直线方程问题的类型与解法

直线方程问题的类型与解法 大家知道，直线方程问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，每年高考 试卷中，圆锥曲线的大题基本上都会涉及到直线方程的相关内容。纵观近几年高考试卷，归 结起来直线方程问题主要包括：①直线的倾斜角和斜率；②直线方程的求法等几种类型。各 种类型问题结构上具有一定的特征，解答思路与方法也各不相同。那么在具体解答直线方程 问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷准确地解答问题呢？下面通过典型例题的 详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、直线 y= x+1 的倾斜角为（ ） A B C D 【解析】 1、【知识点】①直线方程的定义与常见形式；②确定一般式直线方程斜率的基本方法；③直 线倾斜角的定义与性质；④正切函数的图像与性质。 【解题思路】运用确定一般式直线方程斜率的基本方法，结合问题条件求出直线的斜率，利 用正切函数的图像与性质求出直线的倾斜角理科得出选项。 【详细解答】设直线的倾斜角为 ， 直线 y= x+1， k=tan = ， ≤ ＜ ， = ， C 正确， 选 C； 2、已知直线 l 的倾斜角为 ，且 ≤ ＜ ，直线 L 的斜率的取值范围是（ ） A 〔0，+∞） B （-∞，+∞） C （-1，+∞） D （-∞，-1）∪〔0，+∞） 【解析】 【知识点】①直线倾斜角的定义与性质；②已知直线倾斜角求直线斜率的方法；③正切函数 的图像与性质。 【解题思路】运用已知直线倾斜角求直线斜率的方法，正切 y 函数的图像与性质，问题条件求出直线斜率的取值范围，就 1 可得出选项。 【详细解答】 直线 L 的倾斜角为 ，且 ≤ ＜ ， 0 x 函数 y=tanx，x [ ， ）的图像如图所示，由图 -1 k=tan 的取值范围为（-∞，-1）∪〔0，+∞）， D 正确， 选 D。 3、直线 l 经过 A（2，1），B（1， ）（m R）两点，那么直线 L 的倾斜角 的取值范围 是（ ） A 0≤ ＜ B 0≤ ≤ 或 ＜ ＜ C 0≤ ≤ D ≤ ＜ 或 ＜ ＜ 【解析】 【知识点】①直线倾斜角的定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法； ③求函数值域的基本方法，④正切函数的图像与性质。 3 .30 .45 .60 135。 α  3 ∴ α 3  0。 α 180。 ∴α .60 ⇒ ∴ α 0。 α 135。  α 0。 α 135。 2 π 3 4 π π ∴ ∈ 0。 135。 α ⇒ ∴ 2m ∈ α α π α 4 π 2 π α π α 4 π 4 π α 2 π 2 π α π【解题思路】运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件得到直线 斜率关于参数 m 的函数，根据求函数值域的基本方法求出直线斜率的取值范围，利用正切函 数的图像与性质确定直线倾斜角的取值范围就可得出选项。 【详细解答】 直线 l 经过 A（2，1），B（1， ）两点， k=tan = =1- ， m R， k=tan =1- 1， 0≤ ≤ 或 ＜ ＜ ， B 正确， 选 B。 4、已知直线 PQ 的斜率为- ，将直线绕点 P 顺时针旋转 所得直线的斜率是（ ） A 0 B C D - 【解析】 【知识点】①直线倾斜角的定义与性质；②已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法；③已 知直线斜率，确定直线倾斜角的基本方法；④直线绕定点旋转的定义与性质。 【解题思路】运用已知直线斜率，确定直线倾斜角的 y 基本方法确定直线旋转前的倾斜角，根据直线绕定点 旋转的性质确定直线旋转后的倾斜角，利用已知直线 倾斜角，求直线斜率的基本方法求出直线的斜率就可 O P x 得出选项。 【详细解答】 直线 PQ 的斜率为- ， 直线 PQ 的倾斜角为 ，设直线 PQ 与 X 轴相 较于点 P，如图当直线 PQ 绕点 P 顺时针旋转 时，直线 P 的倾斜角为 ， k=tan = ， C 正确， 选 C。 5、如果直线 l 沿 X 轴负方向平移 3 个单位，再沿 Y 轴正方向平移 1 个单位后又回到原来的 位置，求直线 l 的斜率 k； 【解析】 【知识点】①直线方程的定义与常见形式；②直线平移的定义与性质；③待定系数法及运用。 【解题思路】不失一般性设直线 l 的方程为：y=kx+b，运用直线平移的性质，结合问题条件 得到平移后直线的方程，利用待定系数法的基本方法得到关于 k，b 的方程组，求解方程组 就可求出 k 的值。 【详细解答】不失一般性设直线 l 的方程为：y=kx+b， =k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1= kx+b， 3k+b+1=b， k=- 。 6、已知两点 A（-1，-5），B（3，-2），直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半，求直 线 L 的斜率 k； 【解析】 【知识点】①已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法；②三角函数二倍角公式及运用。  2m ∴ α 21 m 2 1 − − 2m  ∈ ∴ α 2m ≤ ⇒ α 4 π 2 π α π ⇒ ∴ 3 60。 3 3 3 3 .120 .60  3 ∴ .120 .60 Q′ .60 ∴ .60 3 ⇒ ∴  y′ ∴ ⇒ 1 3【解题思路】运用已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件求出直线 AB 的斜率，利用三角函数二倍角公式得到关于直线 l 斜率 k 的方程，求解方程，结合问题条件 就可求出 k 的值。 【详细解答】设直线 l 的倾斜角为 ， A（-1，-5），B（3，-2）， 直线 AB 的斜率为 = ， k=tan ，直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半， = ， 3 +8k-3=0， k=-3 或 k= ， < < ， k= 。 7、设 M（2，-5），N（-3,，2），直线 L 过点 P（1，1），若 L 与线段 MN 有交点，则斜率 k 的取值范围是多少？倾斜角 的取值范围是多少？ 【解析】 【知识点】①已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法；②过定点的直线与相等相交的 定义与性质；③正切函数的图像与性质。 【解题思路】运用已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直 线 PM，PN 的斜率，利用定点的直线与相等相交的性质，结合正切函数的图像与性质就可求 出直线 l 斜率的取值范围，从而得出直线 k 倾斜角 的取值范围。 【详细解答】如图， 直线 PM，PN 的斜率分别 N（-3，2）y 为： =-6， =- ，直线 L 过点 P（1， P（1，1） 1），且与线段 MN 有交点， k -6 或 k - ， 0 x 直线 l 倾斜角 的取值范围是[0，arctan(-6)] [ arctan(- )， ）。 8、已知函数 f(x)=asinx-bcosx 的图像的一条对称轴方程是 x= ，求直线 ax-by+c=0 的倾斜 角的正切值； 【解析】 【知识点】①三角函数辅助角公式及运用；②正弦函数的图像与性质；③求直线方程一般式 斜率的基本方法。 【解题思路】运用三角函数辅助角公式，结合问题条件得到正弦型函数，根据正弦型函数处 理的基本方法，结合正弦函数的图像与性质求出 的值，利用求直线方程一般式斜率的基 本方法就可求出直线倾斜角的正切值。 【详细解答】设直线 ax-by+c=0 的倾斜角为 ， f(x)=asinx-bcosx= sin(x- )（tan = ）的图像的一条对称轴方程是 x= ， x- =k + ， =- k - (k Z）， tan = =tan(- k - )=-tan =-1， tan =k= =-1， 直线 ax-by+c=0 的倾斜 角为 的正切值为-1。 10、设直线 L 的方程为 2x+By-1=0，倾斜角为 。 （1）试将 的正切值表示为 B 的函数； α  ∴ 5 2 1 3 − − − − − （ ） 3 4  α ∴ 2 2k 1 k− 3 4 ⇒ 2k ∴ 1 3  .0 α .90 ∴ 1 3 α α  5 1 2 1 − − − 2 1 3 1 − − − 1 4 ∴ ≤ ≥ 1 4 ⇒ α  1 4 π 4 π b a α  2 2a b+ ϕ ϕ b a 4 π ∴ ϕ π 2 π ⇒ ϕ π 4 π ∈ ∴ ϕ b a π 4 π 4 π  α a b ∴ α α α（2）若 ＜ ＜ ，试求 B 的取值范围； （3）若 B∈（-∞，-2）∪（2，+∞），求 的取值范围。 【解析】 【知识点】①求直线方程一般式斜率的基本方法；②已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方 法；③已知直线斜率，求直线倾斜角的基本方法；④求函数值域的基本方法。 【解题思路】（1）运用求直线方程一般式斜率的基本方法，结合问题条件就可求出直线倾斜 角正切值关于 B 的函数；（2）运用已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法，结合问题条 件求出直线斜率的取值范围，根据直线斜率公式就可求出 B 的取值范围；（3）利用求函数 值域的基本方法，结合（1）的函数式求出直线斜率的取值范围，从而就可求出直线倾斜角 的取值范围。 【详细解答】（1） 直线 l 的斜率 k= tan =- ， 直线倾斜角 的正切值表示为 B 的 函数是 tan =- ；（2） ＜ ＜ ， k= tan =- 的取值范围为（- ，- ） （ ，+ ）， B 的取值范围为（-2 ，0） （0， ）；（3） B∈ （-∞，-2）∪（2，+∞）， k= tan =- 的取值范围为（-1，0） （0，1）， 直线 l 倾斜角 的取值范围为（0， ） （ ， ）。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是与直线倾斜角，直线斜率相关的问题，解答这类问题需要理解直线倾斜角 的定义，掌握求直线斜率的公式和基本方法； （2）直线的倾斜角是 X 轴绕直线与 X 轴的交点（条件是直线与 X 轴相交）按逆时针方向 旋转到与直线重合时转动的最小正角，求倾斜角的取值范围的基本方法是：①根据问题条件， 运用求直线斜率的基本方法求出直线斜率的取值范围；②利用正切函数的图像和性质确定直 线倾斜角的取值范围； （3）直线的倾斜角有两个特殊情况：①直线与 X 轴平行或重合时，倾斜角 =0；②直线与 Y 轴平行或重合时，倾斜角 = ； （4）已知直线的倾斜角 ，求直线的斜率可直接运用公式 k=tan ，但应注意这个故事的 条件是 ； （5）在求直线的斜率时，应根据题给的条件选用恰当的公式和方法，常用求直线斜率的基 本方法有：①已知直线倾斜角，运用公式 k=tan （ ）；②已知直线上两点的坐标 A （ ， ），B（ ， ），运用公式 k= （ 0）；③已知直线的方向向量 =（m，n），运用公式 k= （n 0）；④已知直线的一般式方程 Ax+By+C=0，运用公式 k=- 6 π α 2 3 π α  α 2 B ∴ α α 2 B  6 π α 2 3 π ∴ α 2 B ∞ 3  3 3 ∞ ⇒ 3  2 3 3  ∴ α 2 B  ⇒ α 4 π  3 4 π π α α 2 π α α α ≠ 2 π α α ≠ 2 π 1x 1y 2x 2y 2 1 2 1 y y x x − − 2 1x x− ≠ a m n ≠（B 0）。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、直线 x+3y+1=0 的倾斜角是（ ） A B C D 2、直线 2x-y-2=0 绕它与 Y 轴的交点逆时针方向旋转 所得的直线方程是（ ） A -x+2y-4=0 B x+2y-4=0 C -x+2y+4=0 D x+2y-4=0 3、若点 A(2，-3)是直线 x+ y+ =0 和 x+ y+ =0( = =1)的公共点，则相异两点 （ ， ）和（ ， ）所确定的直线方程是（ ） A 2x-3y+1=0 B 3x-2y+1=0 C 2x-3y-1=0 D 3x-2y-1=0 4、过点 P（-1,2），且方向向量为 =（-1,2）的直线方程是（ ） A 2x+y=0 B x-2y+5=0 C x-2y=0 D x+2y-5=0 5、直线 Ax+By+C=0 的倾斜角是 ，则 A=（ ） A B B - B C B D - B 6、设点 A（-2，3），B（-3，2），若直线 y=ax+2 与线段 AB 有公共点，则 a 的取值范围是 ； 7、已知直线 L 的方向向量是 =（-1, ），求直线 L 的斜率与倾斜角； 8、方程（x-2a）(2x+ay-2)=0 表示什么曲线？如果是直线，求直线的斜率和倾斜角。 【典例 2】解答下列问题： 1、过点（3，1）且与直线 x-2y-3=0 垂直的直线方程是（ ） A 2x+y-7=0 B x+2y-5=0 C x-2y-1=0 D 2x-y-5=0 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用；②求直线一般式方程斜率的基本方法；③两条直线垂 直的充分必要条件。 【解题思路】运用求直线一般式方程斜率的基本方法，结合问题条件求出已知直线的斜率， 根据两条直线垂直的充分必要条件求出所求直线的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求 直线的方程。 【详细解答】设直线 x-2y-3=0 的斜率为 ，所求直线的斜率为 ， =- = ，所求 直线与直线 x-2y-3=0 垂直， . =-1， =-2， 过点（3，1）且与直线 x-2y-3=0 垂 直的直线方程是：y-1=-2(x-3)，即 2x+y-7=0， A 正确， 选 A。 2、过,点 P（1，1）的直线将圆形区域 分为两部分，使得这两部分的面 积之差最大，则该直线方程为（ ） A B ≠ 3 .30 .60 .120 .150 2 π 1a 1b 1c 2a 2b 2c 1c 2c 1a 1b 2a 2b a 120。 3 3 1 3 1 3 a 3 1k 2k  1k 1 2− 1 2 ∴ 1k 2k ⇒ 2k ∴ ⇒ ∴ { }2 2, )| 4y+ ≤（x y xA x+y-2=0 B y-1=0 C x-y=0 D x+3y-4=0 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用；②圆的定义与性质；③两条直线垂直的充分必要条件。 【解题思路】运用圆的性质，两条直线垂直的充分必要条件，结合问题条件求出所求直线的 斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。 【详细解答】如图，设过点 P（1，1）和点（0，0）直线 y 的斜率为 ，所求直线的斜率为 ， = =1， . =-1， =-1， 过,点 P（1，1）的直线将圆形区域 x 分为两部分，使得这两部分的面积之差 最大，则该直线方程为：y-1=-(x-1)，即 x+y-2=0， A 正确， 选 A。 3、直线 L 经过点 P（3,0），且它夹在两直线 ：2x-y-2=0 与 ：x+y+3=0 之间的线段 AB 恰好被点 P 平分，求直线 L 的方程； 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用；②求两条直线交点坐标的基本方法；③线段中点的定 义与性质。 【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法，结合问题条件求出所求直线已知两条直 线的交点坐标，根据线段中点的性质求出所求直线的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所 求直线的方程。 A 【详细解答】如图，设所求直线的斜率为 k， y 直线 l 过点 P（3，0）， 直线 l 的方程为：kx-y -3k=0，由 kx-y-3k=0， kx-y-3k=0，得 A（ ， 0 1 2 3 x 2x-y-2=0， x+y+3=0， ），B （ ， ），线段 AB 恰好被点 P 平分， B + =0， k=0 或 k= ，k=0 时，与题意不符应舍去， k= ， 直线 l 的 方程为：4x-5y-12=0。 4、已知点 P 到两个定点 M(-1，0)，N(1，0)距离的比为 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1， 求直线 PN 的方程； 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用；②两点之间的距离的定义与性质；③点到直线的距离 的定义与性质；④余弦定理及运用；②正切的和角公式及运用。 【解题思路】设直线 PN 的斜率为 ，如图，运用直角三角形的性质，结合问题条件求出 AMN 的值，根据余弦定理，结合问题条件得到关于|PN|的方程，求解方程求出|PN|的值， 从而求出 tan MPN 的值，由正切的和和角公式求出 的值，利用直线的点斜式方程就 1k 2k  1k 1 0 1 0 − − 1k 2k ∴ 2k ⇒ { }2 2, )| 4y+ ≤（x y x ⇒ ∴ 1L 2L ∴ 3 2 2 k k − − 4 2 k k − 3( 1) 1 k k − + 6 1 k k + ∴ 4 2 k k − 6 1 k k + ⇒ 4 5 ∴ 4 5 ⇒ 2 1k ∠ ⇒ ∠ 1k P(1，1) O 可求出直线 PN 的方程。 【详细解答】设直线 PN 的斜率为 ，如图， 点 N y P 到直线 PM 的距离为 1，|MN|=2， |NA|=1， MA A N= ， AMN= ， 点 P 到两个定点 M(-1， M 0 N x 0)，N(1，0)距离的比为 ， |PN| =4+2|PN| -2 2 |PN| ， |PN|= ( +1)， sin MPN= = = ， tan MPN=2- ， = tan（ MPN+ AMN）= =1， 直线 PN 的方程为：x-y-1=0。 5、已知两直线 x+ y+1=0 和 x+ y+1=0 的交点为 P（2，3），求过两点 （ ， ） 和 （ ， ）（ ≠ ）的直线方程； 【解析】 【知识点】①直线两点式方程及运用；②两条直线交点的定义与性质。 【解题思路】运用求直线一般式方程斜率的基本方法，结合问题条件求出已知直线的斜率， 根据两条直线垂直的充分必要条件求出所求直线的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求 直线的方程。 【详细解答】 两直线 x+ y+1=0 和 x+ y+1=0 的交点为 P（2，3）， 2 +3 +1=0， 2 +3 +1=0， 2（ - ）+3（ - ）=0， =- ， y- =- (x- )， 3y-3 =-2x+2 =0 ， 过 两 点 （ ， ） 和 （ ， ）（ ≠ ） 的 直 线 方 程 为 ： 2x+3y+1=0。 6、过点 M（1，-2）作直线 L，使点 B（2，1）到直线 L 的距离等于 1，求直线 L 的方程； 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用；②点到直线的距离公式及运用。 【解题思路】设直线 l 的斜率为 k，运用点到直线的距离公式，结合问题条件求出所求直线 的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。 【详细解答】设直线 l 的斜率为 k， 直线 l 过点 M（1，-2）， 直线 l 的方程为：y+2=k （x-1）， kx-y-k-2=0， 点 B（2，1）到直线,l 的距离等于 1， =1， 1k  ∴ ∠ .90 ⇒ ∠ .30  2 ∴ 2 2 × × 2 × 3 2 ⇒ 2 3 ∴ ∠ | | | | AN PN 1 2( 3 1)+ 2( 3 1) 4 − ⇒ ∠ 3 ∴ 1k ∠ ∠ 6 3 3 3 3 2 3 3 − + − + ∴ 1a 1b 2a 2b 1Q 1a 1b 2Q 2a 2b 1a 2a  1a 1b 2a 2b ∴ 1a 1b 2a 2b ⇒ 1a 2a 1b 2b ∴ 1 2 1 2 b b a a − − 2 3 1b 2 3 1a ⇒ 1b 1a ∴ 1Q 1a 1b 2Q 2a 2b 1a 2a  ∴ ⇒  ∴ 2 | 2 1 2 | 1 k k k − − − + ⇒K= ， 直线 l 的方程是：4x-3y-10=0。 7、直线 L 过点 M（2，1），且分别于 X 轴、Y 轴正半轴相交于 A、B 两点，O 为坐标原点。 （1）当 的面积最小时，求直线 L 的方程； （2）当|MA|.|MB|最小时，求直线 L 的方程。 【解析】 【知识点】①直线点斜式方程及运用；②三角形面积公式及运用；③两点之间距离公式及运 用；④求函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）如图，运用三角形的面积公式，结合问题条件得到 面积关于参数 a，b 的表示式，根据求函数最值的基本方法求出 a，b 的值就可求出所求直线的方程；（2） 运用两点之间的距离公式，结合问题条件得到|MA|.|MB|关于参数 a，b 的表示式，根据求函 数最值的基本方法求出 a，b 的值就可求出所求直线的方程。 【详细解答】（1）如图，设直线 AB 的斜率为 k， y 直线 AB 过点 M（2，1）， 直线 AB 的方程为：y-1 =k(x-2)， kx-y-2k+1=0， A（2- ，0），B（0， B M(2，1) 1-2k）， = |OA|.|OB|= （2- ）（1-2k）= 0 A x （4-4k- ） 2+2 2+4=6，当且仅当-4k=- ，即 k= 时，等号成立， k