直线和圆与圆和圆位置关系问题的类型与解法

直线和圆，圆和圆位置关系问题的类型与解法 直线和圆，圆和圆位置关系问题是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年的高考数学试卷， 归结起来直线和圆，圆和圆的位置关系问题主要包括：①判定直线与圆的位置关系；②已知 直线与圆的位置关系，求直线方程或圆方程中参数的值或取值范围；③判定圆与圆的位置关 系；④已知圆与圆的位置关系，求圆方程中参数的值或取值范围等几种类型。各种类型问题 结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在实际解答直线和圆，圆和圆位置关系 问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题 的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、设直线 kx-y+1=0 被圆 O： =4 所截弦的中点的轨迹为 C，则曲线 C 与直线 x+y-1=0 的位置关系为（ ） A 相交 B 相切 C 相离 D 不确定 【解析】 【知识点】①求点轨迹方程的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法。 【解题思路】运用求点轨迹方程的基本方法求出曲线 C 的方程，利用判定直线与圆位置关 系的基本方法就可得出选项。 【详细解答】 直线 kx-y+1=0 过定点（0，1），把点（0，1）代入圆 O： =4 可知点 （0，1）在圆 O 内， 所截弦中点与点（0，1）的连线垂直过弦中点的直径， 所截弦的 中点的轨迹 C 是以点（0，0）和点（0，1）为直径的圆， 曲线 C 的方程为： + = ， 点（0， ）到直线 x+y-1=0 的距离 d= = < ， 曲线 C 与直线 x+y-1=0 相交， A 正确， 选 A。 2、与曲线 =（y-1）(3-y)相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 条； 【解析】 【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法；②求直线方程的基本方法。 【解题思路】设直线的方程为 x+y=a，运用直线与曲线相切的性质得到关于参数 a 的方程， 求解方程求出参数 a 的值，从而得到符合问题条件的直线方程就可得出结论。 【详细解答】设直线的方程为 x+y=a， 直线与曲线 =（y-1）(3-y)相切， （0，2）到 直线 x+y=a 的距离为：d= = =1， a=2- 或 a=2+ ， 当 a=0 时， 有两条直线与曲线 =（y-1）(3-y)相切， 符合问题条件的直线有 4 条。 3、已知直线 l：2mx-y-8m-3=0 和圆 C： -6x+12y+20=0。 2 2x y+  2 2x y+ ∴ ⇒ ∴ 2x 21( )2y − 1 4  1 2 1| 0 1|2 1 1 + − + 2 4 1 2 ∴ ⇒ ∴ 2x  2x ∴ | 0 2 | 1 1 a+ − + | 2 | 2 a− ⇒ 2 2  2x ∴ 2 2x y+（1）m R 时，证明：l 与 C 总相交； （2）m 取何值时，l 被 C 截得的弦长最短？求此时弦长。 【解析】 【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法；②点到直线的距离公式及运用；③圆的定 义与性质。 【解题思路】（1）运用判定直线与圆位置关系的基本方法，结合问题条件就可证明结论； （2）运用点到直线的距离公式和圆的性质得到关于参数 m 的方程，求解方程求出 m 的值， 从而求出此时的弦长。 【详细解答】（1） 圆 C： -6x+12y+20=0 + =25，直线 l： 2mx-y-8m-3=0 过定点（4，-3），把点（4，-3）代入圆的方程得：1+9=10