两条直线位置关系问题的类型与解法

两条直线位置关系问题的类型与解法 两条直线位置关系问题也是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年高考试题，归结起来两 条直线位置关系问题主要包括：①已知两条直线方程，判定两条直线的位置关系；②已知两 条直线的位置关系，求直线方程中参数的取值或取值范围；③求距离的问题；④对称问题等 几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在实际处理两 条直线位置关系问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷准确地给予解答呢？下面 通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、在 ，a、b、c 是内角 A、B、C 的对边，且 lgsinA、lgsinB、lgsinC 成等差数列， 则下列两条直线 ：（ A）x+(sinA)y-a=0， ：( B)x+(sinC)y-c=0 的位置关系是 （ ） A 重合 B 相交（不垂直） C 垂直 D 平行 【解析】 【知识点】①等差数列的定义与性质；②对数的定义与性质；③求一般式直线方程斜率的基 本方法；④正弦定理及运用；⑤判定两条直线位置关系的充分必要条件。 【解题思路】运用等差数列的性质，对数的运算性质，结合问题条件得到 sinA，sinB，sinC 直角的关系式，根据求一般式直线方程斜率的基本方法求出两条直线的斜率，利用判定两条 直线位置关系的充分必要条件就可得出选项。 【详细解答】 lgsinA、lgsinB、lgsinC 成等差数列， 2 lgsinB=lgsinA+lgsinC， lgsin B=lgsinA.sinC， sin B=sinA.sinC， =- =-sinA， =- =- =- sinA， = ， 两条直线 ， 重合， A 正确， 选 A。 2、已知两直线 ：3x+5y-6=0， ：6x+10y+3=0，求证： ∥ ； 【解析】 【知识点】①求一般式直线方程斜率的基本方法；②判定两条直线位置关系的充分必要条件。 【解题思路】运用求一般式直线方程斜率的基本方法求出两条直线的斜率，利用判定两条直 线位置关系的充分必要条件就可证明结论。 【详细解答】 =- ， =- =- ， = ， - ， ∥ 。 3、求过点 P（-5,3）的直线方程，设它与直线 x+2y-3=0 的夹角为 ，满足：tan =2； 【解析】 【知识点】①求一般式直线方程斜率的基本方法；②两条直线相交的交角公式及运用；③直 线点斜式方程及运用。 【解题思路】设所求直线的斜率为 k，已知直线的斜率为 ，运用求一般式直线方程斜率的 基本方法求出已知直线的斜率 ，根据两条直线相交的交角公式得到关于 k 的方程，求解 方程得出 k 的值，利用直线点斜式方程就可求出所求直线的方程。 ABC∆ 1l 2sin 2l 2sin  ∴ ⇒ 2 ∴ 2  1lk 2sin sin A A 2lk 2sin sin B C sin .sin sin A C C sin a A sin c C ∴ 1l 2l ⇒ ∴ 1l 2l 1l 2l  1lk 3 5 2lk 6 10 3 5 ∴ 1lk 2lk  6 5 ≠ 3 10 ∴ 1l 2l θ θ 1k 1k【详细解答】设所求直线的斜率为 k，已知直线的斜率为 ， =- ， tan =| | =2， | |=2， k=- ， 过点 P（-5,3）且与直线 x+2y-3=0 的夹角为 ，满足：tan =2 的直线方程为：y-3=- (x+5)，即：3x+4y+3=0。 4、等腰三角形一腰所在的直线 的方程为：x-2y-2=0，底边所在的直线 的方程是： x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在的直线 的方程； 【解析】 【知识点】①求一般式直线方程斜率的基本方法；②两条直线相交的交角公式及运用；③等 腰三角形的定义与性质；④直线点斜式方程及运用。 【解题思路】运用求一般式直线方程斜率的基本方法分别求出直线 ， 的斜率 ， ， 根据两条直线相交的交角公式得到关于 k 的方程，求解方程得出 k 的值，利用直线点斜式方 程就可求出所求直线的方程。 【详细解答】设所求直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，直线 ， 的夹角为 ， 直 线 ， 的 夹 角 为 ， = ， =-1 ， tan = | |= | |=3 ， tan =| | =| |，直线 ， ， 分别是等腰三角形腰，底边，腰所在的直线， | |=3， = 或 =2， = 时，直线 和 平行或重合与题意不符， =2， 直线 过点（-2，0）， 直线 的方程为：y=2(x+2)，即：2x-y+4=0。 5、已知三角形三个顶点分别是：A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求三角形三边上的高所在直 线的方程。 【解析】 【知识点】①已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；②两条直线垂直的充分必要 条件；③直线点斜式方程及运用。 【解题思路】运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法分别求出三角形三边所在 直线的斜率 ， ， 根据两条直线垂直的充分必要条件分别得到关于三角形三边上高 所在直线的斜率 ， ， 的方程，分别求解方程得出 ， ， 的值，利用直线点斜 式方程就可求出三角形三边上高所在直线的方程。 1k  1k 1 2 θ 1 11 . k k k k − + ∴ 2 1 2 k k − + ⇒ 3 4 ∴ θ θ 3 4 1l 2l 3l 1l 2l 1k 2k 1l 2l 3l 1k 2k 3k 1l 2l θ 2l 3l α  1k 1 2 2k θ 1 2 1 21 . k k k k − + 1 2 2 1 + − α 2 3 2 31 . k k k k − + 3 3 1 1 k k − − − 1l 2l 3l ∴ 3 3 1 1 k k − − − ⇒ 3k 1 2 3k  3k 1 2 1l 3l ∴ 3k  3l ∴ 3l 1k 2k 3k 4k 5k 6k 4k 5k 6k【详细解答】设三角形三边所在直线 AB，BC，AC 的斜率分别为 ， ， ，三角形三 边上高所在直线的斜率分别为 ， ， ， = = ， = = ， = =- ， . =-1， . =-1， . =-1， =- ， =- ， = ， 边 AB，BC，AC 上高所在直线分别过点 C(0，3)，A(4，0)，B(6，7)， AB，BC，AC 边上高所在直线的方 程 分 别 为 ： y-3=- (x-0) ， y=- (x-4) ， y-7= (x-6) ， 即 ： 2x+7y-21=0 ， 3x+2y-12=0 ， 4x-3y-3=0。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是判断两条已知直线位置关系的问题，解答这类问题需要理解并掌握判断两 条直线位置关系的充分必要条件； （2）判定两条直线位置关系的基本方法是：：①直接判断法；②间接判断法； （3）直接判断法是运用判断两条直线位置关系的充分必要条件：设直线 ： x+ y+ =0； ： x+ y+ =0。 ∥ = 且 ≠ ； 与 重合 = 且 = ； . =-1； （4）间接判断法分两步进行：①判断两直线的斜率是否存在；②运用判断两条直线位置关 系的充分必要条件得出结果。若两条直线的斜率都存在，则把两条直线的方程都化为斜截式， 再看它们的斜率是否相等，截距是否相等（或两条直线斜率的乘积是否为-1）；若两条直线 的斜率都不存在，只需判断在 X 轴上的截距是否相等；若两条直线中的一条直线斜率不存在， 则只需判断另一条直线的斜率是否为 0 就可以了； （5） 到 的夹角计算公式中 ， 的位置是固定的，这里 ， 分别是两条直线 和 的斜率； （9） 与 的夹角计算公式中 ， 的位置是不固定的，这里 、 分别是两条直 线 和 的斜率； （10）在上面的公式中，当 1+ =0，即： =-1 时，显然公式已经没有意义了， 这时 与 的夹角为 。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、根据下列条件求直线的方程： （1）经过点 A（2,3），且与直线 2x+y-5=0 平行； （2）经过点 C（1，-3），且平行于过两点 M(2,1)和 N(-1，-5)的直线； （3）经过点 B（3,0），且与直线 x-y-2=0 垂直； 1k 2k 3k 4k 5k 6k  1k 7 0 6 4 − − 7 2 2k 7 3 6 0 − − 2 3 3k 3 0 0 4 − − 3 4 1k 4k 2k 5k 3k 6k ∴ 4k 2 7 5k 3 2 6k 4 3  ∴ 2 7 3 2 4 3 1l 1A 1B 1C 2l 2A 2B 2C 1l 2l ⇔ 1 1 A B 2 2 A B 1 1 C B 2 2 C B 1l 2l ⇔ 1 1 A B 2 2 A B 1 1 C B 2 2 C B 1l ⊥ 2l ⇔ 1 1 A B 2 2 A B 1l 2l 1Lk 2Lk 1Lk 2Lk 1l 2l 1l 2l 1Lk 2Lk 1Lk 2Lk 1l 2l 1Lk 2Lk 1Lk 2Lk 1l 2l .902、已知三角形三个顶点分别是：A(4,0)、B(6,7)、C(0,3)，求三角形三边上的中垂线所在直 线的方程； 3、三角形的三个顶点分别是：A(6,3)、B(9,3)、C（3,6），求三角形的三个内角的平分线所 在的直线方程。 4、三角形的三个顶点分别是：A(6，3)，B(9，3)，C（3，6），求三角形的三个内角。 【典例 2】解答下列问题： 1、设 m R，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P（x， y），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ） A 〔 ，2 〕 B 〔 ，2 〕 C 〔 ，4 〕 D 〔2 ，4 〕 【解析】 【知识点】①确定直线所过定点的基本方法；②求两条直线交点的基本方法；③两点之间距 离公式及运用；④求函数值域的基本方法。 【解题思路】运用确定直线所过定点的基本方法，求两条直线交点的基本方法，结合问题条 件求出点 A，B，P 的坐标，根据两点之间的距离公式把|PA|+|PB|表示成关于参数 m 的函数， 利用求函数值域的基本方法求出|PA|+|PB|的取值范围就可得出选项。 【详细解答】 当 y=0 时，由 x+my=0 得 x=0， A（0，0）， 当 x=1 时，由 mx-y-m+3=0 得 y=3， B（1，3）， 联立 x+my=0 与 mx-y-m+3=0 得 x= ，y= ， P （ ， ），①当 m=0 时， P（0，3）， |PA|+|PB|= + =3+1=4； ②当 m 0 时， 直线 x+my=0 的斜率 =- ，直线 mx-y-m+3=0 的斜率 =m， . =-1， 点 P 在以|AB|为直径的圆上，当点 P 与点 A 或点 B 重合时，|PA|+|PB|=|AB|= = 为最小值，当 PA PB 时， |PA| +|PB| =|AB| =10，（ |PA|+|PB|） 2（|PA| +|PB| ） 2|AB| =2 10=20， |PA|+|PB| 2 ， 综上所述|PA|+|PB|的取值范围是[ ，2 ]， B 正确， 选 B。 2、已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 经过点 A（3,2）、B（a，-1），且 l 与 垂直，直线 ：2x+by+1=0 与直线 平行，则 a+b=（ ） A -4 B -2 C 0 D 2 【解析】 【知识点】①已知直线倾斜角求直线斜率的基本方法；②已知直线上两点的坐标，求直线斜 率的基本方法；③一般式直线方程求斜率的基本方法；④判定两条直线位置关系的基本方法。 【解题思路】运用已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法，已知直线上两点坐标，求直线 斜率的基本方法，已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直 线 l， ， 的斜率 k， ， 的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法，就会问题条 ∈ 5 5 10 5 10 5 5 5  ∴  ∴  2 2 3 1 m m m − + 2 3 1 m m − + ∴ 2 2 3 1 m m m − + 2 3 1 m m − +  ∴ 0 9+ 1 0+ ≠  1k 1 m 2k 1k 2k ∴ 1 9+ 10 ⊥  2 2 2 2 ≤ 2 2 ≤ 2 × ∴ ≤ 5 ∴ 10 5 ⇒ ∴ 3 4 π 1l 1l 2l 1l 1l 2l 1k 2k件得到含参数 a，b 的方程组，求解方程组求出 a，b 的值，从而求出 a+b 的值就可得出选项。 【详细解答】 直线 l 的倾斜角为 ， k=tan =-1， 直线 经过点 A（3，2）、B （a，-1）， = ，直线 ：2x+by+1=0， =- ， 直线 l 与 垂直，直线 与 平行， -1 =-1， =- ， a=0，b=-2， a+b=0-2=-2， B 正确， 选 B。 3、已知两直线 ：（a-1）x+2y+1=0， ：x+ay+3=0 平行，则 a= ； 【解析】 【知识点】①一般式直线方程求斜率的基本方法；②判定两条直线位置关系的基本方法；③ 参数分类的原则与基本方法。 【解题思路】①当 a=0 时，运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条 件分别求出直线 ， 的斜率 ， 的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法，可知 直线 与 不可能平行，从而得到 a 0；②当 a 0 时，运用已知直线一般式方程，求直 线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直线 ， 的斜率 ， 的值，根据判定两条 直线位置关系的基本方法，结合问题条件得到含参数 a 的方程，求解方程就可求出 a 的值。 【详细解答】①当 a=0 时， = ， 不存在，直线 与 平行不可能存在， a 0； ②当 a 0 时， =- ， =- ，， - =- ，且- - ， a=-1 或 a=2,， 综上所述两直线 ：（a-1）x+2y+1=0， ：x+ay+3=0 平行时，a=-1 或 a=2,。 4、已知两直线 ：x+ y+6=0， ：（m-2）x+3my+2m=0，求 m 的值使得： （1） ∥ ； （2） 与 重合； （3） 与 相交； 【解析】 【知识点】①一般式直线方程求斜率的基本方法；②判定两条直线位置关系的基本方法；③ 参数分类的原则与基本方法。 【解题思路】（1）①当 m=0 时，运用平行于 Y 轴直线的特征可知直线 // ；②当 m 0 时， 运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直线 ， 的斜 率 ， 的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法得到含参数 m 的方程，求解方程就 可求出 m 的值；（2）①当 m=0 时，运用平行于 Y 轴直线的特征可知直线 // ，直线 与 不可能重合；②当 m 0 时，运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题 条件分别求出直线 ， 的斜率 ， 的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法得到  3 4 π ∴ 3 4 π  1l ∴ 1k 2 1 3 a + − 2l ∴ 2k 2 b  1l 1l 2l ∴ × 2 1 3 a + − 2 1 3 a + − 2 b ⇒ ∴ ⇒ ∴ 1l 2l 1l 2l 1k 2k 1l 2l ≠ ≠ 1l 2l 1k 2k  1k 1 2 2k 1l 2l ∴ ≠ ≠  1k 1 2 a − 2k 1 a ∴ 1 2 a − 1 a 3 a ≠ 1 2 ⇒ ∴ 1l 2l 1l 2m 2l 1l 2L 1l 2l 1l 2l 1l 2l ≠ 1l 2l 1k 2k 1l 2l 1l 2l ≠ 1l 2l 1k 2k含参数 m 的方程，求解方程就可求出 m 的值；（3）根据同一平面内两条直线位置关系， 结合（1）（2）的结果就可求出 m 的值。 【详细解答】（1）①当 m=0 时， 直线 ：x+ y+6=0， ：（m-2）x+3my+2m=0 可化 为：直线 ：x+6=0， ：-2x=0，显然 // 成立；②当 m 0 时， =- ， =- ， // ， = 且 ， m=-1 或 m=3， m=3 时， = ， m=-1； 综上所述，当 // 时，m=0 或 m=-1；（2）①当 m=0 时， 直线 ：x+ y+6=0， ： （m-2）x+3my+2m=0 可化为：直线 ：x+6=0， ：-2x=0，显然 与 重合不成立；② 当 m 0 时， =- ， =- ， 与 重合， = 且 = ， m=-1 或 m=3， m=-1 时， =6 ， m=3； 综上所述，当 与 重合时，m=3；（3） 同一平面内两条直线的位置关系只有平行，重合和相交三种情况， 当 与 相交时，m 的值为（- ，0） （0，-1） （-1，3） （3，+ ）。 『思考问题 2』 （1）【典例 2】是已知两条直线位置关系，求直线方程中参数的值或取值范围的问题，解答 这类问题需要理解并掌握判断两条直线位置关系的充分必要条件，参数分类的原则和基本方 法； （2）一般式的直线方程若系数中含有参数，在判定直线的位置关系时，需分两种情况来考 虑：①直线的斜率存在；②直线的斜率不存在； （3）若直线方程是： ：y= x+ ， ：y= x+ ，则应该注意① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 重合，④ 与 斜交的充分必要条件。 〔练习 2〕解答下列问题： 1、若直线（a+2）x+（1-a）y-3=0 与直线（a-1）x+（2a+3）y+2=0 互相垂直，则 a 的值为 （ ） A 1 B -1 C 1 D - 2、已知直线 ：ax+2y+1=0 与直线 ：（3-a）x-y+a=0，若 ，则实数 a 的值为（ ） A 1 B 2 C 6 D 1 或 2 3、已知直线 ：（k-3）x+(4-k)y+1=0， ：2(k-3)-2y+3=0 平行，则 k 的取值是 。 【典例 3】解答下列问题： 1、若动点 A、B 分别在直线 ：x+y-7=0， ：x+y-5=0 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距  1l 2m 2l 1l 2l 1l 2l ≠  1k 2 1 m 2k 2 3 m m − 1l 2l ∴ 2 1 m 2 3 m m − 2 6 m ≠ 2 3 ⇒  2 6 m 2 3 ∴ ∴ 1l 2l  1l 2m 2l 1l 2l 1l 2l ≠  1k 2 1 m 2k 2 3 m m − 1l 2l ∴ 2 1 m 2 3 m m − 2 6 m 2 3 ⇒  2 6 m ≠ 2 3 ∴ ∴ 1l 2l  ∴ 1l 2l ∞    ∞ 1l 1k 1b 2l 2k 2b 1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l ± 3 2 1l 2l 1l ⊥ 2l 1l 2l 1l 2l离的最小值为（ ） A 3 B 2 C 3 D 4 【解析】 【知识点】①两条直线平行的定义与性质；②线段中点的定义与求法；③两点之间的距离公 式及运用。 【解题思路】运用线段中点的求法，点在直线上的性质，结合问题条件求出线段 AB 中点满 足的等式，从而把中点的纵坐标表示成横坐标的式子，根据两点之间的距离公式得到关于横 坐标的函数，利用求函数最值的基本方法求出 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值就可得 出选项。 【详细解答】设点 A（ ， ），B（ ， ），M（ ， ）， 动点 A、B 分别在直线 ： x+y-7=0， ：x+y-5=0 上移动， + -7=0， + -5=0， + + + =12， + =6， M 是线段 AB 的中点， = ， = ， + =6 ， =6- ， |OM|= = = 3 ， AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 3 ， A 正确， 选 A。 2、点 P 到点 A（1,0）和直线 x=-1 的距离相等，且 P 到直线 y=x 的距离等于 ，这样的 点 P 共有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【解析】 【知识点】①点到直线距离公式及运用；②两点之间的距离公式及运用。 【解题思路】运用点到直线距离公式，两点之间距离公式，结合问题条件得到关于点 P 坐 标的方程组，求解方程组求出点 P 坐标的值就可得出选项。 【详细解答】设点 P（ ， ）， 点 P 到点 A（1,0）和直线 x=-1 的距离相等，且 P 到直 线 y=x 的 距 离 等 于 ， = ， =1 ， 或 =3+2 ， 或 =3-2 ， =| +1|， =2， =2+2 ， =2-2 ， 这样的点 P 共有 3 个， C 正确， 选 C。 3、求两平行线 2x+3y-8=0,2x+3y+18=0 间的距离； 【解析】 【知识点】①点到直线距离公式及运用；②两条直线平行的定义与性质。 【解题思路】运用两条直线平行的性质，点到直线距离公式，结合问题条件求出一条直线上 的一个特殊点到另一条直线的距离就可求出两条平行直线之间的距离。 2 2 3 2 1x 1y 2x 2y 0x 0y  1l 2l ∴ 1x 1y 2x 2y ⇒ 1x 2x 1y 2y ∴ 1 2 2 x x+ 1 2 2 y y+  ∴ 0x 1 2 2 x x+ 0y 1 2 2 y y+ ⇒ 0x 0y ∴ 0y 0x  2 2 0 0x y+ 2 0 02 12 36x x− + 2 02( 3) 18x − + ≥ 2 ∴ 2 ⇒ ∴ 2 2 0x 0y  2 2 ∴ 0 0| | 1 1 x y− + 2 2 ⇒ 0x 0x 2 0x 2 2 2 0 0( 1)x y− + 0x 0y 0y 2 0y 2 ∴ ⇒ ∴【详细解答】在直线 2x+3y-8=0 上取一点 P（4，0）, 点 P 到直线 2x+3y+18=0 的距离为： =2 ， 两平行线 2x+3y-8=0,2x+3y+18=0 间的距离为 2 。 4、已知 A（0,3）、B（-1,0）、C（3,0），求点 D 的坐标，使四边形 ABCD 是等腰梯形； 【解析】 【知识点】①两点之间距离公式及运用；②等腰梯形的定义与性质；③已知直线上两点的坐 标，求直线斜率的基本方法；④判定两条直线位置关系的基本方法。 【解题思路】运用等腰梯形的性质，两点之间距离公式，结合问题条件得到关于点 D 坐标 的方程组，求解方程组求出点 D 坐标的值就可求出点 D 的坐标。 【详细解答】如图，设点 D（ ， ）, ①当 y AB//CD 时， 四边形 ABCD 是等腰梯形， A D = ， =4，或 = ， D = ， =3， = ， B 0 C x