抛物线问题的类型与解法

抛物线问题的类型与解法 抛物线问题是近几年高考的热点内容之一。高考试卷中，很多试卷都有抛物线问题。从题型 上看，不是小题就是大题，难度为低档或中档。纵观近几年高考试卷，归结起来抛物线问题 主要包括：①求抛物线的标准方程；②抛物线定义与几何性质的运用；③与抛物线相关的最 值问题；④直线与抛物线位置关系问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征， 解答方法也各不相同。那么在实际解答抛物线问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快 捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例 1】解答下列问题： 1、已知双曲线 ： =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，若抛物线 ： =2py (p＞0) 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 的方程为（ ） A = y B = y C =8y D =16y 【解析】 【知识点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率的定义与性质；③抛物线的定义与性质； ④求抛物线标准方程的基本方法。 【解题思路】运用双曲线的性质，双曲线离心率的定义，结合问题条件求出双曲线的渐近线 方程，根据点到直线的距离公式得到关于 p 的方程，求解方程求出 p 的值得出抛物线的方程 就可得出选项。 【详细解答】 双曲线 ： =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2， =2， =4 ， = - =3 ， = ， 双曲线 的渐近线方程为：y= x， 抛物 线 ： =2py (p＞0)的焦点为 F（0， ）， = = =2， p=8，抛物线 的方 程为 ： =16y， D 正确， 选 D。 2、设抛物线 C: =3px（p≥0）的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|=5，若以 MF 为直径的圆过 点（0,2），则 C 的方程为（ ） A =8x 或 =4x B =8x 或 =2x C =4x 或 =16x D =2x 或 =16x 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线标准方程的基本方法。 【解题思路】如图，过点 M 作 MN 垂直抛物线的准线于点 N，运用抛物线的性质，结合问 题条件求出点 M 的坐标，从而得到以 MF 的为直径的圆的方程，根据点（0,2）在圆上，得 到关于 p 的方程，求解方程求出 p 的值得出抛物线的方程就可得出选项。 1C 2 2 2 2 x y a b − 2C 2x 1C 2C 2x 8 3 3 2x 16 3 3 2x 2x  1C 2 2 2 2 x y a b − ∴ c a ⇒ 2c 2a 2b 2c 2a 2a ∴ b a 3 ⇒ 1C ± 3  2C 2x 2 p Fd | 0 |2 3 1 p− + 4 p ∴ 2C 2x ⇒ ∴ 2y 2y 2y 2y 2y 2y 2y 2y 2y【详细解答】如图，过点 M 作 MN 垂直抛物线的 y 准线于点 N， 点 M 是抛物线 C: =3px（p≥0） N M 上一点，焦点为 F，|MF|=5， + =MF=5， 0 F x =5- ， = ， 以 MF 为直径的圆的方程为： + = ， 圆过点（0,2）， + = ， p= 或 p= ， 抛物线 C 的方程为： =4x 或 =16x， C 正确， 选 C。 3、分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点（-3，2）； （2）焦点在直线 x-2y-4=0 上。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法。 【解题思路】（1）由题意设抛物线的方程为： =-2px（p>0）或 =2py（p>0），根据点 （-3，2）在抛物线上得到关于 p 的方程，求解方程求出 p 的值就可求出抛物线的标准方程； （2）根据焦点在直线 x-2y-4=0 上分别求出抛物线在 X 轴和 Y 轴上的焦点，从而得到抛物 线的标准方程。 【详细解答】（1）由题意设抛物线的方程为： =-2px（p>0）或 =2py（p>0）， 点（-3， 2）在抛物线上， 4=6p 或 9=4p， p= 或 p= ， 抛物线的标准方程为： =- x 或 = y；（2） 抛物线的焦点在直线 x-2y-4=0 上， 令 y=0 得 x=4，令 x=0 得 y=-2， 抛物线的焦点分别为（4，0），（0，-2）， 抛物线的标准方程为： =16x 或 =-8y。 5、抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 =1 的一个焦点，并且这条准线与双曲 线的两个焦点连线垂直，又抛物线与双曲线交于点（ ， ），求抛物线和双曲线的方程。 【解析】 【知识点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法；③抛物线的定义与性 质；④求抛物线标准方程的基本方法。 【解题思路】由题意设抛物线的标准方程为： =2px（p>0），由抛物线的性质和求抛物线 标准方程的基本方法，结合已知求出抛物线的标准方程，从而得到双曲线交点的坐标，结合  2y ∴ Mx 3 4 p ⇒ Mx 3 4 p My 260 9 2 p p− ∴ 2 260 9( )4 p py −− 25( )2x − 25 4  ∴ 25(0 )2 − 2 260 9(2 )4 p p−− 25 4 ⇒ 4 3 16 3 ∴ 2y 2y ⇒ ∴ 2y 2x 2y 2x  ∴ ⇒ 2 3 9 4 ∴ 2y 4 3 2x 9 2  ∴ ⇒ ∴ 2y 2x 2 2 2 2 x y a b − 3 2 6 2y已知得到关于 ， 的方程组，求解方程组得到 ， 的值就可求出双曲线的标准方程。 【详细解答】由题意设抛物线的标准方程为： =2px（p>0）， 抛物线与双曲线交于点 （ ， ）， 6=3p， p=2， 抛物线的标准方程为： =4x； 抛物线的顶点在原点， 它的准线过双曲线 =1 的一个焦点， c=1①， 抛物线与双曲线交于点（ ， ）， - =1②，联立①②解得： = ， = ， 双曲线的标准方程为： - =1。 5、已知定点 A（0，t）(t≠0)，点 M 在抛物线 =x 上，A 关于 M 的对称点 N。 （1）求点 N 的轨迹方程； （2）设（1）所求轨迹与抛物线 =x 交于 B、C 两点，当 AB⊥AC 时，求 t 的值. 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求轨迹方程的基本方法；③对称点的定义与性质；④ 两直线垂直的充分必要条件；⑤设而不求，整体代入数学思想的运用。 【解题思路】（1）设点 N（x，y），根据对称点的性质求出点 M 关于 x，y 的坐标，利用点 M 在抛物线 =x 上就可求出点 N 的轨迹方程；（2）设 B（ ， ），C（ ， ），运用 设而不求，整体代入数学思想得到关于参数 t 的方程，求解方程就可求出 t 的值。 【详细解答】（1）设点 N（x，y）， A 关于 M 的对称点 N， = = ， = ， 点 M（ ， ）， 点 M 在抛物线 =x 上， 点 N 的轨迹方程为： =2x（x>0）；（2）设 B（ ， ），C（ ， ），由 =x，得： -2ty- =0， + =2x，=2t， . =- ， . = = = ， =( ， -t）， =（ ， -t），AB⊥AC， . = . +（ -t））（ -t）= . + . -t（ + ）+ = - -2 + = -2 =0， t=0 或 t= ， t≠0， t= 。 6、如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标 y P 2a 2b 2a 2b 2y  3 2 6 ∴ ⇒ ∴ 2y  2 2 2 2 x y a b − ∴  3 2 6 ∴ 2 9 4a 2 6 b 2a 1 4 2b 3 4 ∴ 2 1 4 x 2 3 4 y 2y 2y 2y 1x 1y 2x 2y  ∴ Mx 0 2 x+ 2 x My 2 t y+ ⇒ 2 x 2 t y+  2y ∴ 2( )t y+ 1x 1y 2x 2y 2y 2y 2t  1y 2y 2( )t y+ 1y 2y 2t ∴ 1x 2x 2 1 2( . )y y 2 2( )t− 4t  AB 1x 1y AC 2x 2y ∴ AB AC 1x 2x 1y 2y 1x 2x 1y 2y 1y 2y 2t 4t 2t 2t 2t 4t 2t ⇒ ± 2  ∴ ± 2原点，点 P(1,2)，A（ ），B（ ）均在抛物 线上。 0 x （1）求抛物线的方程及其准线方程； A （2）当 PA 与 PB 的斜率存在，且倾斜角互补时， 求 + 的值及直线 AB 的斜率； B 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法；③直线倾斜角的定义 与性质；④已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法。 【解题思路】（1）由题意设抛物线的标准方程为： =2px（p>0），根据点 P（1，2）在抛 物线上，得到关于 p 的方程，求解方程求出 p 的值就可得到抛物线的标准方程；（2）由点 A （ ， ），B（ ， ）在抛物线上，得到关于 ， ， ， 的式子，运用已知直 线倾斜角，求直线斜率的基本方法，结合已知得到又一个关于 ， ， ， 的式子，联 立两个式子就可求出 + 的值及直线 AB 的斜率。 【详细解答】（1）由题意设抛物线的标准方程为： =2px（p>0）， 点 P（1，2）在抛物 线 上 ， 4=2p ， p=2 ， 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 ： =4x ； = = = ， = = = ，直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补， + = + = =0， =0， + =-4， 点 A （ ），B（ ）在抛物线 =4x 上， =4 ， =4 ， （ + ）（ - ） =4（ - ）， = = =-1。 『思考问题 1』 （1）【典例 1】是求抛物线标准方程的问题，解答这类问题应该注意抛物线的标准方程有四 种不同的形式及各种形式标准方程的特征； （2）求抛物线方程的常用方法有：①待定系数法；②定义法（即求点的轨迹方程法）； （3）抛物线的焦点位置确定后，设抛物线的标准方程时还需要考虑其开口方向；如果开口 方向不确定，则标准方程可设为: =2ax(a 0)(焦点在 X 轴上)，或 =2ay(a 0)(焦点在 Y 1 1,x y 2 2,x y 1y 2y 2y 1x 1y 2x 2y 1x 1y 2x 2y 1x 1y 2x 2y 1y 2y 2y  ∴ ⇒ ∴ 2y  PAk 1 1 2 1 y x − − 1 1 1 4( 2) ( 2)( 2) y y y − + − 1 4 2y + PBk 2 2 2 1 y x − − 2 2 2 4( 2) ( 2)( 2) y y y − + − 2 4 2y + ∴ PAk PBk 1 4 2y + 2 4 2y + 2 1 1 2 4( 4) ( 2)( 2) y y y y + + + + ⇒ 2 1 4y y+ + ∴ 1y 2y  1 1,x y 2 2,x y 2y ∴ 2 1y 1x 2 2y 2x ⇒ 1y 2y 1y 2y 1x 2x ∴ ABk 1 2 1 2 y y x x − − 1 2 4 y y+ 2y ≠ 2x ≠轴上)； （4）求抛物线标准方程的基本方法是：①确定抛物线焦点的位置和开口方向；②设抛物线 的标准方程；③根据条件求出参数 p 的值；④得到抛物线的标准方程。 〔练习 1〕解答下列问题： 1、已知抛物线的准线方程为 x=-7，则抛物线的标准方程为（ ） A =-28y B =28x C =-28x D =28y 2、以双曲线 - =1 的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是 ； 3、求满足下列条件抛物线的标准方程： （1） 过点（3，-2）； （2） 焦点在直线 2x+y-6=0 上； 4、已知抛物线 S 的顶点在原点，焦点在 X 轴上， ABC 的重心为抛物线的焦点，若 BC 所 在直线的方程为 l：4x+y-20=0，求抛物线的方程。 【典例 2】按要求解答下列各题： 1、设圆 C 与圆 + =1 外切，与直线 y=0 相切，则 C 的圆心轨迹为（ ） A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点轨迹方程的基本方法。 【解题思路】设 C（x，y），根据圆与圆，圆与直线相切的性质，得到关于 x，y 的式子，利 用抛物线的定义判断 C 的圆心轨迹就可得出选项。 【详细解答】设 C（x，y），圆 C 的半径为 R， 圆 + =1 的圆心为 M（0，3）， 半径为 1，|CM|= = ， =|y|=R，圆 C 与圆 + =1 外切，与直线 y=0 相切， |CM|=1+=|y|， = ， C 的圆心轨迹 方程为： =8（y-1）或 =4（y-2）均为抛物线， A 正确， 选 A。 2、已知抛物线关于 X 轴对称，它的顶点坐标在原点，并且经过点 M（2， ），若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|=（ ） A 2 B 2 C 4 D 2 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法。 【解题思路】运用求抛物线标准方程的基本方法得到含 的抛物线标准方程，根据抛物线 的性质得到关于 的方程，求解方程得出 的值求出|OM|的值就可得出选项。 【详细解答】如图，过点 M 作 MN 垂直抛物线 N y M 准线于点 N，由题意设抛物线的标准方程为： 2x 2y 2y 2x 2 16 x 2 9 y ∆ 2x ( )23y −  2x ( )23y − 2 2( 0) ( 3)x y− + − 2 2( 3)x y+ − Cd 2x ( )23y − ∴ ⇒ 2 2( 3)x y+ − 2(1 | |)y+ ∴ 2x 2x ⇒ ∴ 0y 2 3 5 0y 0y 0y=2px（p>0）， 点 M（2， ）在抛物线上， 0 F x =4p， p= ， 抛物线的标准方程为： = x， |MF|=3， 2+ =3， = 2 ， |OM|= = 2 ， B 正确， 选 B。 3、F 是抛物线 =2x 的焦点，A、B 是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=6，则线段 AB 的中点到 Y 轴的距离为 ； 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②梯形的定义与性质。 【解题思路】如图，运用抛物线的性质，结合已知条件求出|MN|的值，从而求出线段 AB 中 点 M 到 Y 的距离。 C y A 【详细解答】如图，设线段 AB 的中点为 M，分别 过点 A，B，M 作 AC 垂直抛物线准线于点 C，BD N M 垂直抛物线准线于点 D，MN 垂直抛物线准线于点 N， 0 F x F 是抛物线 =2x 的焦点，A、B 是抛物线上的两 D B 点，|AF|+|BF|=6， |AC|+|BD|=6， M 是线段 AB 的中点， |MN|= =3， 点 M 到 Y 轴的距离为：3- = ， 线段 AB 中点到 Y 轴的距离是 。 4、求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线相切； 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②梯形的定义与性质。 【解题思路】如图，设抛物线的标准方程为： =2px（p>0），线段 AB 为抛物线的焦点弦， 运用抛物线的性质得到|MN|= = = ，从而结论得证。 【详细解答】证明：如图，设线段 AB 的中点为 M， C y A 分别过点 A，B，M 作 AC 垂直抛物线准线于点 C，BD 垂直抛物线准线于点 D，MN 垂直抛物线准线于点 N， N M F 是抛物线 =2px 的焦点，A、B 是抛物线上的两 0 F x 点， |AF|+|BF|= |AC|+|BD|， M 是线段 AB 的中点， D B |MN|= = = ， 以|AB|为直径的圆与直线 CD 相切， 以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线相切。 y B 5、如图直线 和 相交于点 M， ⊥ ，点 N∈ ， A 以定点 A、B 为端点的曲线段 C 上任一点到 的距离与 M 0 N x 2y  0y ∴ 2 0y ⇒ 2 0 4 y ∴ 2y 2 0 2 y  ∴ 2 0 8 y ⇒ 0y ± 2 ∴ 4 8+ 3 ⇒ ∴ 2y  2y ∴  ∴ | | | | 2 AC BD+ ⇒ 1 2 5 2 ∴ 5 2 2y | | | | 2 AC BD+ | | | | 2 AF BF+ | | 2 AB  2y ∴  ∴ | | | | 2 AC BD+ | | | | 2 AF BF+ | | 2 AB ⇒ ∴ 1l 2l 1l 2l 1l 2l 2l 1l它到定点 N 的距离相等，若 为锐角三角形，| AM|= ，|AN|=3，|BN|=6，求曲线 段 C 的方程。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②建立直角坐标系的基本方法；③求点轨迹方程的基本 方法。 【解题思路】如图，作线段 MN 的垂直平分线 l，以直线 l 与线段 MN 的交点 O 为原点，直 线 为 X 轴，直线 l 为 Y 轴建立直角坐标系 xoy，设 P(x，y)为曲线段 C 上任意一点，由题 意曲线段 C 是抛物线 =2px（p>0）的一部分，结合已知条件求出点 M，N，A，B 的坐标 就可求出曲线段 C 的方程。 【详细解答】如图，作线段 MN 的垂直平分线 l，以直线 l 与线段 MN 的交点 O 为原点，直 线 为 X 轴，直线 l 为 Y 轴建立直角坐标系 xoy，设 P(x，y)为曲线段 C 上任意一点，曲线 段 C 的方程为： =2px（p>0）， M（- ，0），N（ ，0），A（ ， ），B（ ， ）， | AM|= ， |AN|=3 ， |BN|=6 ， + =17 ， + =9 ， + =36， =2 ，p=2 或 p=4， =2 或 =4 ，当 p=2 时，在 AMN 中， | AM|= ，|AN|=3，|MN|=2， cos ANM= =- 0）。 『思考问题 2』 （1）【典例 2】是与抛物线的定义相关的问题，解答这类问题需要理解抛物线的定义，并注 意定义中的定点不能在定直线上这一隐含条件； （2）抛物线的定义中到定点与到定直线的距离相等表明抛物线的离心率 e=1，在解决抛物 线定义的运用问题时往往把到定点的距离转化为到定直线的距离。 〔练习 2〕解答下列问题： 1、给定抛物线 =2x，设 A（a,0）（a＞0），P 是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求 d 的最 小值； 2、已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在 Y 轴上，抛物线上的点 M（m，-2）到焦点的距离 为 4，求 m 的值； 3、由点（-2,0）向抛物线 =4x 引弦 AB，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程； AMN∆ 17 1l 2y 1l 2y  2 p 2 p 2 1 2 y p 1y 2 2 2 y p 2y 17 ∴ 2 21( )2 2 y p p + 2 1y 2 21( )2 2 y p p − 2 1y 2 22( )2 2 y p p − 2 2y ⇒ 1y 2 2y 5 2y 2 ∆  17 ∴ ∠ 9 4 17 2 3 2 + − × × 1 3 ⇒ ∠ AMN∆ ∴ 1y 2 2y 2 ⇒ 2 2 ∴ 2y ≤ ≤ 2y 2y 4、过抛物线 =2px (p＞0)的焦点 F 的弦 AB， y A 点 A、B 在抛物线准线上的射影分别为 、 。 求 。 0 F x 【典例 3】解答下列问题： B 1、抛物线 y=a 的准线方程为 y=2，则 a 的值为（ ） A B - C 8 D -8 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②抛物线准线方程的定义与求法。 【解题思路】运用抛物线的性质，求抛物线准线方程的基本方法，结合已知条件得到关于参 数 a 的方程，求解方程求出 a 的值就可得到选项。 【详细解答】 抛物线 y=a ， = ， 抛物线的准线方程为：y=- =2， a = - ， B 正确， 选 B。 2、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点，已知 AB=4 ， DE=2 ，则 C 的焦点到准线的距离为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质。 【解题思路】如图，设抛物线 C 的方程为： =2px（p>0），圆 O 的方程为： + = ， 点 A（ ，2 ），D（- ， ），运用抛物线的性质，圆的性质，结合已知条件得到关 于 ，p，r 的方程组，求解方程组求出 p 的值就可得到选项。 y 【详细解答】如图，设抛物线 C 的方程为： =2px D A （p>0），圆的方程为： + = ，点 A（ ，2 ）， x D（- ， ）， 点 A 既在抛物线 C，又在圆 O 上， 点 D 在圆 O 上， 8=2p ①， +8= ②， +5= ③，联立①②③解得 p=4， 抛物 线 C 焦点到准线的距离为 4， B 正确， 选 B。 2y 1A 1A 1B 1 1A FB∠ 1B 2x 1 8 1 8  2x ⇔ 2x y a ∴ 1 4a ⇒ 1 8 ⇒ ∴ 2 5 2y 2x 2y 2r 1x 2 2 p 5 1x 2y 2x 2y 2r 1x 2 2 p 5  ∴ 1x 2 1x 2r 2 4 p 2r ∴ ⇒ ∴ O F3、已知抛物线 =2px (p＞0)的焦点为 F， A( ， )，B（ ， ）是过 F 的直线与抛物 线的两个交点，求证： （1） =- ， = ； （2） + 为定值； （3）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想。 【解题思路】（1）如图，设 A( ， )，B（ ， ），过抛物线 C 焦点 F 的直线方程为： x=my+ ，联立抛物线和直线方程得到关于 y 的一元二次方程，运用设而不求，整体代入 数学思想就可证明结论；（2）如图，分别过点 A，B 作 AD 垂直抛物线 C 准线于点 D，BE 垂 直抛物线 C 准线于点 E，根据抛物线的性质，结合已知条件得到|FA|+ |FB|，|FA|.|FB|关于 p， m 的式子，从而证明 + 为定值；（3）如图，设线段 AB 的中点为 M，过点 M 作 MN 垂直抛物线准线于点 N，运用抛物线的性质得到|MN|= = = ，从而结论得证。。 y 【详细解答】（1）证明：如图，设 A( ， )，B（ ， D A ），过抛物线 C 焦点 F 的直线方程为：x=my+ ，由 0 F x x=my+ ，得： -2pmy- =0， + =2pm， E B =2px， . =- ， . = . + （ + ）+ =- + + = ， =- ， = ；（2）如图，分别过点 A，B 作 AD 垂直抛物线 C 准线于点 D，BE 垂直抛物线 C 准线于点 E， |FA|= + ， |FB|= + ， |FA|+ |FB|= + ， + + = + +p=m（ + ）+2p=2p（1+ ），|FA|. |FB=（ + ）（ + ） = . 2y 1x 1y 2x 2y 1y 2y 2p 1x 2x 2 4 p 1 | |FA 1 | |FB 1x 1y 2x 2y 2 p 1 | |FA 1 | |FB | | | | 2 AC BD+ | | | | 2 AF BF+ | | 2 AB 1x 1y 2x 2y 2 p 2 p 2y 2p  1y 2y 2y 1y 2y 2p ∴ 1x 2x 2m 1y 2y 2 pm 1y 2y 2 4 p 2m 2p 2m 2p 2 4 p 2 4 p ∴ 1y 2y 2p 1x 2x 2 4 p  1x 2 p 2x 2 p ∴ 1x 2 p 2x 2 p 1x 2x 1y 2y 2m 1x 2 p 2x 2 p 1x 2x+ （ + ）+ = + （2 p+p）+ = （1+ ）， + = = = 为定值；（3）如图，设线段 AB 的中点为 M，过点 M 作 MN 垂直抛物线 C 准线于点 N， |MN|= = = ， 以|AB|为直 径的圆与直线 DE 相切， 以|AB|为直径的圆与抛物线 C 的准线相切。 『思考问题 3』 （1）【典例 3】是与抛物线的几何性质相关的问题，解答这类问题首先需要理解抛物线的几 何性质，再分辨清楚问题与抛物线的哪一几何性质相关； （2）设 AB 是过抛物线 =2px (p＞0)焦点 F 的弦，A( ， )，B（ ， ），则： = ； =- ；弦长|AB|= + +p= （ 为弦 AB 的倾斜角）； + = ； 以弦 AB 为直径的圆与抛物线准线相切；过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦，叫做抛物线的 通径，且它等于 2p； （3）设抛物线方程为 =2px (p＞0)焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于，A( ， )，B （ ， ），分别过 A、B 两点作抛物线的切线 ， ，两切线相交于 M，则： ； 点 M 的坐标为 M（ ， ）。 〔练习 3〕解答下列问题： 1、抛物线 y=2 的焦点坐标是（ ） A （0， ） B （ ，0） C （0， ） D （ ，0） 2、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在 Y 轴上；②焦点在 X 轴上；③抛物 线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通经长为 5；⑤由原点向过焦点的某 条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）。其中适合抛物线 =10x 的体积是（要求填写适合条件 的序号） ； 3、若抛物线 =4x 上一点 P 到其焦点的距离为 3，延长 PF 交抛物线于点 Q，若 O 为坐标 原点，则 = 。 【典例 4】解答下列问题： 2 p 1x 2x 2 4 p 2 4 p 2 p 2m 2 4 p 2p 2m ∴ 1 | |FA 1 | |FB . FA FB FA FB + 2 2 2 2 1 1 p m p m + + （ ） （ ） 2 p  | | | | 2 AC BD+ | | | | 2 AF BF+ | | 2 AB ∴ ∴ 2y 1x 1y 2x 2y 1x 2x 2 4 p 1y 2y 2p 1x 2x 2 2 sin p α α 1 | |FA 1 | |FB 2 p 2x 1x 1y 2x 2y 1l 2l 1l ⊥ 2l 1 2 2 x x+ 2 p 2x 1 2 1 2 1 8 1 8 2y 2y OPQS∆1、已知抛物线 =2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，若点 A（3，2）则|PA|+|PF|取 最小值时，点 P 的坐标为 ； 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②线段公理及运用。 【解题思路】如图，过点 P 作 PQ 垂直抛物线准线于点 Q，运用抛物线的性质得到|PA|+|PF|= |PA|+|PQ|，利用线段公理就可得出当 Q，P，A 三点共线时|PA|+|PF|取最小值，从而求出点 P 的坐标。 y 【详细解答】如图，过点 P 作 PQ 垂直抛物线准线 Q P 于点 Q， 抛物线 =2x 的焦点是 F，点 P 是抛物 A 线上的动点， |PA|+|PF|=|PA|+|PQ|， 当 Q，P，A 0 F x 三点共线时|PA|+|PF|取最小值，此时点 P 的坐标为： P（2，2）， |PA|+|PF|取最小值时，点 P 的坐标为（2，2）。 2、过抛物线 =2px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A、B 两点，设 AOB 的面 积为 S（O 为坐标原点）。 （1）用 ，p 表示 S； （2）求 S 的最小值；若最小值为 4 时，求此时的抛物线方程。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②直线倾斜角的定义与性质；③设而不求，整体代入数 学思想及运用；④三角形面积公式及运用；⑤求三角函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）如图，设 A( ， )，B（ ， ），运用直线倾斜角的性质，结合已知 条件得到直线的方程，由直线方程，抛物线方程联立得到关于 x 的一元二次方程，根据设而 不求，整体代入数学思想将|AB|， 表示为关于 ，p 的式子，利用三角形面积公式就可 把 S 表示成关于 ，p 的式子；（2）运用求三角函数最值的基本方法求出 S 的最小值，根 据最小值为 4 得到关于 p 的方程，求解方程求出 p 的值就可得到抛物线的标准方程。 【详细解答】（1）如图，设 A( ， )，B（ ， ）， y A ①当 时， 直线的倾斜角为 ，且过点 F（ ， 0）， 直线的方程为：y=tan (x- )，由 =2px，得： 0 F x y=tan (x- )， B tan -p（tan +2）x +tan ， + = ， . = = ， |AB|= . =2|p| . =2|p| 2y  2y ∴ ⇒ ∴ 2y θ ∆ θ 1x 1y 2x 2y Od θ θ 1x 1y 2x 2y θ ≠ .90  θ 2 p ∴ θ 2 p 2y θ 2 p 2 θ 2x 2 θ 2 θ 2 4 p  1x 2x 2 2 (tan 2) tan p θ θ + 1x 2x 2 2 2 tan . 4 tan pθ θ 2 4 p ∴ 21 tan θ+ 2 2 2 2 (tan 2)( ) 4tan 4 p pθ θ + − × 21 tan θ+ 2 2 1 tan tan θ θ += ， = = = ， S= . . = ；②当 = 时， 直线过点 F（ ，0）， 直线方程为：x= ，由 x= ，得：A（ ，p），B （ ，-p）， |AB|=2p， = ， S= .2p. = ， =2px， 综上所述 S= ， = ，（2） < < ， S= ， ， ，当且仅当 = ， S= 有最小值 ， =4， p= 2 ，抛物线的方程为： =4 x 或 =-4 x。 3、已知抛物线 =2px（p＞0），过动点 M（a，0）且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不 同的两点 A、B。 （1）若|AB|≤2p，求 a 的取值范围； （2）若线段 AB 的垂直平分线交 X 轴于点 N，求 NAB 面积的最大值。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②直线斜率的定义与性质；③设而不求，整体代入数学 思想及运用；④三角形面积公式及运用；⑤求函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）如图，设 A( ， )，B（ ， ），运用直线斜率的性质，结合已知条 件得到直线的方程，由直线方程，抛物线方程联立得到关于 x 的一元二次方程，根据设而不 求，整体代入数学思想将|AB|，表示为关于 a，p 的式子，从而得到关于参数 a 的不等式， 求解不等式就可得出 a 的取值范围；（2）运用垂直平分线的性质求出线段 AB 垂直平分线的 方程，从而求出点 N 的坐标，根据三角形面积公式得到关于参数 a，p 的函数，利用求函数 最值的基本方法就可求出 NAB 面积的最大值。 【详细解答】（1）如图，设 A( ， )，B（ ， y A ）， 直线 l 过点 M（a，0）且斜率为 1， 直线 L 的方程为：y=x-a，由 y=x-a，得： -2（a+p）x+ 0 F N =2px， =0， + B 2 2 1 tan tan θ θ + 2 2 | | sin p θ  Od 2 | 0 0 tan |2 1 tan p θ θ − − + 2 | tan | 2 1 tan p θ θ+ | sin | 2 p θ ∴ 1 2 2 2 | | sin p θ | sin | 2 p θ 2 2sin p θ θ .90  2 p ∴ 2 p 2 p 2 p 2 p  Od 2 p ∴ 1 2 2 p 2 2 p 2y ∴ 2 2 p θ .90  .0 θ .180 ∴ 2 2sin p θ ≥ 2 2 p ⇒ 2 2sin p θ θ ≠ .90 θ .90 2 2sin p θ 2 2 p  2 2 p ∴ ± 2 2y 2 2y 2 2y ∆ 1x 1y 2x 2y ∆ 1x 1y 2x 2y  ∴ 2x 2y 2a  1x 2x=2（a+p）， . = ， |AB|= =2 ≤2p， a≤- ， 实数 a 的取值范围是（- ，- ]；（2）设线段 AB 中点 D（ ， ）， + = + -2a=2（a+p）-2a=2p， = =a+p， = =p， D（a+p，p）， 线段 AB 垂直平分线的方程为：y-p=-(x-a-p)， x+y-a-2p，令 y=0，得 x=a+2p， 点 N（a+2p，0）， = = p， = .2 . p=2p ，当且 仅当 2p= ，即 a= 时， 取得最大值为 4 ， NAB 面积的最大值是 4 。 4、设点 F 是抛物线 =ax 的焦点，直线 AB 过点 F 交抛物线于 A、B 两点，M（a，b）满 足条件 =2 。 （1）证明以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； （2）若 P 是抛物线上任意一点，且|PF|+|PM|的最小值是 5，求 a、b 的值。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及 运用；④求函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）设线段 AB 的中点为 D，过点 D 作 DE 垂直抛物线准线于点 E，根据 AB 为抛物线的焦点弦，由抛物线的性质得到|DE|= = = ，从而 结论得证；（2）由条件 =2 可知点 M 在抛物线内，根据|PF|+|PM|的最小值是 5，得到 关于 a，b 的方程组，求解方程组就可求出 a，b 的值。 C Y A 【详细解答】（1）如图，设线段 AB 的中点为 D，过 Q P 点 D 作 DE 垂直抛物线准线于点 E，过点 A 作 AC 垂 E D M 值抛物线准线于点 C，过点 B 作 BG 垂直抛物线准线 0 F x 于点 G， 点 F 是抛物线 =ax 的焦点，直线 AB 过 G B 点 F 交抛物线于 A，B 两点， |DE|= = = ， 以|AB|为 直径的圆与直线 CG 相切， 以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切；（2）过点 P 作 PQ 垂直抛物线准线于点 Q， M（a，b）满足条件 =2 ， 点 M 在抛物线开口值内， 当且仅当点 Q，P，M 三点共线时，据|PF|+|PM|=|MQ|=a+ 为最小值， a+ =5， =2 ， 1x 2x 2a ∴ 2 2 24( ) 4a p a+ − × 2 22ap p+ ⇒ 4 p ∴ ∞ 4 p 0x 0y  1y 2y 1x 2x ∴ 0x 1 2 2 x x+ 0y 1 2 2 y y+ ⇒ ∴ ⇒ ∴  Nd | 2 0 | 1 1 a p a+ − − + 2 ∴ NABS∆ 1 2 2 22ap p+ 2 22ap p+ 22ap p+ 3 2 p NABS∆ 2p ∴ ∆ 2p 2y 2a 2b | | | | 2 AC BD+ | | | | 2 AF BF+ | | 2 AB 2a 2b  2y ∴ | | | | 2 AC BD+ | | | | 2 AF BF+ | | 2 AB ∴ ∴  2a 2b ∴ ⇒ 4 a  4 a 2a 2ba=4，b= 2 。 『思考问题 4』 （1）【典例 4】是与抛物线相关的最值问题，解答这类问题应该分辨清楚问题属于最值问题 中的哪一类，再采用恰当的方法给予解答； （2）与抛物线相关的最值问题常见的类型有：①求抛物线上一点到定直线的最小距离； ②求抛物线上一点到定点的最值； （3）解答与抛物线相关的最值问题常用的方法是根据条件建立目标函数，转化为求函数的 最值问题，再运用函数求最值的方法进行解答：①求抛物线上一点到定直线的最小距离，可 运用点到直线的距离公式把所求距离表示出来转化为求函数的最值问题，也可以转化为抛物 线过某点的切线与定直线平行，再求两平行直线间的距离；②求抛物线上一点到定点的最值， 可以运用两点间的距离公式把所求距离表示出来转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线 上点的设法及变量的取值范围； （4）抛物线上点的设法：①若抛物线的方程为 =2px（p＞0），抛物线上的点可设为 P （ ， ）；②若抛物线的方程为 =-2py(p>0），抛物线上的点可设为 P（ ， ）； （5）解答与抛物线相关的最值问题时，应该注意抛物线几何性质的运用，尤其是范围的应 用，例如对于抛物线 =2px（p＞0），则有 x 0， 0.。 〔练习 4〕解答下列问题： 1、已知点 A（4，-2），F 为抛物线 =8x 的焦点，点 M 在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最 小值时，求点 M 的坐标； 2、已知抛物线 y= ，直线 2x-y-4=0，求抛物线上的点到直线的最短距离； 3、已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F（0，c）（c>0），到直线 l：x-y-2=0 的距离为 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点。 （1）求抛物线 C 的方程； （2）当点 P（ ， ）为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； （3）当点 P 在直线 l 上运动时，求|AF|.|BF|的最小值。 y A 【典例 5】解答下列问题： 1、如图正方形 ABCD 在直角坐标系中，已知一条边 D AB 在直线 y=x+4 上，C、D 两点在抛物线 =x 上，求 B O X 正方形 ABCD 的面积； C 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②正方形的定义与性质；③正方形面积公式及运用。 【解题思路】如图，设 C（ ， ），D（ ， ），根据 ABCD 是正方形得到关于 ， ∴ ± 2 2y 2 0 2 y p 0y 2x 0x 2 0 2 x p 2y ≥ 2y ≥ 2y 2x 3 2 2 0x 0y 2y 2 1y 1y 2 2y 2y 1y的方程组，求解方程组求出 ， 的值，从而求出\CD|就可得到正方形 ABCD 的面积。 【详细解答】如图，设点 C（ ， ），D（ ， ），且 < ， ABCD 是正方形， = =1①， = ②，联立①②解得： =-1， =2 或 =-2， =3， |CD|=| - | =3 或|CD|=| - | =5 ， 正方形 ABCD 的面积为 18 或 50。 2、在直角坐标系 XOY 中，直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A、B 两 点，其中点 A 在 X 轴上方，若直线 l 的倾斜角为 ，则 OAF 的面积为 ； 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②直线倾斜角的定义与性质；③三角形面积公式及运用。 【解题思路】如图，设 A( ， )，B（ ， ），根据直线倾斜角的性质，直线 l 过物线 =4x 的焦点 F 得到直线 l 的方程，联立直线 l 方程与抛物线 C 方程得到关于 x 的一元二次方 程，求解方程得出 x，y 的值，从而得到点 A，的坐标，运用三角形的面积公式通过运算就 可得出 OAF 的面积。 【详细解答】如图， 直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F，倾斜角为 ，F（1，0） 直线 l 的方程为：y = (x-1)①， 抛物线 C： =4x，=0②， 联立①②得：3 -10x+3=0， x=3 或 x= ，y=2 或 y=- ， 点 A y A 在 X 轴上方， A（3，2 ），B（ ， ）， 0 B F x = 1 2 = 。 3、已知抛物线 C 的方程是： =4x，F 是抛物线的焦点。 y P （1）求圆心在抛物线 C 上，且与 x 轴及抛物线的准线都相切 R 的圆的标准方程； （2）如图所示，过点 A（2，0）的直线 l 与抛物线 C 交于 0 F A x P，Q 两点，F 是抛物线的焦点，且 ，求点 R Q 的轨迹方程。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求圆标准方程的基本方法；④设 2y 1y 2y 2 1y 1y 2 2y 2y 1y 2y  ∴ 1 2 2 2 1 2 y y y y − − 1 2 1 y y+ 2 1 1| 4 | 1 1 y y− + + 2 2 2| 4 | 1 1 y y− + + 1y 2y 1y 2y ⇒ 1y 2y 2 1 21 ( )y y+ + 2 1y 2y 2 1 21 ( )y y+ + 2 ∴ 2y 60。 ∆ 1x 1y 2x 2y 2y ∆  2y 60。 ∴ 3  2y ∴ 2x ⇒ 1 3 3 2 3 3  ∴ 3 1 3 2 3 3 OAFS∆ 1 2 × × 3 3 2y FQ FP FR+ =  而不求，整体代入数学思想及运用；⑤求点轨迹方程的基本方法。 【解题思路】（1）设圆的标准方程为： + = ，根据圆心在抛物线 C 上， 且与 x 轴及抛物线的准线都相切得到关于 a，b，R 的方程组，求解方程组求出 a，b，R 的 值就可得到圆的标准方程；（2）如图，设 A( ， )，B（ ， ），R（x，y），运用设 而不求，整体代入数学思想得到 + ， + 关于参数 m 的式子，根据向量的坐标运算 得到 x，y 关于参数 m 的式子，利用参数方程化普通方程的基本方法就可得到点 R 的轨迹方 程。 【详细解答】（1）设圆的标准方程为： + = ， 圆心在抛物线 C 上， 且与 x 轴及抛物线的准线都相切， =4a①，R=|b|②，a+1=R③，联立①②③解得：a=1， R=1+1=2，b= 2， 圆的标准方程为： + =4，或 + =4；（2）） 如图，设 P( ， )，Q（ ， ），R（x，y）， 直线 l 过点 A（2，0）， 直线 l 的方程 为：x=my+2，由 x=my+2，得： -4my-8=0， + =4m， . =-8， + =m( =4x，+ )+4=4 +4=4(1+ )， F（1，0）， =( -1， )， =（ -1， ）， =（x-1，y）， ， + =（ + -2， + ） =（4 +2，4m）=（x-1，y）， x-1=4 +2，y=4m， x=4 +3，y=4m，点 R 的轨迹 方程为： =4（x-3）（x 3）。 4、已知动圆过定点 P（1，0），且与定直线 l：x=-1 相切，点 C 在 l 上。 （1）求动圆圆心 M 的轨迹方程； （2）设过点 P，且斜率为- 的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点。 ①问 能否为正三角形？若能，求出点 C 的坐标；若不能说明理由； ②当 为钝角三角形时，求这时点 C 的纵坐标的取值范围。 【解析】 【知识点】①圆的定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③抛物线的定义与性质；④设 而不求，整体代入数学思想及运用；⑤向量数量积的定义与性质。 【解题思路】（1）设 M（ ， ），动圆的标准方程为： + = ，根据 动圆过定点 P（1，0），且与定直线 l：x=-1 相切，得到 ， 关于 R 的式子，消去参数 R 就可得到动圆圆心 M 的轨迹方程；（2）①如图，设 C（-1，y）， 能为正三角形，根 据直线过点 P，且斜率为- 得到直线方程，联立直线方程与曲线 M 方程得到关于 x 的一 2)x a−（ 2)b−（y 2R 1x 1y 2x 2y 1x 2x 1y 2y 2)x a−（ 2)b−（y 2R  ∴ 2b ± ∴ 2)（x- 1 22)−（y 2)（x- 1 22)（y+ 1x 1y 2x 2y  ∴ 2y  1y 2y 1y 2y ∴ 1x 2x 1y 2y 2y 2m 2m  FP 1x 1y FQ 2x 2y FR FQ FP FR+ =   ∴ FP FQ 1x 2x 1y 2y 2m ⇒ 2m ∴ 2m 2y ≥ 3 ABC∆ ABC∆ 0x 0y 2 0 )x（x- 2 0 )y（y- 2R 0x 0y ABC∆ 3元二次方程，求解方程得到 A，B 的坐标，利用正三角形的性质就可得出结论并求出点 c 的 坐标；②设 C（-1，y），，根据向量数量积的性质得到关于 y 的不等式，求解不等式就可求 出点 C 的纵坐标的取值范围。 【详细解答】（1）设 M（ ， ），动圆的标准方程为： + = ， 动 圆过定点 P（1，0），且与定直线 l：x=-1 相切， + = ①， +1=R②，联立① ②得： =R-1， =4（R-1）， 动圆圆心 M 的轨迹方程为： =4x；（2）①如图，设 C （-1，y）， 能为正三角形， 直线过点 P， y A 且斜率为- ， 直线的方程为：y=- (x-1)， C 由 y=- (x-1)，得：3 -10x+3=0， x=3 或 0 B P x =4x，x= ，y=2 或 y=- ， A（3， 2 ），B（ ， ）， 为正三角形， |AB|= = =|AC|= =|BC|= ， 这样的 y 不存在， 不能为正三角形；②设 C（-1，y），若 ACB 为钝角， =(4，2 - y）， = （ ， ）， . = + - y+4= - y+ 0），点 M( ， )在抛物线 上，过 M 作 的切线，切点为 A、B（M 为坐标原点 O 时，A、B 重合于 O）当 =1- 时，切线 MA 的斜率为- 。 （1）求 p 的值； （2）当 M 在 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程（A、B 重合于 O 时，中点为 O）。 【典例 6】解答下列问题： 1、（1）已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 X 轴上，且抛物线 C 上横坐标为 4 的点 P 到焦点的距离为 5，则抛物线 C 的标准方程是（ ） A =8x B =4x C =2x D =x （2）抛物线 =4y 的焦点坐标是（ ） A （1，0） B （0，1） C （-1，0） D （0，-1） 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法。 【解题思路】（1）设抛物线 C 的标准方程为： =2px（p>0），根据抛物线 C 上横坐标为 4 的点 P 到焦点的距离为 5 得到关于 p 的方程，求解方程求出 p 的值得到抛物线 C 的标准方 程就可得出选项；（2）运用抛物线的性质求出抛物线 =4y 的焦点坐标就可得出选项。 【详细解答】（1）设抛物线 C 的标准方程为： =2px（p>0），如图过点 P 作 PQ 垂直抛物 线 C 准线于点 Q， 抛物线 C 上横坐标为 4 的 y 点 P 到焦点的距离为 5， 4+ =|PF|=5， Q P P=2， 抛物线 C 的标准方程为： =4x ， 0 F x B 正确， 选 B；（2） 抛物线 =4y， 2p=4， FQ FP FR+ =   PFQ∠ 2y 1l 2l ∆ ∆ 1C 2x 2C 2x 1x 1y 2C 2C 1x 2 1 2 2C 2y 2y 2y 2y 2x 2y 2x 2y  ∴ 2 p ⇒ ∴ 2y ⇒ ∴  2x ∴=1， 抛物线 =4y 的焦点坐标为（0，1）， B 正确， 选 B。 2、（1）已知抛物线 C： =2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，若位于 X 轴上方的动点 A 在准 线 l 上，线段 AF 与抛物线 C 相较于点 B，且 -|AF|=1，则抛物线 C 的标准方程为 （2）已知抛物线 C： =2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，过点 F 作倾斜角为 的直线与 准线相较于点 A，线段 AF 与抛物线 C 相较于点 B，且|AB|= ，则抛物线 C 的标准方程为 。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②直线方程的定义与求法；③求抛物线标准方程的基本 方法。 【解题思路】（1）设点 A（- ， ），B（ ， ），运用抛物线的性质，结合问题条件 得到 = = ，利用问题条件得到关于 p 的方程，求解方程得出 p 的值就可求 出抛物线 C 的标准方程；（2）设点 A（- ， ），B（ ， ），运用抛物线的性质， 结合问题条件得到 = = ，利用问题条件得到关于 p 的方程，求解方程得出 p 的值就可求出抛物线 C 的标准方程。 【详细解答】（1）如图，设点 A（- ， ），B（ ， A y ）， F( ，0)， = ， |AF| B = |BF|， -|AF|=1， |BF|= + 0 F x ， 2 （1- - ）= - ， （p-1）（ + ）=0， + >0， p-1=0， P=1， 抛物线 C 的标准方程为： =2x；（2）如图，设点 A（- ， ），B（ ， ⇒ 2 p ∴ 2x ⇒ ∴ 2y | | | | AF BF 2y .120 4 3 2 p 0y 2 1 2 y p 1y | | | | AF BF 0 1 y y 2 2 2 1 2p p y− 2 p 0y 2 1 2 y p 1y | | | | AF BF 0 1 y y 2 2 2 1 2p p y− 2 p 0y 2 1 2 y p 1y  2 p ∴ | | | | AF BF 2 2 2 1 2p p y− ⇒ 2 2 2 1 2p p y−  | | | | AF BF 2 1 2 y p 2 p ∴ 2p 2 1 2 y p 2 p 2p 2 1y ⇒ 2p 2 1y  2p 2 1y ∴ ⇒ ∴ 2y 2 p 0y 2 1 2 y p）， F( ，0)， = ， |AF| A y = |BF|， -|AF|=1， |BF|= + B ， 2 （1- - ）= - ， （p-1）（ 0 F x + ）=0， + >0， p-1=0， P=1， 抛物线 C 的标准方程为： =2x。 3、已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，-2），则此抛物线的标准方程为 。 【解析】 【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法。 【解题思路】设抛物线的标准方程为： =-2py（p>0），根据抛物线焦点坐标为（0，-2）， 得到关于 p 的方程，求解方程求出 p 的值就可得到抛物线的标准方程。 【详细解答】由题意设抛物线的标准方程为： =-2py（p>0）， 抛物线的焦点坐标为（0， -2）， - =-2， p=4， 抛物线的标准方程为： =-8y。 『思考问题 6』 （1）【典例 6】是近几年高考或高三诊断考试中的问题，纵观近几年高考或高三诊断试卷， 归结起来抛物线问题主要包括：①求抛物线的标准方程；②抛物线定义与几何性质的运用；③ 与抛物线相关的最值问题；④直线与抛物线位置关系问题等几种类型； （2）解答问题时，首先应该根据问题的特征分辨清楚问题的类型；再运用解答该类型问题 的基本思路和基本方法快捷，准确地解答问题。 〔练习 6〕解答下列问题： 1、若抛物线 =2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1 的一个焦点，则 p=（ ） A 2 B 3 C 4 D 8 2、（1）已知 F 为抛物线 C： =4y 的焦点，过 F 的直线 l 与抛物线 C 相较于不同的两点 A，B，抛物线 C 在 A，B 两点处的切线分别是 ， ，且 ， 相较于点 P，则|PF|+ 的最小值为 ； (2) 已知 F 为抛物线 C： =4y 的焦点，过 F 的直线 l 与抛物线 C 相较于不同的两点 A，B， 抛物线 C 在 A，B 两点处的切线分别是 ， ，且 ， 相较于点 P，设|AB|=m，则|PF|的 1y  2 p ∴ | | | | AF BF 2 2 2 1 2p p y− ⇒ 2 2 2 1 2p p y−  | | | | AF BF 2 1 2 y p 2 p ∴ 2p 2 1 2 y p 2 p 2p 2 1y ⇒ 2p 2 1y  2p 2 1y ∴ ⇒ ∴ 2y 2x 2x  ∴ 2 p ⇒ ∴ 2x 2y 2 3 x p 2y p 2x 1l 2l 1l 2l 32 | |AB 2x 1l 2l 1l 2l值是 （结果用 m 表示）。 3、（1）设 p>0，动圆 C 经过点 M（p，0），且被 Y 轴截得的弦长为 2p，记动圆圆心 C 的轨 迹为 E。 ①求轨迹 E 的方程； ②求证：在轨迹 E 上存在点 A，B，使得 OAB（O 为坐标原点）是以 A 为直角顶点的等 腰直角三角形。 （2）已知动点 M 到定点 （-1，0）， （1，0）的距离之和为 4，记动点 M 的轨迹为 C。 （1）求轨迹 C 的方程； （2）过点 且斜率为 k 的直线 l 与轨迹 C 相交于 A，B 两点，求 AB 面积的取值范围。 ∆ 1F 2F 1F ∆ 1F