ， cos( + )=1-2 sin ( + )=1-2 = ， cos( + )=- sin = ， sin =- ， A 正确， 选 A；（2） cos( + )= ， cos( + )=- sin = ， sin =- ， cos2 =1-2 sin ==1-2 = 。 4、已知 （0， ），2sin2 =cos2 +`1，则 sin =（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①三角函数二倍角公式的及运用；②同角三角函数的基本关系及运用。 【解题思路】运用三角函数二倍角公式，结合问题条件得到关于 sin ，cos 的等式，从 而得出 2sin = cos ，利用同角三角函数的基本关系求出 sin 的值就可得出选项。 【详细解答】 2sin2 =cos2 +`1， 4 sin cos =2 cos ， 2 cos （2 sin -cos ）=0， （0， ）， 2 sin -cos =0， 2sin = cos ， sin + cos = 5 sin =1， sin = ， B 正确， 选 B。 5、已知 tan(x+ )=2，则 的值为 。 【解析】 【知识点】①三角函数二倍角公式的及运用；②三角函数和角公式及运用；③一元一次方程 的定义与解法。 【解题思路】运用三角函数和角公式，结合问题条件得到关于 tanx 的一元一次方程，求解 方程得出 tanx 的值，利用三角函数二倍角公式通过运算就可得出结果。 【详细解答】 tan(x+ )= =2， tanx+1=2-2tanx， tanx= ， = = = = 。 『思考问题,5』 （1）【典例 5】是与三角函数和角，差角和二倍角公式相关的问题，解答这类问题需要理解 并掌握三角函数和角，差角和二倍角公式； （2）运用三角函数和角，差角和二倍角公式的问题主要包括：①角的变换，②三角函数式 的变形两种类型； （3）角的变换主要是“给值求值”的题型，解答的基本思路是变换角，是所求角与已知角 联系起来，尤其是给定的值中含有和角或差角时，不能运用公式展开，应想办法运用已知角 α α  2 α 4 π 1 3 ∴ 2 π α 2 2 α 4 π × 21( )3 7 9 ⇒ 2 π α α 7 9 ∴ α 7 9 ⇒ ∴  2 π α 1 3 ∴ 2 π α α 1 3 ⇒ α 1 3 ∴ α 2 α × 21( )3 − 7 9 α ∈ 2 π α α α 1 5 5 5 3 3 2 5 5 α α α α α  α α ∴ α α 2 α ⇒ α α α α ∈ 2 π ∴ α α ⇒ α α  2 α 2 α 2 α ∴ α 5 5 ⇒ ∴ 4 π tan tan2x x  4 π tan 1 1 tan x x + − ∴ ⇒ 1 3 ∴ tan tan2x x 2 tan 2tan 1 tan x x x− 21 tan 2 x− 211 ( )3 2 − 4 9通过变换成为所求的角； （4）三角函数式的变形主要包括：①“给角求值”， ②“给值求值”两种题型；解答的基 本思路是对给出的三角函数式进行变形化简，再运用三角函数求值的基本方法求值。 〔练习 4〕解答下列问题： 1、已知 = ，则 tan 的值为（ ） A - 4 B - C D 4 2、当 ∈（0， ）时，若 cos( - )=- ，则 tan（ + ）的值为（ ） A B C - D - 3、已知角 的顶点为坐标原点，始边与 X 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A（1，a），B （2，b），且 cos2 = ，则|a-b|=（ ） A B C D 1 4、（1）已知 sin +cos =1，cos +sin =0，则 sin（ + ）= ； （2）已知 tan( - )= ，则 tan = 。 5、若 sin = ，则 cos2 =（ ） A B C - D - 6、cos -sin =（ ） A 1 B C D 【典例 6】解答下列问题： 1、 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若向量 =（a，-cosA）， =（cosC， b-c），且 . =0，则角 A 的大小为（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①正弦定理及运用；②三角形三内角和定理及运用；③向量数量积的定义与性质； ④三角函数诱导公式及运用；⑤三角函数和角公式及运用。 【解题思路】运用向量数量积的性质，结合问题条件得到 a cosC-（ b-c）cosA=0，利用 正弦定理得到 sinA cosC- sinB cosA+sinC cosA=0，从而得到 sinB-- sinB cosA=0，求 sin cos sin 2cos θ θ θ θ + − 1 2 θ 1 4 1 4 θ π。 5 6 π θ 3 5 θ 6 π 3 4 4 3 4 3 3 4 α α 2 3 1 5 5 5 2 5 5 α β α β α β α 5 4 π 1 5 α α 1 3 α 8 9 7 9 7 9 8 9 2 .22.5 2 .22.5 2 2 1 2 3 2 ∆ m n 2 m n 6 π 4 π 3 π 2 π 2 2 2出 cosA 的值，确定 A 的值就可得出选项。 【详细解答】 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， =（a，-cosA）， = （cosC， b-c），且 . =a cosC-（ b-c）cosA=0， = = =2R ， sinA cosC- sinB cosA+sinC cosA=0， sinB-- sinB cosA= sinB （1- cosA）=0， cosA= ， A= ， B 正确， 选 B。 2、在 ABC 中，若 sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则 ABC 的形状一定为（ ） A 等边三角形 B 不含 的等腰三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形 【解析】 【知识点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数差角公式及运用；③三角形内角和定理 及运用；④判断三角形形状的基本方法。 【解题思路】运用三角函数和角，差角公式，结合问题条件得到 sinAcosB-cosAsinB=1-2 cosAsinB，从而得到 sinAcosB+cosAsinB=sinC=1，利用特殊角的三角函数值求出 C 的值就 可得出选项。 【详细解答】 sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C）， sinAcosB-cosAsinB=1-2 cosAsinB， sinAcosB+cosAsinB=sinC=1， C 是 ABC 的内角， C= ， D 正确， 选 D。 3、已知 ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且 AB=1，BC=4，则边 BC 上的中线 AD 的长为 ； 【解析】 【知识点】①余弦定理及运用；②三角形内角和定理及运用；③三角形一边上中线的定义与 性质；④三角函数诱导公式及运用；⑤等差中项的定义与性质。 【解题思路】如图，运用等差中项的性质和三角形内角和定理可求出 B= ，根据三角形 一边上中线的性质，结合问题条件求出 BD=2，利用余弦定理，结合问题条件就可求出 AD 的值。 【详细解答】如图， ABC 的三个内角 A，B，C A 成等差数列，A+B+C= ， B= ， AD 是 边 BC 上的中线，BC=4， BD=2， AB=1， AD B D C =AB +BD -2ABBDcosB=1+4-2 1 2 =5-2=3， AD= 。 4、 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA-bsinB=4csinC，cosA=- ， 则 =（ ） A 6 B 5 C 4 D 3  ∆ m n 2 m n 2 sin a A sin b B sin c C ∴ 2 ⇒ 2 2 ∴ 2 2 ⇒ 4 π ⇒ ∴ ∆ ∆ .60  ∴ ⇒  ∆ ∴ 2 π ⇒ ∴ ∆ .60  ∆ .180 ∴ .60  ∴  ∴ 2 2 2 × × × 1 2 ⇒ 3 ∆ 1 4 b c【解析】 【知识点】①余弦定理及运用；②正弦定理及运用；③解三角形的基本方法。 【解题思路】运用正弦定理，结合问题条件得到 a -b =4c ，从而得到 a =b +4c ，根据 余弦定理，结合问题条件可得 a =b +c -2bccosA= b +c - bc，联立两个式子得到 b +4c = b +c - bc，由这个式子求出 的值就可得出选项。 【详细解答】 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asinA-bsinB=4csinC， a -b =4c ， a =b +4c ， cosA=- ， a =b +c -2bccosA= b +c + bc， 3 c = bc， =6， A 正确， 选 A。 5、（1） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b=6，a=2c，B= ，则 ABC 的面积为 ； （2） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinA+acosB=0，则 B= 。 【解析】 【知识点】①余弦定理及运用；②正弦定理及运用；③三角形的面积公式及运用。 【解题思路】（1）运用余弦定理，结合问题条件得到 36=4c + c -4c =2 c ，从而求 出 c，a 的值，利用三角形的面积公式通过运算就可求出三角形的面积；（2）运用正弦定理， 结合问题条件得到 sinAsinB+sinAcosB=0，从而得到 sinA（sinB+cosB）=0，由 sinB+cosB=0 就可求出 B 的值。 【详细解答】（1） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b=6，a=2c， B= ， 36=4c + c -4c =2 c ， c=3 ，a=2c=2 3 =6 ， = acsinB= 3 6 =9 ；（2） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， bsinA+acosB=0， sinAsinB+sinAcosB=0， sinA（sinB+cosB）=0， sinA 0， sinB+cosB= sin（B+ ）=0， B+ = ， B= 。 6、 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bsinC+csinB=4asinBsinC， + - =8，则 ABC 的面积为 。 【解析】 【知识点】①余弦定理及运用；②正弦定理及运用；③三角形的面积公式及运用。 【解题思路】运用正弦定理，结合问题条件得到 sinBsinC+sinCsinB =4sinAsinBsinC，从而得 到 sinBsinC（4sinA-2）=0，由这个式子求出 sinA 的值，根据余弦定理，结合问题条件得到 2bccosA=8，利用三角形的面积公式通过运算就可求出三角形的面积。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 b c  ∆ ∴ 2 2 2 ⇒ 2 2 2  1 4 ∴ 2 2 2 2 2 1 2 ⇒ 2 1 2 ∴ b c ⇒ ∴ ∆ 3 π ∆ ∆ 2 2 2 × 1 2 2  ∆ 3 π ∴ 2 2 2 × 1 2 2 ⇒ 2 × 2 2 ∴ ABCS∆ 1 2 1 2 × 2 × 2 × 3 2 3  ∆ ∴ ⇒  ≠ ∴ 2 4 π ⇒ 4 π π ∴ 3 4 π ∆ 2b 2c 2a ∆【 详 细 解 答 】（ 1 ） ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 是 a ， b ， c ， bsinC+csinB=4asinBsinC， sinBsinC+sinCsinB =4sinAsinBsinC， sinBsinC（4sinA-2）=0， sinBsinC 0， 4sinA-2=0， sinA= ， + - =2bccosA=8>0， cosA= ， bc= ， = bcsinA= = 。 『思考问题,6』 （1）【典例 6】是正弦定理和余弦定理应用的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦定理 和余弦定理； （2）正弦定理和余弦定理应用的问题主要包括：①解三角形的问题；②判断三角形的形状； ③正弦定理和余弦定理与其它知识点的综合问题；④实际应用问题等几种类型； （3）在实际解答相关问题时，应该抓住问题的结构特征，采用恰当的方法，从而快捷，准 确的给予解答。 〔练习 6〕解答下列问题： 1、在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 = ，a=2 ，则 ABC 面积的最大值为（ ） A B 2 C 3 D 4 2、在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 acosA-bcosB=0，则 ABC 的形 状是（ ） A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 3、江岸边有一炮台高 30m，江中有两条船，船与炮台底面都在同一水平面上，由炮台顶部 测得两船的俯角分别为 和 ，而且两条船与炮台底部连线成 角，则两条船之间的 距离是（ ） A 5 m B 10 m C 5 m D 10 m 4、若 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinA+csinC- asinC=bsinB， 则 B 等于（ ） A B C D 5、在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， ABC= ， ABC 的平分线 交 AC 于点 D，且 BD=1，则 4a+c 的最小值为 ； 6、（1）在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，已知 a-c= b，sinB= sinC，则 cos(2A- )= ；  ∆ ∴ ⇒  ≠ ∴ ⇒ 1 2  2b 2c 2a ∴ 3 2 ⇒ 4 3 3 ∴ ABCS∆ 1 2 1 2 × 4 3 3 × 1 2 3 3 ∆ 2c b a − cos cos B A 3 ∆ 3 3 3 3 ∆ ∆ .45 .60 .30 3 3 2 2 ∆ 2 6 π 4 π 3 π 3 4 π ∆ ∠ .120 ∠ ∆ 6 6 6 6 π（2）在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，已知 a=3 ，b=3，A= ，则 角 C 的大小为 。 ∆ 3 3 π