平面向量问题的类型与解法

平面向量问题的类型与解法 大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时 在大题中也会涉及到平面向量的内容。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档 或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题 主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题 等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答 平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过 典型例题的详细解析，来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（ ） A - B - C + D + 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形 一边上中线的定义与性质。 【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出 向量 关于向量 ， 的式子就可得出选项。 A 【详细解答】如图， ABC 中，AD 为 BC 边上的 中线， = - ， = - = - E = + ， E 为 AD 的中点， B D C = = + ， = - = - - = - , A 正确， 选 A。 2、如图，在正方形 ABCD 中，F 是边 CD 上靠近 D 点的三等分点， A D 连接 BF 交 AC 于点 E，若 =m +n （m，n R），则 m+n E F 的值是（ ） A - B C - D B C 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③正方形 的定义与性质；④方程组的定义与解法。 【解题思路】运用正方形的性质和向量几何运算的基本方法，结合问题条件把 表示成 ， 的式子，与已知式子比较得到关于 m，n 的方程组，求解方程组得出 m，n 的值 就可求出 m+n 的值，从而得出选项。 【详细解答】如图， F 是边 CD 上靠近 D 点的三等分点，ABCD 是正方形， = ∆ EB 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC 3 4 AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AC EB AB AC  ∆ BC AC AB ∴ AD AC DC AC 1 2 BC 1 2 AC 1 2 AB  ∴ AE 1 2 AD 1 4 AC 1 4 AB ⇒ EB AB AE AB 1 4 AC 1 4 AB 3 4 AB 1 4 AC ⇒ ∴ BE AB AC ∈ 1 5 1 5 2 5 2 5 BE AB AC  ∴ BC- ， = = ， = - = - - = - ， A，E，C 三点共线， 存在实数 ，使 = ， = - = - - =（1- ） - ， B，E，F 三点共线， 存在实数 t，使 =t ， （1- ） - =t（ - ）， （1- -t） +（ t-1） =0， 1- -t=0， 且 t-1=0， = ，t= ， = - ， =m +n ， m=-1，n= ， m+n=-1+ =- ， C 正确， 选 C。 3、如图，在 ABC 中，已知 =- ，P 为 AD 上一点，且满足 =m + ， 则实数 m 的值为（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③方程组 的定义与解法。 【解题思路】运用向量几何运算的基本方法，结合问题条件把 表示成 ， 的式子， 与已知式子比较得到关于 m，t 的方程组，求解方程组得出 m，t 的值就可求出 m 的值，从 而得出选项。 【详细解答】如图， =- =- ， A = - ， = - ， A，P， P D 三点共线， 存在实数 t，使 =t ， B D C - =t（ - ）， =（1-t） +t = （1-t） + t ， =m + ， （1-t）= ，且 m=t， t=m= ， B 正确， 选 B。 4、已知 P 是 ABC 内一点， =2（ + ），记 PBC 的面积为 ， ABC 的面积 为 ，则 = ； 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形 面积计算的基本方法；④相似三角形的定义与性质；⑤三角形一边上中线的定义与性质。 AC AB FC 2 3 DC 2 3 AB ⇒ BF BC FC AC AB 2 3 AB AC 5 3 AB  ∴ λ EC λ AC ⇒ BE BC EC AC AB λ AC λ AC AB  ∴ BE BF ⇒ λ AC AB AC 5 3 AB ∴ λ AC 5 3 AB ⇒ λ 5 3 ∴ λ 2 5 3 5 ⇒ BE 3 5 AC AB  BE AB AC ∴ 3 5 ⇒ 3 5 2 5 ⇒ ∴ ∆ BD 1 2 CD CP CA 4 9 CB 2 3 1 3 5 9 1 2 CP CA CB  BD 1 2 CD 1 3 CB ∴ AD CD CA PD CD CP  ∴ PD AD ⇒ CD CP CD CA ∴ CP CD CA 2 3 CB CA  CP CA 4 9 CB ∴ 2 3 4 9 ⇒ 1 3 ⇒ ∴ ∆ . AB PB PC ∆ 1S ∆ 2S 1 2 S S【解题思路】运用向量几何运算的基本方法，结合问题条件可知 + 是 ，得到 + 是连接 AC，BC 中点所在线段的向量，从而推出点 P 是连接 AC，BC 中点所在线 段的中点，利用三角形一边上中线的性质和相似三角形的性质求出 就可得出选项。 【详细解答】如图，分别取 AC，BC 的中点 D，E， A 连接 DE，取 DE 的中点 P，连接 CP，延长 PE 到 F， 使 PE=EF，连接 BF，CF， E 是 BC 的中点， D BE=CE， 四边形 BPCF 是平行四边形， B E P C = + ， P 是 DE 的中点，PE=EF， F = = ， 点 P 是满足条件的点， = ， CDE CAB， = ， CP 是 CDE 边 DE 上的中线， = = = ，同理可得 = ， = = + = + = ， = 。 5、（1）已知 G 为 ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB，AC 分别相交于 P，Q，若 = ，则当 ABC 与 APQ 的面积之比为 时，实数 的值为 ； （2）已知 G 为 ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB，AC 分别相交于 P，Q，若 = ，则 ABC 与 APQ 的面积之比为 。 【解析】 【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形 重心的定义与性质；④三角形面积计算的基本方法。 【解题思路】（1）根据三角形重心的性质，求出 ， ，由 P、G、Q 三点共线，求出 的值（用含 的式子表示），利用三角形面积计算的基本方法把 ， 表示出来，结 合 = 就可求出 的值；（2）设 =u，根据三角形重心的性质，求出 ， ，由 P、G、Q 三点共线求出 u 的值，利用三角形面积计算的基本方法把 ， PB PC 1 2 . AB PB PC 1 2 S S  ∴ ⇒ ∴ PF PB PC  ∴ DE PF 1 2 . AB ∴  CD CA 1 2 ∆  ∴ CDE CAB S S ∆ ∆ 1 4  ∆ ∴ CPES∆ 1 2 CDES∆ ⇒ CPES∆ 1 8 CABS∆ 1 8 2S BPES∆ 1 8 2S  1S BPCS∆ BPES∆ CPES∆ 1 8 2S 1 8 2S 1 4 2S ∴ 1 2 S S 1 4 ∆ AP λ AB ∆ ∆ 20 9 λ ∆ AP 3 5 AB ∆ ∆ PQ PG AQ AC   λ ABCS∆ APQS∆ ABC APQ S S ∆ ∆ 20 9 λ AQ AC   PQ PG ABCS∆ APQS∆表示出来，从而求出 的值。 【详细解答】（1）如图，连接 CG 并延长交边 AB 于点 D，连接 BG 并延长交边 AC 于点 E， G 是 ABC 的重心， = + =- + ， A = =- + ， = - =- D E + +（1- ） =( - ） + ，设 P G Q =t， = + =- +t ，P、G、Q B C 三点共线， 存在实数 u，使 =u - +t =u[( - ） + ]， （- + u- u） +(t- u) =0 - +u - u=0， u= ， t- u=0， t= ， = | || |sin A， = | || |sin A= | || |sin A， = = ， 9（ ）=20 ， 20 -27 +9=0， = 或 = ；（2）如图，连接 CG 并延长交边 AB 于点 D，连接 BG 并延长交边 AC 于点 E，设 =u， G 是 ABC 的重心， = + =- + ， = = - + ， = - =- + + =- + ， = = + =- +t ， P、G、Q 三点共线， 存在实数 t，使 =t - +t =t（- + ）， （- + t） +(u- t) =0 - + t=0，且 u- t=0， t= ，u= ， = | || |sin A， = | || |sin A= | || |sin A， = = 。 ABC APQ S S ∆ ∆  ∆ ∴ BE BA AE AB 1 2 AC BG 2 3 BE 2 3 AB 1 3 AC ⇒ PG BG BP 2 3 AB 1 3 AC λ AB 1 3 λ AB 1 3 AC AQ AC    PQ PA AQ λ AB AC ∴ PQ PG ⇒ λ AB AC 1 3 λ AB 1 3 AC ∴ λ λ 1 3 AB 1 3 AC ⇒ λ λ 1 3 ∴ 3 3 1 λ λ − 1 3 3 1 λ λ −  ABCS∆ 1 2 AB AC ∠ APQS∆ 1 2 AP AQ ∠ 1 2 × 2 3 1 λ λ − AB AC ∠ ABC APQ S S ∆ ∆ 2 3 1λ λ − 20 9 ∴ 3 1λ − 2λ ⇒ 2λ λ ∴ λ 3 5 λ 3 4 AQ AC    ∆ ∴ BE BA AE AB 1 2 AC BG 2 3 BE 2 3 AB 1 3 AC ⇒ PG BG BP 2 3 AB 1 3 AC 2 5 AB 4 15 AB 1 3 AC PQ PA AQ 3 5 AB AC  ∴ PQ PG ⇒ 3 5 AB AC 4 15 AB 1 3 AC ∴ 3 5 4 15 AB 1 3 AC ⇒ 3 5 4 15 1 3 ∴ 9 4 3 4  ABCS∆ 1 2 AB AC ∠ APQS∆ 1 2 AP AQ ∠ 1 2 × 3 5 × 3 4 AB AC ∠ ∴ ABC APQ S S ∆ ∆ 5 3 × 4 3 20 9『思考问题 1』 （1）【典例 1】是向量几何运算的问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算 的基本方法，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的 始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时， 选用三角形法则； （2）用两个不共线的已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题 时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形 或 同一三角形中去； （3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用向量共线的充分必 要条件和平面向量基本定理建立方程（或方程组），再通过解方程（或方程组）达到解答问 题的目的。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、已知 P 为 ABC 所在平面内一点， + + =0，| |=| |=| |=2，则 PBC 的面积等于（ ） A 3 B 2 C D 4 2、设 D 为 ABC 所在平面内一点， =3 ，则（ ）（2015 全国高考新课标 I 卷） A =- + B = - C = + D = - 3、设 P 是 所在平面内一点， + =2 ，则（ ） A + =0 B + =0 C + =0 D + + =0 4、已知点 O、N、P 在 所在的平面内，且| |=| |=| |， + + =0， . = . = . ,则点 O、N、P 依次是 的（ ） A 重心、外心、垂心 B 重心、外心、内心 C 外心、重心、垂心 D 外心、重心、内心 5、如图，在平行六面体 ABCD— 中，E 为 B 与 C 的交点，记 = ， = ， = ，则 =（ ） A + + B + + C + + D - - 6、已知正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 满足| |=1，若 =m +n ，其中 m，n R，则 的最大值为 ； 7、在 ABC 中，点 M、N 满足 =2 ， = ，若 =x +y ，则 x= ，y= 。 ∆ . AB PB PC PB PC . AB ∆ 3 3 3 3 ∆ BC CD AD 1 3 AB 4 3 AC AD 1 3 AB 4 3 AC AD 4 3 AB 1 3 AC AD 4 3 AB 1 3 AC ABC∆ BC BA BP PA PB PC PA PB PC PA PB PC ABC∆ OA OB OC NA NB NC PA PB PB PC PC PA ABC∆ 1A 1B 1C 1D 1C 1B AB a AD b 1AA c AE a b 1 2 c a 1 2 b c a 1 2 b 1 2 c a 1 2 b 1 2 c OP AP . AB AD ∈ 2 1 2 2 m n + + ∆ AM MC BN NC MN AB AC【典例 2】解答下列问题： 1、已知平面向量 =（1，2）， =（1，-1），则 2 + =（ ） Ａ（3，0）　Ｂ（2，1）　Ｃ　（-3，3）　　Ｄ　　（3，3） 【解析】 【知识点】①平面向量坐标运算的法则与基本方法；②平面向量坐标的定义与表示方法。 【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件通过运算就可得出选 项。 【详细解答】 平面向量 =（1，2）， =（1，-1）， 2 + =（2，4）+（1，-1）= （3，3）， D 正确， 选 D。 2、已知向量 =（ ，1）， =（-3， ），则向量 在向量 方向上的投影为（ ） A - B C -1 D 1 【解析】 【知识点】①平面向量坐标运算的法则与基本方法；②平面向量坐标的定义与表示方法；③ 向量数量积的定义与性质；④向量数量积坐标运算的基本方法。 【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件通过运算求出两个向 量的数量积与向量 的模，利用向量数量积的性质求出向量 在向量 方向上的投影就可 得出选项。 【详细解答】 向量 =（ ，1）， =（-3， ）， . =-3 +1 =-3 + =-2 ，| |= =2， . =| |.| |cos< ， >， | |cos< ， >= = =- ， A 正确， 选 A。 3、已知平面向量 =（m+1，-2）， =（-3，3），若 // ，则实数 m 的值为（ ） A 0 B -3 C 1 D -1 【解析】 【知识点】①平面向量平行的定义与性质；②平面向量坐标的定义与表示方法；③方程的定 义与解法。 【解题思路】运用平面向量平行的性质，结合问题条件得到关于实数 m 的方程，求解方程 求出实数 m 的值就可得出选项。 【详细解答】 平面向量 =（m+1，-2）， =（-3，3），且 // ， = ， m =1， C 正确， 选 C。 4、已知向量 =（1，2）， =（2，-1）， =（1， ），若 //(2 + )，则 = 。 a b a b  a b ∴ a b ⇒ ∴ a 3 b 3 b a 3 3 a b a  a 3 b 3 ∴ a b × 3 × 3 3 3 3 a 3 1+  a b a b a b ∴ b a b . | | a b a   2 3 2 − 3 ⇒ ∴ a b a b  a b a b ∴ 1 3 m + − 2 3 − ⇒ ⇒ ∴ a b c λ c a b λ【解析】 【知识点】①平面向量平行的定义与性质；②平面向量坐标的定义与表示方法；③平面向量 坐标运算的法则和基本方法；④方程的定义与解法。 【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出(2 + )，根据 斜率平行的性质得到关于实数 的方程，求解方程就可求出实数 的值。 【详细解答】 =（1，2）， =（2，-1）， 2 + =（2，4）+（2，-1）=（4，3）， =（1， ），且 //(2 + )， = ， = 。 『思考问题 2』 （1）【典例 2】是向量坐标运算的问题，解答这类问题需要理解平面向量坐标的定义，掌握 向量坐标运算的法则和基本方法； （2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量 坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算 律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。 〔练习 2〕解答下列问题： 1、已知点 A（2，-2），B（4，3），向量 =（2k-1，7），若 // ，则 k 的值为（ ） A - B C - D 2、已知 ， 是两个不共线的向量， = + ， = + （ ， ∈R），那么 A， B，C 三点共线的充要条件是（ ） A + =2 B - =1 C =-1 D =1 3、若向量 =（x+3， -3x-4）与 相等，已知 A（1，2），B（8，2），则 x 的值为（ ） A -1 B -1 或 4 C 4 D 1 或-4 4、已知向量 =（2，1）， =（3，4）， =（k，2），若(3 - )// ，则实数 k 的值为（ ） A -8 B -6 C -1 D 6 5、在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 P 在曲线 ：y= (x 0)上，曲线 与 X 轴相 交于点 B，与 Y 轴相交于点 C，点 D（2,1）和点 E（1,0）满足 = + （ ， R），则 + 的最小值为 。 【典例 2】解答下列问题： 1、已知非零向量 ， 满足| |=2| |，且（ - ） ，则 与 的夹角为（ ） A B C D a b λ λ  a b ∴ a b  c λ c a b ∴ 1 4 3 λ ⇒ λ 3 4 a a AB 9 10 9 10 19 10 19 10 a b AB λ a b AC a µ b λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ a 2x AB a b c a b c Γ 2 1 4 x− ≥ Γ OD λ CE µ OP λ µ ∈ λ µ a b a b a b ⊥ b a b 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积几何运算法则和基本方法。 【解题思路】运用平面向量数量积的性质和运算的基本方法，结合问题条件得到含 与 的 夹角余弦的方程，求解方程得出 与 夹角的余弦值，从而求出 与 的夹角。 【详细解答】 非零向量 ， 满足| |=2| |，且（ - ） ， （ - ）. = . - . =| |.| |cos< ， >-| | =2| | cos< ， >-| | =| | （2 cos< ， >-1）=0， | | 0， 2 cos< ， >-1=0， cos< ， >= ， < ， >= ， B 正确， 选 B。 2、（1）已知 =（2，3）， =（3，t），| |=1，则 . =（ ） A -3 B -2 C 2 D 3 （2）已知向量 =（2，3）， =（3，2），则| - |=（ ） A B 2 C 5 D 50 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法； ③向量坐标运算的法则和基本方法；④向量模的定义与求法。 【解题思路】（1）运用向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量 ，从而 求出 t 的值，根据平面向量数量积的性质，平面向量数量积坐标运算法则和基本方法，结合 问题条件通过运算求出 . 就可得出选项；（2）运用向量坐标运算的法则和基本方法， 结合问题条件求出 - ，利用向量模的求法求出| - |就可得出选项。 【详细解答】（1） =（2，3）， =（3，t）， = - =（3，t）-（2，3） =（1，t-3）， | |= =1， =1， t=3， =（1，0）， . =2 1+3 0=2， ,C 正确， 选 C；（2） 向量 =（2，3）， =（3，2）， - =（2，3）-（3，2）=（-1，1）， | - |= = ， A 正确， 选 A。 3、（1）在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A（0，-2），N（1，0），若动点 M 满足 = ，则 . 的取值范围是（ ） A [0，2] B [0，2 ] C [-2，2] D [-2 ，2 ] a b a b a b  a b a b a b ⊥ b ∴ a b b a b b b a b a b b 2 b 2 a b b 2 b 2 a b  b 2 ≠ ∴ a b ⇒ a b 1 2 ∴ a b 3 π ⇒ ∴ AB AC BC AB BC a b a b 2 2 BC AB BC a b a b  AB AC ∴ BC AC AB  BC 21 ( 3)t+ − ∴ 21 ( 3)t+ − ⇒ ∴ BC ⇒ AB BC × × ⇒ ∴  a b ∴ a b ⇒ a b 1 1+ 2 ⇒ ∴ | | | | MA MO 2 OM ON 2 2 2（2）在平面直角坐标系 XOY 中，点 A（1，0），直线 l：y=k(x-1)+2，设点 A 关于直线 l 的 对称点为 B，则 . 的取值范围是 。 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法； ③向量坐标运算的法则和基本方法；④已知点关于已知直线对称点的定义与求法；⑤基本不 等式及运用。 【解题思路】（1）设 M（x，y），运用向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到 关于 x，y 的等式，从而把 y 表示成关于 x 的式子，根据平面向量数量积坐标运算法则和基 本方法，结合问题条件通过运算求出 . 关于 x 的函数，通过求函数值域的方法求出 . 的取值范围就可得出选项；（2）设 B（x，y），运用已知点关于已知直线对称点 的求法，结合问题条件求出点 B 的坐标，根据向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题 条件求出向量 ， ，利用面向量数量积坐标运算法则和基本方法得到 . 关于 k 的函数，通过求函数值域的方法就可求出 . 的取值范围。 【详细解答】（1）设 M（x，y）， = = ， =2 （ ）， =- +4y+4， =（x，y）， =（1，0）， . =x+0=x = = ， -2 . 2 ， D 正确， 选 D；（2）设 B（x，y）， 点 A（1，0），关于直线 l：y=k(x-1)+2 的对称点为 B， =k( -1) +2，且 =- ， x= ，y= ， B（ ， ）， =（1， 0）， =（ ， ）， . = +0= =1+ =1+ ， ①若 k>0 ， 2 =2 ， ， 1+ 1+ = ； ② 若 k= ； （2）已知向量 =（2，2）， =（-3，6），则 cos< ， >= 。 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法； ③单位向量的定义与性质。 【解题思路】（1）运用单位向量的性质，向量数量积运算的法则和基本方法，结合问题条件 求出 . 的值，利用平面向量数量积几何运算公式，结合问题条件通过运算就可求出 cos< ， >的值；（2）运用向量数量积坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出 . ，| |，| |的值，根据向量数量积几何运算公式，结合问题条件通过运算就可求出 cos< ， > 的值。 【详细解答】（1） ， 为单位向量， . =0， =2 - ， | |=| |=1， . = . （ 2 - ） =2 . - . =2| | -0=2 ， | |=|2 - |= = =3， . =| |.| | cos< ， >， cos< ， >= = = ； （2） 向量 =（2，2）， =（-3，6）， . =2 （-3）+2 6=-6+12=6， | |= =2 ， | |= =3 ， . =| |.| | cos< ， > ， cos< ， >= = = 。 5、已知向量 =（-4，3）， =（6，m），且 ，则 m= ； 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法。 【解题思路】运用平面向量数量积的性质，坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到  ∴ OB ⇒ OA OB ∴ 1 2 ≤ OA OB ≤ 3 2 OA OB 1 2 3 2 a b a b c a 5 b a c a b a b a c a c a b a b a c  a b a b c a 5 b ∴ a b a c a a 5 b a a 5 a b a 2 c a 5 b 2 24 | | 4 5 . 5| |a a b b− +   4 0 5− +  a c a c a c ∴ a c . | |.| | a c a c     2 1 3× 2 3  a b ∴ a b × × a 4 4+ 2 b 9 36+ 5  a b a b a b ∴ a b . | |.| | a b a b   6 2 2 3 5× 10 10 a b a ⊥ b关于实数 m 的方程，求解方程就可得出实数 m 的值。 【 详 细 解 答 】 向 量 = （ -4 ， 3 ）， = （ 6 ， m ）， 且 ， . =-4 6+3m=-24+3m=0， m=8。 6、已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， = -2 ， =k + ，若 . =0，则 k 的值为 。 【解析】 【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积几何运算法则和基本方法， ③单位向量的定义与性质。 【解题思路】运用平面向量数量积的性质，几何运算的法则和基本方法，单位向量的性质， 结合问题条件得到关于实数 k 的方程，求解方程就可得出实数 k 的值。 【详细解答】 ， 是夹角为 的两个单位向量， = -2 ， =k + ， . = k . + . -2k . -2 . =k+(1-2k) (- )-2=k- +k-2=2k- =0， k= 。 『思考问题 3』 （1）【典例 3】是向量数量积的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义，掌握 平面向量数量积的性质，运算的法则和基本方法；平面向量数量积包括：①平面向量数量积 的几何运算；②平面向量数量积的坐标运； （2）平面向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式 . =| || |cos〈 ， 〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解； （3）已知向量 = ， = ，求向量数量积直接运用公式 . = 求解； 已 知 向 量 = ， 求 向 量 的 模 一 般 运 用 公 式 . =| | = + ， | |= 求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式； （4）求 与 的夹角常用公式 cos = 求解，基本方法是：①求出 . 及| || |或 得出它们之间的关系，②根据三角函数的相关知识得出结果(注意两向量夹角的取值范围)。 〔练习 3〕解答下列问题： 1、已知平面向量 =（1，1）， =（t+1，1），若 ⊥ ，则实数 t 的值为（ ） A -2 B 0 C 2 D -1 2、已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 内一点，则 .( + )的最 小值是（ ） A -2 B - C - D -1 3、已知向量 ， 满足| |=1， . =-1， .（2 - ）=（ ）  a b a ⊥ b ∴ a b × ⇒ 1e 2e 2 3 π a 1e 2e b 1e 2e a b  1e 2e 2 3 π a 1e 2e b 1e 2e ∴ a b 1e 1e 1e 2e 1e 2e 2e 2e × 1 2 1 2 5 2 ⇒ 5 4 a b a b a b a 1 1( , )x y b 2 2( , )x y a b 1 2 1 2+x x y y a 1 1( , )x y a a a a 2 2 1x 2 1y ⇒ a 2 2 1 1x y+ a b θ . | || | a b a b   a b a b a b a b ABC∆ ABC∆ PA PB PC 3 2 4 3 a b a a b a a bA 4 B 3 C 2 D 0 4、（1）设 ， 均为单位向量，则“| -3 |=| +3 |”是“ ⊥ ”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）设向量 =（1，0）， =（-1，m），若 ⊥（m - ），则 m= 。 5、在平面直角坐标系 XOY 中，已知 =（1,0）， =（0，b）（b R），若 = 2 + ，点 M 满足 = （ R），且| |.| |=36，则 . 的最大值 为 ； 6、（1）已知向量 ， 的夹角为 ，| |=2，| |=1，则| +2 |= ； （2）已知向量 =（-1，2）， =（m，1），若向量 + 与 垂直，则 m= 。 a b a b a b a b a b a a b OA OB ∈ OC OA OB OM λ OC λ ∈ OC OM OM OA a b .60 a b a b a b a b a