圆方程问题的类型与解法

圆方程问题的类型与解法 圆方程问题是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年的高考试卷，归结起来圆方程问题主 要包括：①求圆的标准方程；②圆的标准方程，一般方程，参数方程之间的关系及运用；③ 圆的切线方程问题；④圆的最值问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解 答方法也各不相同。那么在实际处理圆方程问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快 捷准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、圆心在抛物线 =2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及 Y 轴都相切的圆的方程是（ ） A -x-2y+1=0 B -2x-y+1=0 C -x-2y+ =0 D -2x-y+ =0 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求圆方程的基本方法。 【解题思路】运用抛物线的性质，求圆方程的基本方法，结合问题条件求出圆的方程就可得 出选项。 【详细解答】设圆的方程为： +Dx+Ey+F=0， +Dx+Ey+F=0， + = ，圆心在抛物线 =2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及 Y 轴 都相切， =2 （- ）， D=-2， 圆的方程为： -2x-y+ =0， = ，E=-1 D 正确， 选 D。 = ， F= 2、若一三角形的三边所在的直线方程分别为：x+2y-5=0，y-2=0，x+y-4=0，则能够覆盖此 三角形且面积最小的圆的方程为 ； 【解析】 【知识点】①求圆方程的基本方法；②三角形的定义与性质；③求两条直线交点坐标的基本 方法。 【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法，结合问题条件求出三角形三个顶点的坐 标，从而得到三角形是一个钝角三角形，根据覆盖钝角三角形最小圆是以钝角的对边为直径 的圆就可求出圆的方程。 【详细解答】 由 x+2y-5=0，得 x=1， x+2y-5=0，得 x= 3，y-2=0， 得 x=2， 三角 y-2=0， y=2， x+y-4=0， y=1，x+y-4=0， y=2， 形三个 顶点的坐标分别为 A（1，2），B（3，1），C（2，2）， |AB|= = ，|AC|= =1， |BC|= = ， |AB| =5>|AC| +|BC| =1+2=3， ABC 是以 AB 为最大边的钝角 2x 2 2+x y 2 2+x y 2 2+x y 1 4 2 2+x y 1 4 2 2+x y  2 2+x y ⇔ 2)2 D（x+ 2)2 E（y+ 2 2 4 4 D E F+ − 2x ∴ 2 4 D × 2 E ⇒ ∴ 2 2+x y 1 4 2 2 4 4 D E F+ − 21)2 2 E +（- ⇒ ∴ 2 2 4 4 D E F+ − 2 4 D 1 4  ∴ ⇒ 4 1+ 5 1 0+ 1 1+ 2  2 2 2 ∴ ∆三角形， 能够覆盖此三角形且面积最小的圆是以|AB|为直径的圆， 能够覆盖此三角形 且面积最小的圆的方程为： + = 。 3、求以 C（1，3）为圆心，且与直线 3x-4y-7=0 相切的圆的标准方程； 【解析】 【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③点到直线的距离公 式及运用。 【解题思路】运用圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出圆的半 径 R 得到圆的坐标方程就可得出选项。 【详细解答】设圆的标准方程为： + = ， 圆与直线 3x-4y-7=0 相切， R= = ， 以 C（1，3）为圆心，且与直线 3x-4y-7=0 相切的圆的标准方 程为： + = 。 4、已知圆与 x 轴相切，圆心在直线 3x-y=0 上，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 ，求圆 的标准方程； 【解析】 【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③直径三角形的定义 与性质。 【解题思路】运用直径三角形的性质，圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合 问题条件得到关于圆心坐标，圆半径的方程组，求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求 出圆的标准方程。 【详细解答】设圆的标准方程为： + = ， 圆与 x 轴相切，圆心在直线 3x-y=0 上，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 ， |b|=R， a= 1， 3a-b=0， b= 3， （ ） +7= ， =9， 圆的标准方程为： + =9 或 + =9。 4、已知圆经过 A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点，求圆的标准方程。 【解析】 【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法。 【解题思路】运用圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件得到关于圆 心坐标，圆半径的方程组，求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求出圆的标准方程。 【详细解答】设圆的标准方程为： + = ， 圆经过 A（5,1）、B(4,4)、C （1， ⇒ ∴ 2)（x- 2 23)2 （y- 5 4 2)（x- 1 2)（y- 3 2R  ∴ | 3 1 4 3 7 | 9 16 × − × − + 16 5 ⇒ 2)（x- 1 2)（y- 3 256 25 7 2)（x- a 2)b（y- 2R  7 ∴ ⇒ ± ± | | 1 1 a b− + 2 2R 2R ∴ 2)（x- 1 2)（y- 3 2)（x+1 2)（y+3 2)（x- a 2)b（y- 2R 3）三点， + = ， a=3， 过 A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点 + = ， b=2，圆的方程为： + =5。 + = ， , =5， 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是求圆方程的问题，解答这类问题的基本原则是：①如果从条件中容易求出 圆心坐标和半径或需要用圆心坐标列方程，则选用圆的标准方程；②如果条件与圆心坐标和 半径没有直接关系，则选用圆的一般方程； （2）求圆方程常用的方法是：①定义法；②待定系数法； （3）当已知圆的圆心坐标求圆的标准方程一般用定义法，这时只需根据问题条件件求出圆 的半径，问题就可以解决； （4）当圆心坐标、圆的半径都没有给出求圆的标准方程一般用待定系数法，这时需要根据 问题条件，求出圆心坐标和圆的半径才能解决问题； （5）待定系数法求圆方程的基本方法是：①根据题意选择圆的标准方程或一般方程；②根 据问题条件列出关于圆心坐标，圆半径或一次项系数和常数项的方程组；③ 解方程组求出 圆心坐标，圆半径或一次项系数和常数项；④ 把求出的结果代入假设式； （6）求圆方程时常用的有关圆的几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆 心在圆任一弦的垂直平分线线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点在同一直线上； ④圆心到弦的距离、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、求圆心 M 在 Y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的标准方程； 2、已知圆的圆心在原点，且与直线 4x+3y-70=0 相切，求圆的标准方程； 3、已知圆的半径为 ，圆心在直线 y=2x 上，且被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 ，求圆 的标准方程。 4、求过直线 2x+y+4=0 和圆 +2x-4y+1=0 的交点，且面积最小的圆的方程； 5、求过圆 +2x-4y+1=0 和圆 +2x-6y-4=0 交点，且与直线 2x-y+4=0 相切的圆的 方程。 【典例 2】解答下列问题： 1、已知一曲线是到两个定点 O(0，0)，A（3，0）的距离之比为 的点的轨迹，求该曲线的 方程，若曲线是圆，求出圆的半径和圆心坐标。 【解析】 【知识点】①点轨迹方程的定义与求法；②圆一般方程化标准方程的基本方法。 【解题思路】运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件求出曲线的方程，根据圆一般方 程化标准方程的基本方法把圆方程化成圆的标准方程，就可求出圆心坐标和圆的半径。 【详细解答】设动点 P（x，y）， |PO|= ，|PA|= ， = ， ∴ 2)（5- a 2)（1- b 2R ⇒ ∴ 2)（4- a 2)（4- b 2R 2)（x- 3 2)（y- 2 2)（1- a 2)（3- b 2R 2R 10 2 2 2+x y 2 2+x y 2 2+x y 1 2  2 2x y+ 2 2( 3)x y− + | | | | PO PA 1 22 = ， +2x-3=0， 该曲线的方程为： +2x-3=0， 是一个圆； +2x-3=0， + =4， 圆的半径 R=2，圆心坐标为（-1，0）。 2、已知方程 -2（m+3）x+2(1-4 )y+16 +9=0 表示一个圆。 （1）求实数 m 的取值范围； （2）求该圆半径 r 的取值范围； （3）求圆心的轨迹方程。 【解析】 【知识点】①圆一般方程化标准方程的基本方法；②点轨迹方程的定义与求法；方程表示一 个圆的充分必要条件；④参数方程化普通方程的基本方法。 【解题思路】（1）运用圆一般方程化标准方程的基本方法，结合问题条件得到圆的标准方程， 根据方程表示一个圆的充分必要条件得到关于实数 m 的不等式，求解不等式就可求出实数 m 的取值范围；（2）由（1）得到半径关于 m 的函数，根据实数 m 的取值范围求出函数的 值域就可求出圆半径的取值范围；（3）由（1）得到圆心轨迹关于参数 m 的参数方程，利 用参数方程化普通方程的基本方法就可得到圆心的轨迹方程。 【 详 细 解 答 】（ 1 ） -2 （ m+3 ） x+2(1-4 )y+16 +9=0 ， + = 1+6m-7 表示一个圆， 1+6m-7 >0， - 0；②表示一个点 的充分必要条件是 + -4F=0；③当 + -4F sin ， A 错误；②设 P（x，y）在弧 CD 上， cos = =x，sin = =y， tan = ， tan > sin > cos ， B 错误；③设 P（x，y）在弧 EF 上， cos = =x，sin = =y，tan = ， sin > cos > tan ， C 正确；④设 P （x，y）在弧 GH 上， cos = =x cos > sin ， D 错误， C 正确， 选 C。 3、设抛物线 =4x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 ； 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求圆方程的基本方法。 【解题思路】运用抛物线的性质，结合问题条件得到圆心 F 的坐标，从而求出圆半径 R 的 值，就可得出符合题意的圆的方程。 【详细解答】 F 是抛物线 =4x 的焦点， F（1，0）， l 是抛物线 =4x 的准线，圆与 直线 l 相切， R=1+1=2， 符合题意的圆的方程为： + =4。 4、已知圆 C： -2x-4y+1=0 上存在两点关于直线 l：x+my+1=0 对称，则实数 m= 。 【解析】 【知识点】①圆标准方程与一般方程互化的基本方法；②圆的定义与性质。 【解题思路】运用圆标准方程与一般方程互化的基本方法，结合问题条件把圆的方程化为标 准方程，从而得到圆心的坐标，根据圆的性质可知直线 l：x+my+1=0 过圆心，得到关于 m β AOBS扇形 π 2 2 β π β ⇒ S阴影 AOPS∆ BOPS∆ AOBS扇形 β β ∴ β β ⇒ ∴ 2 2+x y α α α α α α α  α | | x OP α | | y OP ∴ α α ⇒  α | | x OP α | | y OP α y x ∴ α α α ⇒  α | | x OP α | | y OP α y x ∴ α α α ⇒  α | | x OP α | | y OP α y x ∴ α α α ⇒ ⇒ ∴ 2y  2y ∴  2y ∴ ⇒ 2( 1)x − 2y 2 2+x y的方程，求解方程就可得出 m 的值。 【详细解答】 圆 C： -2x-4y+1=0 ， + =4， 圆心 C（1，2）， 圆 C： -2x-4y+1=0 上存在两点关于直线 l：x+my+1=0 对称， 直线 l 过点 C（1，2）， 1+2m+1=0， m=-1。 『思考问题 5』 （1）【典例 5】是近几高考或高三的诊断考试中与圆方程相关的问题，解答这类问题需要注 意圆常见几种方程之间的联系； （2）纵观近几年的高考试题，与圆方程相关的问题主要包括：①给定条件，求圆的方程；② 圆标准方程与一般方程和参数方程的互化；③求圆的切线方程；④与圆相关的最值问题等几 种类型。 〔练习 5〕解答下列问题： 1、已知 A，B 是圆 O： =4 上两个动点，| |=2， = - ，若 M 是线段 AB 的中点，则 . 的值为（ ） A 3 B 2 C 2 D -3 2、圆 -4x+6y=0 的圆心坐标是（ ） Ａ　　(２,３)　　　Ｂ　　　(－２,３)　　Ｃ　　　(－２，－３)　　Ｄ　　(２，－３) 3、如图，将一块半径为 2 的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底 AB 是半圆的直径， 上底 CD 的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 ； 4、若圆 C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线 y=1 相切，则圆 C 的方程是 。  2 2+x y ⇔ 2( 1)x − 2( 2)y − ∴  2 2+x y ∴ ⇒ ∴ 2 2+x y AB OC 5 3 OA 2 3 OB OC OM 3 2 2+x y