双曲线问题的类型与解法

双曲线问题的类型与解法 双曲线问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有 双曲线问题。从题型上看，不是小题就是大题，难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷， 归结起来双曲线问题主要包括：①求双曲线的标准方程；②双曲线定义与几何性质的运用；③ 求双曲线离心率的值或取值范围；④与双曲线相关的最值问题；⑤直线与双曲线位置关系问 题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解 答双曲线问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典 型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、已知双曲线 C： =1（a＞0,b＞0）的焦距为 10，点 P（2,1）在 C 的渐近线上， 则 C 的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【解析】 【知识点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法。 【解题思路】运用双曲线的性质和求双曲线标准方程的基本方法，结合问题条件求出 ， 的值，从而得到双曲线的标准方程就可得出选项。 【详细解答】 双曲线 C： =1（a＞0,b＞0）的焦距为 10，点 P（2,1）在 C 的渐近 线上， 2c=10，1= ， 25=4 + ， =5， =4 5=20，双曲线 C 的方程为： =1， A 正确， 选 A。 2、已知动圆 M 与圆 ： =2 外切，与圆 ： =2 内切，求动圆圆 心 M 的轨迹方程； 【解析】 【知识点】①两圆相切的定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法。 【解题思路】运用两圆相切的性质和求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出动圆 圆心 M 的轨迹方程。 【详细解答】设动圆圆心为 M（x，y），动圆的半径为 R， |M |= ，|M |= ，动圆 M 与圆 ： =2 外切，与圆 ： =2 内 切， |M |= +R，|M |=R- ， |M |-|M |=2 ， 动圆圆心 M 的轨迹是中 2 2 2 2 x y a b − 2 2 20 5 x y− 2 2 5 20 x y− 2 2 80 20 x y− 2 2 20 80 x y− 2a 2b  2 2 2 2 x y a b − ∴ 2b a ⇒ 2b 2b ∴ 2b 2a × 2 2 20 5 x y− ⇒ ∴ 1C 2 2( 4)x y+ + 2C 2 2( 4)x y− +  1C 2 2( 4)x y+ + 2C 2 2( 4)x y− + 1C 2 2( 4)x y+ + 2C 2 2( 4)x y− + ∴ 1C 2 2C 2 ⇒ 1C 2C 2 ∴心在原点，以 ， 为焦点的双曲线， 2a=|M |-|M |=2 ，2c=4-（-4）=8， a= ，c=4， = - =16-2=14， 动圆圆心 M 的轨迹方程为： - =1（- 1， e= ， D 正确， 选 D。 2、已知双曲线 C： =1（a＞0,b＞0）的左右焦点分别为 （-c，0）， （c，0）， 若双曲线 C 上存在一点 P，使得 = ，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） A （1，1+ ） B （1，1+ ） C （1， ） D （1， ） 【解析】 【知识点】①双曲线的定义与几何性质；②双曲线离心率的定义与求法；③正弦定理及运用。 【解答思路】题中焦点在 X 轴上已经确定，由问题条件得到关于 a，c 的齐次不等式，从而 化 为 关 于 e 的 一 元 二 次 不 等 式 ， 求 解 不 等 式 就 可 求 出 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 。 【详细解答】如图， P 是双曲线上一点，且 y P = ，在 P 中， = ， O x = = ， |P |-|P |=2a， |P |= ，|P |= ， 在 P 中， |P |-|P |