椭圆问题的类型与解法

椭圆问题的类型与解法 椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有椭 圆问题。从题型上看，不是小题就是大题，难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷，归结 起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离 心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。 各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答椭圆问题时到 底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析 来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： D 1、如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点， M M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹 平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 相交于点 P，则点 P 的轨迹是（ ） A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 C D 圆 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点的轨迹方程的基本方法。 【解题思路】设点 P（x，y），运用椭圆的定义与性质，结合问题条件可知点 P 的轨迹是一 个椭圆，从而得出选项。 【详细解答】设点 P（x，y）， 纸片折叠后 M 与 F 重合，折痕为 CD，CD 与 OM 相交于 点 P， |PM|=|PF|， |PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆 O 的半径为一个定值， 点 P 的轨迹 是以 2c=|OF|，2a=|OM|的椭圆， A 正确， 选 A。 2、根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）焦点在 x 轴上，且过点（2,0）和点（0,1）； （2）焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P（0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于 2； （3）已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别是 和 ， 过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； （4）已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A（3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭 圆的标准方程。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法。 【解题思路】（1）由题意设椭圆的标准方程为： + =1（a>b>0），根据问题条件得到关 于 ， 的方程组，求解方程组求出 ， 的值就可求出椭圆的标准方程；（2）由题意 设椭圆的标准方程为： + =1（a>b>0），根据问题条件得到关于 a，c 的方程组，求解 方程组求出 a，c 的值，运用椭圆的性质求出 b 的值就可求出椭圆的标准方程；（3）问题没 有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，应该分焦点在 X 轴上或在 Y 轴上两种情况考虑，分别求 出相应椭圆的标准方程；（4）问题没有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，可设椭圆的方程为： A +B =1，（A＞0，B＞0，A B），根据问题条件得到关于 A，B 的方程组，求解方程 ∴ ⇒ ∴ ⇒ ∴ 4 53 2 53 2 2 x a 2 2 y b 2a 2b 2a 2b 2 2 y a 2 2 x b 2x 2y ≠ P O F组求出 A，B 的值，代入假设式得到椭圆的方程，再把方程化为椭圆标准方程。 【详细解答】（1）由题意设椭圆的标准方程为： + =1（a>b>0）， 椭圆过点（2,0） 和点（0,1）， +0=1， =4， 所求椭圆的标准方程为： + =1；（2）由题 0+ =1， =1，意设椭圆的标准方程为： + =1（a>b>0）， 椭圆与 y 轴的一个交点为 P（0，-10），P 到它较近一个焦点的距离等于 2， a=10， a=10， = - =100-64=36， 所求椭圆的标准方程为： + =1； a-c=2， c=8，（3）①当焦点在 X 轴上时，设椭圆的标准方程为： + =1（a>b>0）， 点 P 到两焦点的距离分别是 和 ，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 2a= + =2 ， a= ， = - =5- = ， 所求椭圆的标准方程为： 2c= = ， c= ， + =1；②当焦点在 Y 轴上时，设椭圆的标 准方程为： + =1（a>b>0），由①知所求椭圆的标准方程为： + =1；（4）由题 意设椭圆的方程为：A +B =1，（A＞0，B＞0，A B）， 椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A（3，0）， 9A+0=1， A= ，①若 A>B，则 =9 =81， B= ；② 若 Ab>0）， e= = ， =2， a= ，c=1， = - =2-1=1， 所求椭圆的标准方程为： + =1。 4、椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 e= ，椭圆上各点到直线 L：x-y+ + =0 的最短距离为 1，求椭圆的方程。 【解析】 【知识点】①椭圆离心率的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③点到直线的距离 公式及运用。 【解题思路】如图，运用椭圆离心率的定义与性质，结合问题条件得到关于 a，b 的等式， 根据椭圆上各点到直线 L：x-y+ + =0 的最短距离为 1 求出点 P 的坐标，由点 P 在椭 圆上得到关于 ， 的方程，联立之前的等式求出 ， 的值就可得出椭圆的标准方程。 【详细解答】如图，由题意设椭圆的标准方程为： y B x-y+ + =0 + =1（a>b>0）， e= = ， = ， = - = ， 设 A x 点 P（acos ，bsin ）是椭圆上任意一点， 点 P 到直线 l：x-y+ + =0 的最短距离为 1， d= = （ 其 中 tan = ）， =1， = ， + =5 或 + =13+4 ， =4， =1 或 = ， = ， < =7+2 ， =4， =1， 所求椭圆的标准方程为： + =1。 5、若椭圆 a +b =1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点，M 为 AB 的中点，直线 OM（O 为 2 2 x a 2 2 y b  c a 2 2 2a c ∴ 2 ⇒ 2b 2a 2c ∴ 2 2 x 2y 3 2 5 2 5 2 2a 2b 2a 2b 5 2 2 2 x a 2 2 y b  c a 3 2 ∴ 2c 3 4 2a ⇒ 2b 2a 2c 1 4 2a α α  5 2 ∴ | cos sin 5 2 | 1 1 a bα α− + + + 2 2| sin( ) 5 2 | 2 a b α ϕ− + − + + ϕ a b ⇒ 2 2| 5 2 | 2 a b− + + + ∴ 2 2 5 2a b− + + + ± 2 ⇒ 2a 2b 2a 2b 10 ∴ 2a 2b 2a 52 16 10 5 + 2b 13 4 10 5 +  2a 2( 5 2)+ 10 ∴ 2a 2b ⇒ 2 4 x 2y 2x 2y O坐标原点）的斜率为 ，且 OA⊥OB，求椭圆的方程； 【解析】 【知识点】①直线与椭圆相交的定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本 方法。 【解题思路】设 A（ ， ），B（ ， ），M（ ， ），由椭圆方程与直线方程联立 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，运用韦达定理，结合问题条件求出 ， 关于 a，b 的 表达式，从而得出点 M 的坐标，利用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结 合问题条件得到关于 a，b 的方程组，求解方程组得出 a，b 的值就可求出椭圆的方程。 【详细解答】设 A（ ， ），B（ ， ），M（ ， ）， 由 a +b =1，得： x+y=1，（a+b） -2bx +b-1=0， + = ， . = ， + =2-（ + ）=2- = ， = = ， = = ， M（ ， ）， OM（O 为坐标原点） 的斜率为 ，且 OA⊥OB， = ， . = . + . =2 . -（ + ）+1 = - +1= =0， a=2（ -1），b=2（2- ）， 椭圆的方程为：2 （ -1） +2（2- ） =1，即： + =1·。 『思考题 1』 （1）【典例 1】是求椭圆的标准方程的问题，解答这类问题应该注意掌握求椭圆标准方程常 用的基本方法：①定义法；②待定系数法； （2）采用定义法，需要注意 2a>2c 这一条件，【典例 1】中的 1 是通过求点的轨迹方程来求 椭圆标准方程的问题，在实际解答问题时，运用椭圆的定义，采用定义法会使解答更简捷。 （3）【典例 1】中的 2 求椭圆的方法称为待定系数，待定系数法的基本步骤是：①作判断， 判断椭圆焦点所在的坐标轴；②设方程， =1（a＞b＞0）或 =1（a ＞b＞0）或 A +B =1，（A＞0，B＞0，A B）；③找关系建立方程或方程组；④解方程 或方程组，将结果代入假设方程；其中设椭圆方程时可以按照如下思路进行：①如果明确椭 圆的焦点在 X 轴上，方程设为 =1（a＞b＞0）；②如果明确椭圆的焦点在 Y 轴上， 2 2 1x 1y 2x 2y 0x 0y 0x 0y 1x 1y 2x 2y 0x 0y  2x 2y 2x ∴ 1x 2x 2b a b+ 1x 2x 1b a b − + ⇒ 1y 2y 1x 2x 2b a b+ 2a a b+ 0x 1 2 2 x x+ b a b+ 0y 1 2 2 y y+ a a b+ ∴ b a b+ a a b+  2 2 ∴ a b 2 2 OA OB 1x 2x 1y 2y 1x 2x 1x 2x 2 2b a b − + 2b a b+ 2a b a b + − + ⇒ 2 2 ∴ 2 2x 2 2y 2 2 1 2 x + 2 2 2 4 y + 2 2 2 2 x y a b + 2 2 2 2 y x a b + 2x 2y ≠ 2 2 2 2 x y a b +方程设为 =1（a＞b＞0）；③如果椭圆中心在原点，焦点位置不确定在 X 轴上还是在 Y 轴上，方程设为 A +B =1，（A＞0，B＞0，A B）； （4）【典例 1】中的 3，4，5 是利用椭圆的定义及几何性质求椭圆方程的问题，解答基本方 法是：①根据动点满足等式的几何意义设出椭圆的标准方程；②建立关于 a、b、c、e 的 方程或方程组；③求解方程或方程组求出 a，b 的值；④将结果代入假设方程。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、已知圆 A： =36，圆 A 内一点 B（2,0），圆 P 过点 B 且与圆 A 内切，求圆心 P 的轨迹方程； 2、一动圆与已知圆 ： + =1 外切，与圆 ： + =81 内切，求动圆圆 心的轨迹方程； 3、⊿ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是（-6,0）、（6,0），边 AC、BC 所在直线的斜率之积 等于- ，求顶点 C 的轨迹方程； 4、根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两准线间的距离为 ，焦距为 2 ； （2）和椭圆 =1 共准线，且离心率为 ； （3）和椭圆 + =1 共准线，且离心率为 。 5、已知椭圆的离心率为 ，一条准线方程为 x=16 求椭圆的方程。 【典例 2】解答下列问题： 1、椭圆 + =1 的焦距是（ ） A 4 B 8 C 2 D 与 m 有关 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆焦距的基本方法。 【解题思路】运用椭圆的定义与性质，结合问题条件求出 ，从而求出 c 的值，利用椭圆 焦距的定义求出椭圆的焦距就可得出选项。 【详细解答】 椭圆 + =1， = +12， = -4， = - = +12 2 2 2 2 y x a b + 2x 2y ≠ 2 2( 2)x y+ + 1O 2( 3)x + 2y 2O 2( 3)x − 2y 4 9 18 55 3 2 2 24 20 x y+ 2 2 2 24 x 2 20 y 1 2 1 2 2 2 12 x m + 2 2 4 y m − 2 2c  2 2 12 x m + 2 2 4 y m − ∴ 2a 2m 2b 2m ⇒ 2c 2a 2b 2m-（ -4）=16， c=4， 2c=8， B 正确， 选 B。 2、已知椭圆 +（m+3） =m（m＞0）的离心率是 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴 的长，焦点和顶点的坐标； 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③求椭圆长轴，短轴，焦距 和顶点坐标的基本方法。 【解题思路】运用椭圆的定义与性质，结合问题条件求出 ， ， ，从而求出 a，b，c 的值，利用椭圆长轴，短轴，焦距，顶点坐标的定义就可求出椭圆的长轴，短轴，焦距和顶 点的坐标。 【详细解答】 椭圆 +（m+3） =m ， + =1，m＞0， =m， = ， = - =m- = ， 椭圆的离心率 e= = ， = = = = ， m=1， a=1，b= ，c= ， 椭圆的长轴为 2a=2，短轴为 2b=1，焦距 为 2c= ，顶点坐标分别为：（-1，0），（1，0），（0， ），（0，- ）。 3、已知 F 是椭圆 5 +9 =45 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。 （1）求|PA|+ |PF|的最小值，并求出 P 点的坐标； （2）求|PA|+|PF|的最大值和最小值。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③三角形三边关系定理及运 用。 【解题思路】（1）如图，运用椭圆的定义与性质，椭圆离心率的定义与性质得到|PA|+ |PF|=|PA|+ =|PA|+|PQ|，就可求出|PA|+ |PF|的最小值和 P 点的坐标；（2）如图，取 椭圆的右焦点 ，连接 P ，A ，根据椭圆的定义得到|P |=6-|PF|，利用三角形三边关 系定理得到关于|PA|+|PF|的不等式，求解不等式就可求出|PA|+|PF|的最大值和最小值。 【详细解答】（1）如图， 椭圆 5 +9 =45， y 2m ⇒ ∴ ⇒ ∴ 2x 2y 3 2 2a 2b 2c  2x 2y ⇔ 2x m 2 3 y m m + ∴ 2a 2b 3 m m + ⇒ 2c 2a 2b 3 m m + ( 2) 3 m m m + +  c a 3 2 ∴ 2e 2 2 c a ( 2) ( 3) m m m m + + 2 3 m m + + 3 4 ⇒ 1 2 3 2 ∴ 3 1 2 1 2 2x 2y 3 2 3 2 | |PF e 3 2 1F 1F 1F 1F  2x 2y ⇔+ =1， =9， =5， = - =9-5 P =4， a=3，c=2， e= = ， |PA|+ |PF| x =|PA|+ =|PA|+|PQ|， 当 P，A，Q 三点共线 时，|PA|+ |PF|=|PA|+ =|PA|+|PQ|=|AQ|=1+ = 为|PA|+ |PF|的最小值，此时点 P 的坐标为（- ，1），（2）如图，取椭圆的右焦点 ，连接 P ，A ， |PF|+|P |=6， |A |= = ， |P |=6-|PF| ， 在 AP 中 ， ||PA|-|P ||=||PA|+|PF|-6| |A | ， 6- |PA|+|PF| 6+ ， |PA|+|PF|的最大值为 6+ ，最小值为 6- 。 4、如图设曲线 C： =1（a＞b＞0）的焦点为 y P ， ，且 P∈C， =2 。 x 求证： 的面积 。 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用。 【解题思路】运用椭圆的定义与性质，余弦定理，结合问题条件得到关于|P |，||P |的等 式，从而求出|P |.||P |关于 的三角函数式，利用三角形的面积公式通过运算就可证明结 论。 【详细解答】 曲线 C： =1（a＞b＞0）的焦点为 ， ，且 P∈C， =2 ， |P | +||P | -2|P |.||P |cos2 =| | ， -2|P |.||P |（cos2 +1 ） =4 ， |P |.||P |= = = ， = |P |.||P |son2 2 9 x 2 5 y ∴ 2a 2b ⇒ 2c 2a 2b ∴ ⇒ c a 2 3  3 2 | |PF e ∴ 3 2 | |PF e 9 2 11 2 3 2 6 5 5 1F 1F 1F  1F 1F 2 2(2 1) (0 1)− + − 2 ∴ 1F  ∆ 1F 1F ≤ 1F ≤ 2 ⇒ 2 ≤ ≤ 2 ∴ 2 2 2 2 2 2 x y a b + 1F 2F 1 2F PF∠ θ 1 2F PF∆ 1 2 tanF PFS b θ∆ = 1F 2F 1F 2F θ  2 2 2 2 x y a b + 1F 2F 1 2F PF∠ θ ∴ 1F 2 2F 2 1F 2F θ 1F 2F 2 ⇒ 2 1 2(| | | |)P PF F+ 1F 2F θ 2c ∴ 1F 2F 2 24( ) 2(cos2 1) a c θ − + 2 2 4 4cos b θ 2 2cos b θ ⇒ 1F PFS∆ 1 2 1F 2F 1F o 2F 1F 0 2F A F O 1F 1F 0 2F = sin cos = 。 『思考题 2』 （1）【典例 2】涉及到椭圆上的点到焦点或准线距离的问题，解决这类问题常常可直接利 用椭圆的定义与性质； （2）运用椭圆的定义与性质解答问题时，需要认真理解椭圆的两个定义，注意两个定义 之间的相互关系； （3）在实际解答该类问题时，应该根据题给的条件和问题的特征正确选择椭圆两个定义 中的某一个或两个。 〔练习 2〕解答下列问题： 1、如图所示，已知椭圆 C： + =1， y D N 的左右焦点分别为 ， ，点 M 与 C 的焦点不重合，分别延长 M ，M 到 x P、Q，使得 = ， = ， Q D 是椭圆 C 上一点，延长 MD 到 N，若 = + ，则|PN|+|QN|=（ ） A 10 B 5 C 6 D 3 2、设椭圆 =1 上一点 P 到左准线的距离为 10，F 是该椭圆的左焦点，若点 M 满足 = ，则| |= ； 3、已知 P 是椭圆 =1 上的一点， 、 是两个焦点，且 ，求 的面积； 【典例 3】解答下列问题： 1、已知 、 是椭圆两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若 AB 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A B C D 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②正三角形的定义与性质；③勾股定理及运用。 【解题思路】运用椭圆的定义与性质，正三角形的定义与性质，结合问题条件得到|A |，||A θ 2 2cos b θ θ θ 2 t nb a θ 2 4 x 2y 1F 2F 1F 2F 1MF 2 3 1F P 2MF 2 3 2F Q QD 3 5 QM 2 3 QN 2 2 25 16 x y+ OM 1 ( )2 OP OF+  OM 2 2 25 16 x y+ 1F 2F 1 2 30F PF∠ = 。 1 2F PF∆ 1F 2F 1F ∆ 2F 2 2 2 3 3 3 3 2 1F M 1F O 2F P |关于 a 的式子，利用勾股定理得到关于 a，c 的等式，从而求出椭圆的离心率就可得出选 项。 【详细解答】如图， 、 是椭圆两个焦点，过 y 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点， AB A 是正三角形， |A |= a，||A |= a， 在 Rt A x 中， |A | +||A | =| | ， +4 = ， B = = ， e= ， C 正确， 选 C。 2、椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P，满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A (0， 〕 B (0， 〕 C 〔 -1，1） D 〔 ，1) 【解析】 【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与求法；③线段垂直平分线的定义与 性质； 【解答思路】题中焦点在 X 轴上已经确定，由问题条件得到关于 a，c 的齐次不等式，进一 步化为关于 e 的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式，根据椭圆离心率的取值 范围得出结果； 【详细解答】如图,连接 PF， 线段 PA 的垂直平分线过 y P 点 F， |PF|=|FA|， |PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|= ， A x P 是椭圆上一点， a-c |PF| a+c， a |PF|+|OF| =|OF|+|FA|=|OA| a+2c， a a+2c， ac ac+2 ， e 1 2 +e， e -1 或 e 1， 椭圆离心率 e 满足：09- = ， 的取值范围是（ ，+ ）。 『思考题 5』 （1）【典例 5】是椭圆与直线相交的综合问题，解答这类问题需要理解直线和椭圆相交的定 义，掌握直线方程和椭圆方程的求法，明确处理直线与椭圆相交问题的基本思路是联立直线 PE PF•  PE PF•   2 2( 2)x y+ + 2 2( 2)x y− + 2 2 2( 2)x y− + 2 2 ∴ 3 ⇒ 3 ∴ ⇒ 3 2 2b 2a 2c ∴ 2 3 x 2y 3 ≤ ≤ 3 1x 1y 2x 2y 2 3 x 2y 2m 2y 2m 2m  1y 2y 2 2 4 3 m m + 1y 2y 2 2 4 3 3 m m − + ∴ 1x 2x 2m 1y 2y 2m 1y 2y 2m 4 2 2 4 3 3 m m m − + 4 2 8 3 m m + 4 2 2 4 12 3 m m m + + 2 2 9 3 m m +  PE 1x 1y PF 2x 2y ∴ PE PF•  1x 2x 1y 2y 1y 2y 2 2 9 3 m m + 2 2 4 3 3 m m − + 2 2 8 3 m m + 2 2 4 12 3 m m + + 2 2 9 9 3 m m + + 2 18 3m +  ∴ ∆ 4m 4m 2m 2m ⇒ 2m ∴ PE PF•  2 18 3m + 9 2 9 2 ∴ PE PF•  9 2 ∞方程和椭圆方程消去 y（或 x）得到关于 x（或 y）的一元二次方程，再运用设而不求，整体 代入数学思想； （2）如果问题中涉及到过定点的直线时，注意需要对直线的斜率存在还是不存在的两种情 况分别考虑；在实际解答该类问题时，为避免直线的斜率存在还是不存在分别考虑的繁杂过 程，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n。 〔练习 5〕解答下列问题： 1、直线 l 过点 M（1,1）与椭圆 =1 相交于 A、B 两点，若 AB 的中点是 M，求直线 l 的方程； 2、动椭圆 C 以坐标原点为左焦点，以直线 x=-8 为左准线，点 B 是椭圆 C 的短轴的一个端 点，线段 BO 的中点为 M。 （1）求点 M 的轨迹方程； （2）已知 k∈R， =（1,0）， =（0,1）经过点（-1，0））且以 +k 为方向向量的直线 L 与 M 的轨迹相交于 E、F 两点，又点 D 的坐标为（1,0）若 为钝角，求 k 的取值范 围。 【典例 6】解答下列问题： 1、（1）设椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左，右顶点为 A，B，P 是椭圆上不同于 A，B 的一点，设直线 AP，BP 的斜率分别为 m，n，则当 （3- ）+ +3（ln|m|+ln|n|）取得 最小值时，椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D （2）设椭圆 C： =1（a＞b＞0）的左，右顶点为 A，B，P 是椭圆上不同于 A，B 的 一点，设直线 AP，BP 的斜率分别为 m，n，则当 +ln|m|+ln|n|取得最小值时，椭圆 C 的离心 率为（ ） A B C D 【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②直线斜率的定义与求法；③对数的定义与运算；④函数最 值的定义与求法；⑤椭圆离心率的定义与求法； 【解题思路】（1）根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式，分别求出直线 AP,BP 的斜率 m，n，把求出的 m，n 代入式子得到关于 a，b 的函数，由该函数取最小值时满足的 条件求出 a，b 的比值，从而得到 a，c 之间的关系，然后求出椭圆的离心率；（2）根据已 知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式，分别求出直线 AP,BP 的斜率 m，n，把求出的 m， 2 2 4 3 x y+ i j i j EDF∠ 2 2 2 2 x y a b + a b 2 3mn 2 mn 1 5 2 2 4 5 3 2 2 2 2 2 x y a b + a b 1 5 2 2 4 5 3 2n 代入式子得到关于 a，b 的函数，由该函数取最小值时满足的条件求出 a，b 的比值，从而 得到 a，c 之间的关系，然后求出椭圆的离心率。 【详细解答】（1）如图，设 P（x，y）是椭圆 C 上的一点， y A（-a，0），B（a，0）， m= = ，n= P = ， mn= . = ， 点 P A B x （x，y）在椭圆 C: + =1（a>b>0）上， = ， mn=- ， （3+ ）- +3ln ，设 t= ，t （1，+ ），f(t)=t(2+ )-2 +3ln = -2 +3t-3ln ， (t)=2 -4t+3- = ，设 g(t)= ， （t）=6 -8t+3>0 在（1，+ ）上恒成立， g(t)在（1，+ ）上单调递增， g(2)=2 8-4 4+3 2-6=0， g(t) 在（1，+ ）上存在唯一零点 t=2， (t) 在（1，+ ）上存在唯一零 点 t=2， t （1，2）时， (t) 0， f(t)在（1，2）上单减， 在（2，+ ） 上单增， 当 t= =2，即 a=2b 时， （3+ ）- +3ln 取得最小 =4 - =3 ， = = ， e= ， D 正确， 选 D； （2）如图，设 P（x，y）是椭圆 C 上的一点， A（-a，0），B（a，0）， m= = ， n= = ， mn= . = ， 点 P y （x，y）在椭圆 C: + =1（a>b>0）上， A B x = ， mn=- ， +ln|m|+ln|n|  ∴ PAk y x a+ PBk y x a− ⇒ y x a+ y x a− 2 2 2 y x a−  2 2 x a 2 2 y b ∴ 2y 2 2 2 2 ( )b a x a − ⇒ 2 2 b a ⇒ a b 2 2 2 3 a b 2 2 2a b 2 2 b a a b ∈ ∞ 2 3 2t 2t 2 1 t 2 3 3t 2t 2t  f ′ 2t 6 t 3 22 4 3 6t t t t − + − 3 22 4 3 6t t t− + −  g′ 2t ∞ ∴ ∞  × × × ∴ ∞ ⇒ f ′ ∞  ∈ f ′ ∈ ∞ f ′ ∴ ∞ ⇒ a b a b 2 2 2 3 a b 2 2 2a b 2 2 b a ⇒ 2c 2b 2b 2b ⇒ 2e 2 2 c a 3 4 ∴ 3 2 ⇒ ∴  ∴ PAk y x a+ PBk y x a− ⇒ y x a+ y x a− 2 2 2 y x a−  2 2 x a 2 2 y b ∴ 2y 2 2 2 2 ( )b a x a − ⇒ 2 2 b a ⇒ a b O P O= +ln ，设 t= ，t （1，+ ），f(t)=t+ln =t-ln ， (t)=1- = ，令 (t)=0 得 t=2， 当 t （1，2）时， (t) 0， f(t)在（1， 2）上单减，在（2，+ ）上单增， 当 t= =2，即 a=2b 时， +ln 取得最小值， =4 - =3 ， = = ， e= ， D 正确， 选 D。 2、已知曲线 C： x=2cos ，（ 为参数），若点 P 在曲线 C 上运动，点 Q 为直线 l：x+2y-4 y=sin ，=0 上的动点，则|PQ|的最小值为 。 【解析】 【考点】①曲线参数方程的定义与性质；②点到直线的距离公式与求法；③求三角函数最值 的基本方法。 【解题思路】运用曲线参数方程的性质和点到直线的距离公式，结合问题条件得到|PQ|的三 角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出|PQ|的最小值。 【详细解答】 点 P 在曲线 C 上运动，点 Q 为直线 l：x+2y-4 =0 上的动点， |PQ| = = ， 当 =2k + ，即 =2k + （k Z）时， |PQ|= = 为最小， |PQ|的最小值为 。 3、（1）如图，在 ABC 中，已知 BAC= ，其内切圆与 AC 边相切于点 D，延长 BA 到 E，使 BE=BC，连接 CE，设 以 E，C 为焦 B 点且经过点 A 的椭圆的离心率为 ，以 E， C 为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 D A ，则当 + 取最大值时， 的值为 ； C E （2）如图，在 ABC 中，已知 BAC= ，其内切圆与 AC 边相切于点 D，AD： DC=1：5，延长 BA 到 E，使 BE=BC，连接 CE，设以 E，C 为焦点且经过点 A 的椭圆的离 心率为 ，以 E，C 为焦点且经过点 A 的双曲线的离心率为 ，则 + 的值为 。 a b 2 2 b a a b ∈ ∞ 2 1 t 2t  f ′ 2 t 2t t − f ′  ∈ f ′ ∈ ∞ f ′ ∴ ∞ ⇒ a b a b 2 2 b a ⇒ 2c 2b 2b 2b ⇒ 2e 2 2 c a 3 4 ∴ 3 2 ⇒ ∴ θ θ 2 θ  2 ∴ | 2cos 2sin 4 2 | 1 4 θ θ+ − + | 2 2 sin( ) 4 2 |4 5 πθ + − ⇒ 4 πθ + π 2 π θ π 4 π ∈ 2 2 5 2 10 5 ∴ 2 10 5 ∆ ∠ .120 1e 2e 1 2 e 2 1 e AD DC ∆ ∠ .120 1e 2e 1e 2e【解析】 【考点】①椭圆的定义与性质；②双曲线的定义与性质；③直线与圆相切的定义与性质；④ 余弦定理及运用；⑤求椭圆离心率的基本方法；⑥求双曲线离心率的基本方法。 【解题思路】（1）设 AD=1， = ，运用直线与圆相切的性质，余弦定理，结合问题条 件分别求出 CD,AC,AE,CE 关于参数 k 的式子，从而求出 c, ， 关于参数 k 的式子，利 用求椭圆和双曲线离心率的基本方法分别求出 ， 关于参数 k 的式子，得到 + 关于 参数 k 的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出 的值；（2）设 AD=1，运用直线与 圆相切的性质，余弦定理，结合问题条件分别求出 CD,AC,AE,CE 的值，从而求出 c, ， 的值，利用求椭圆和双曲线离心率的基本方法分别求出 ， 的值就可求出 + 的值。 【详细解答】（1）设 AD=1， = （k>1）， ABC 的内切圆与 AC 边相切于点 D， BE=BC， CD=k，AC=k+1，AE=k-1， BAC= ， BAC+ EAC= ， EAC = ， = + -2AC.AEcos = +2k+1+ -2k+1-2 (k+1)(k-1) = +3， CE= ， c= ， =k ， =1 ， = = ， = = ， + = + ，设 k= ttan ， ( ， )， f( )=4sin + cos = sin( + )（其中 tan = ）， 当且仅当 sin( + )=1，即 2 sin +cos = ， sin = ，cos = ，k= ttan =6 时，f( )=4sin + cos 取最大值， + 取最大值时， = 。 （2）设 AD=1， ABC 的内切圆与 AC 边相切于点 D，BE=BC，AD：DC=1：5， CD=5，AC=1+5=6，AE=5-1=4， BAC= ， BAC+ EAC= ， EAC AD DC 1 k 1a 2a 1e 2e 1 2 e 2 1 e AD DC 1a 2a 1e 2e 1e 2e AD DC 1 k  ∆ ∴  ∠ .120 ∠ ∠ .180 ∴ ∠ .60 ⇒ 2CE 2AC 2AE .60 2k 2k × × 1 2 2k ⇒ 2 3k + ∴ 2 3 2 k + 1a 2a ⇒ 1e 1 c a 23 1 2 k k + 2e 2 c a 2 3 2 k + ∴ 1 2 e 2 1 e 2 4 3 k k + 2 2 3k + 3 α α ∈ 6 π 2 π  α α 2 3 3 α 2 38 3 α ϕ ϕ 3 6 ∴ α ϕ 3 α α 13 ⇒ α 2 39 13 α 13 13 3 α α α 2 3 3 α ∴ 1 2 e 2 1 e AD DC 1 6  ∆ ∴  ∠ .120 ∠ ∠ .180 ∴ ∠= ， = + -2AC.AEcos =36+16-2 6 4 =28 ， CE=2 ， c= ， =5， =1， = = ， = = ， + = + = 。 『思考题 6』 （1）【典例 6】是近几年高考或高三诊断考试有关椭圆的问题，解答这类问题需要抓住问题 结构的特征，采用相应类型问题解答的基本方法去解答问题； （2）纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定 义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线 与椭圆位置关系问题等几种类型。解答时应该注意各种类型问题结构上的特征，采用恰当的 方法给予解答。 〔练习 6〕解答下列问题： 1、“4＜k＜6”是“ + =1 为椭圆方程”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2、在平面内，已知理定点 A，B 间的距离为 2，动点 P 满足|PA|+|PB|=4，若 APB= ， 则 APB 的面积为（ ） A B C 2 D 3 3、（1）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： + =1 相交于 A，B 两点，若线段 AB 的中 点为 M（-1，1），则 k 的值是 ； （2）已知斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C： - =1 相交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 为 M（2，1），则 k 的值是 。 4、已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 F 在 X 轴上，抛物线 C 上一点 P（4，m）到焦 点 F 的距离为 。 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）设点 M（-2，1），过点 N（2，0）的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，记直线 AM 与直线 MB 的斜率分别为 ， ，证明： + 为定值。 5、已知椭圆 C 的焦点 （-1，0）， （1，0），都 P（1， ）在椭圆 C 上。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若斜率为 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 Q 满足 =2 ，求 ABQ 面积的最大值。 .60 ⇒ 2CE 2AC 2AE .60 × × × 1 2 ∴ 7 ∴ 7 1a 2a ⇒ 1e 1 c a 7 5 2e 2 c a 7 ∴ 1e 2e 7 5 7 6 7 5 2 6 x k− 2 4 y k − ∠ .60 ∆ 3 2 3 3 3 2 6 x 2 3 y 2 2 x 2 3 y 9 2 1k 2k 1k 2k 1F 2F 3 2 1 2 PQ 2QF ∆