高考数学学习方法:坐标系与参数方程高考大题问题的类型与解法
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高考数学学习方法:坐标系与参数方程高考大题问题的类型与解法

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时间:2020-08-29

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资料简介
坐标系与参数方程高考大题问题的类型与解法 坐标系与参数方程问题是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学 高考试卷,都必有一个坐标系与参数方程问题的 10 分大题。从题型上看是选做的两个大题 中的一题,难度为中,低档题型,一般的考生都会拿到 7 到 12 分。纵观近几年高考试卷, 归结起来坐标系与参数方程问题主要包括:①已知直线上一定点,直线与曲线相交于不同两 点,求定点到两个交点的距离的和(或积或差)的值;②已知直线与曲线相交于不同两点, 求满足某个条件的直线(或曲线)的方程(或求直线斜率的值或取值范围);③已知直线和 曲线的方程,曲线上一个动点,求与动点相关(或动点到定直线)的距离(或最值);④ 已知直线和曲线的方程,直线与曲线满足某个条件,求点的坐标等几种类型。各种类型问题 结构上具有一定的特征,解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答该问题时,到底应 该如何抓住问题的结构特征,快捷,准确地解答问题呢?下面通过典型例题的详细解析来回 答这个问题。 【典例 1】解答下列问题: 1、在平面直角坐标系 XOY 中,曲线 C 的参数方程为 x= ,(m 为参数),以坐标原 y=2m,点 O 为极点,X 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为: sin - cos +1=0(2020 成都市 高三二诊)。 (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程; (2)已知点 P(2,1),设直线 l 与曲线 C 相较于 M,N 两点,求 + 的值。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法;③ 直线参数方程的定义与性质;④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程,极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可 得到曲线 C 的普通方程,直线 l 的直角坐标方程;(2)根据直线普通方程化参数方程的基 本方法把直线 l 化为参数方程,联立曲线 C 的普通方程得到关于 t 的一元二次方程,利用根 2m ρ θ ρ θ 1 | |PM 1 | |PN与系数的关系定理求出, + , . 的值,从而求出 + 的值。 【详细解答】(1) 曲线 C 的参数方程为 x= ,(m 为参数), 曲线 C 的普通 y=2m,方程为: =4x, 直线 l 的极坐 标方程为: sin - cos +1=0, 直线 l 的直角坐标方程是:x-y-1=0; (2) 当 x=2 时,y=2-1=1, 点 P(2,1)在直线 l 上, 直线 l 的参数方程为: x=2+ t,y=1+ t(t 为参数),联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的普通方程得: -2 t-14=0,设 , 是方程 -2 t-14=0 的两个根, + =2 , . =-14, + = =| |= 。 2、在平面直角坐标系 XOY 中,直线 l 的参数方程为 x=- + t,(t 为参数),以坐标 y= + t,原点 O 为极点,X 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: +6 cos )=a,其中 a>0。 (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)在平面直角坐标系 XOY 中,设直线 l 与曲线 C 相较于 A,B 两点,若点 P(- , )恰为线段 AB 的三等分点,求 a 的值(2020 成都市高三三诊)。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法;③ 直线参数方程的定义与性质;④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程,极坐标方程化直角坐标方程的基本方法就可 1t 2t 1t 2t  ∴  ∴  ∴ ⇒ 1t 2t  1t 2t 1t 2t ∴ 1 | |PM 1 | |PN 2m 2y ρ θ ρ θ 2 2 2 2 2t 2 2t 2 2 1 | |PM 1 | |PN | | | | | |.| | PM PN PM PN + 2 2 14− 2 7 8 3 2 2 4 3 2 2 2ρ ρ θ 8 3 4 3得到曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;(2)根据直线普通方程化参数方程的基 本方法把直线 l 化为参数方程,联立曲线 C 的普通方程得到关于 t 的一元二次方程,由根与 系数的关系求出 + , . 的值,结合问题条件求出 , 的值,从而求出 a 的值。 【详细解答】(1) 直线 l 的参数方程为 x= - + t,(t 为参数), 直线 l 的普 y= + t,普通方程为: x-y+4=0, 曲 线 C 的极坐标方程为: +6 cos )=a, 曲线 C 的直角坐标方程为: + +6x -a=0,(2)联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程得: + t- -a=0, 设 , 是方程 + t- -a=0 的两个根, + =- , . =- -a, 点 P (- , )恰为线段 AB 的三等分点, =-2 , = + = , a=4。 3、在直角坐标系 XOY 中,过点 P(1,1)的直线 l 的参数方程为: x=1+tcos ,(t 为参数),以坐标原点 O 为极点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, y=1+tsin , 曲线 C 的极坐标方程为 =4cos (2020 成都市高三零诊)。 (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相较于 A,B 两点,求 - 的最小值。 【解析】 【考点】①直线参数方程的定义与性质;②极坐标方程化直角坐标方程的基本方法;③一 元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】运用极坐标方程化直角坐标方程的基本方法,就可得到曲线 C 的直角坐标 方程是;(2)联立直线 l 参数方程与曲线 C 的直角坐标方程得到关于 t 的一元二次方程, 1t 2t 1t 2t 1t 2t  ∴  ∴ 1t 2t  1t 2t 1t 2t  ∴ 1t 2t ⇒ ∴ 8 3 2 2 4 3 2 2 2ρ ρ θ 2x 2y 2t 5 2 3 64 9 2t 5 2 3 64 9 5 2 3 64 9 8 3 4 3 2 2t 32 9 2 a 50 9 α α ρ θ 1 | |PA 1 | |PB利用根与系数的关系定理求出 + , . 的值,从而求出 - 的值。 【详细解答】(1) 曲线 C 的极坐标方程为 =4cos , =4 cos , + =4x, 曲线 C 的直角坐标方程是: + =4;(2)联立直线 l 的参数方程和曲 线 C 的直角坐标方程 x=1+tcos (t 为参数),得: +2t(sin -cos )-2=0, + =-2(sin -cos ), y=1+tsin , . =-2, - = = + =4, = = ,当且仅当 2 = ,即 = 时, - = = 为最小值, - 的最小值是 。 4、在直角坐标系 XOY 中,直线 l 的参数方程为: x=1+ t(t 为参数),在以坐标原点 O y=1+ t,为极点,X 轴正半轴为极 轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 (1+2 cos )=3(2019 成都市高三零 诊)。 (1)写出直线的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 M(1,1),若直线 l 与曲线 C 相交于不同两点 A,B,求|MA|+|MB|的值。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②极坐标方程化直角坐标方程的基本方 法;③直线参数方程的定义与性质;④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 1t 2t 1t 2t  ∴ ⇒ ∴  1t 2t 1t 2t ∴ ∴ 1 | |PA 1 | |PB ρ θ 2ρ ρ θ 2x 2y 2( 2)x − 2y α 2t α α α α α 1 | |PA 1 | |PB | | | | | |.| | PB PA PA PB − 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 . | . | t t t t t t + − 2( 2)x − 2y 22 (sin cos ) 2 2 α α− + 3 sin 2α− α 2 π α 4 π 1 | |PA 1 | |PB 3 1− 2 1 | |PA 1 | |PB 2 1 2 3 2 2ρ 2 θ【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程,极坐标方程化直角坐标方程的基本方法, 结合问题条件就可得到直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)当 x=1 时,y= +1- =1,可知点 M(1,1)在直线 l 上,联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐 标方程得到关于 t 的一元二次方程,根据根与系数的关系定理求出 + , . 的值, 从而求出|MA|+|MB|的值。 【详细解答】(1)直 线 l 的参数方程为: x=1+ t(t 为参), == , y=1+ t , y-1= (x-1) , 直线 l 的普通方程是: y= x+1- ; 曲线 C 的极坐标方程为: (1+2 cos )=3, +2 cos =3 + +2 =3, 曲线 C 的直角坐标方程是: + =1; (2) 当 x=1 时,y= +1- =1, 点 M(1,1)在直线 l 上,联立直线 l 的参数方程 和曲线 C 的直角坐标方程 x=1+ t(t 为参数),得:3 +2(3+ )t+2=0, + =- y=1+ t,(3+ ), . = , |MA|+|MB|=| + | + =1,= (3+ )。 5、在直角坐标系 XOY 中,曲线 C 的参数方程为 x=2+2cos ( 为参数),以坐标原点 O 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系, y=2sin ,直线 l 的极坐标方程为: sin( + )= (2019 成都市高三三诊)。 (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; 3 3 1t 2t 1t 2t  ∴ 1 1 y x − − 3 ⇒ 3 ∴ 3 3  ∴ ⇒ 2x 2y 2x ∴ 2x 2 3 y  3 3 ∴ 2t 3  1t 2t 2 3 3 1t 2t 2 3 ∴ 1t 2t 2x 2 3 y 2 3 3 1 2 3 2 2ρ 2 θ 2ρ 2ρ 2 θ 1 2 3 2 α α α ρ θ 4 π 2 2(2)设点 M(0,1),若直线 l 与曲线 C 相较于 A,B 两点,求|MA|+|MB|的值。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②极坐标方程化直角坐标方程的基本方 法;③直线参数方程的定义与性质;④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程,极坐标方程化直角坐标方程的基本方法, 结合问题条件求出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;(2)当 x=0 时, y=1-0=1, 点 M(0,1)在直线 l 上,求出直线 l 的参数方程,联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的 普通方程得到关于 t 的一元二次方程,得出 + , . 的值 ,求出|MA|+|MB|的值。 【详细解答】(1) 曲线 C 参数方程为:x=2+2cos ( 为参数), =4cos , y=2sin , =4sin , + =4, 曲线 C 的普通方程是: + =4; 直线 l 的极坐 标方程为: sin( + ) = , (sin +cos )=1, x+y-1=0, 直线 l 的 直角坐标方程是:x+ y-1=0。(2) 当 x=0 时,y=1-0=1, 点 M(0,1)在直线 l 上, 直线 l 的参数方程为: x=- t(t 为参数),联立直线 l 的参数方程和曲线 C Y=1+ t, Y=1+ t, 的普通方程 x=- t(t 为参数),得: - t+1=0, , + = , . =1, + =4, |MA|+|MB|=| + |= 。 6、在直角坐标系 XOY 中,直线 l 的参数方程为 :x=2+ t(t 为参数),在以坐标原 ⇒ 1t 2t 1t 2t  ∴ 2( 2)x − 2 2y 2 2( 2)x − 2y ∴ 2( 2)x − 2y  ∴ ⇒ ∴  ∴  2t 2  1t 2t 2 1t 2t 2( 2)x − 2y ∴ 1t 2t 2 α α α α α ρ θ 4 π 2 2 ρ θ θ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ⇒点为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, y=2+ t,曲线 C 的极坐标方程 为 sin +4sin = 。 (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)已知点 M 在直角坐标系中的坐标为(2,2),若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A,B,求|MA|.|MB|的值(2018 成都市高三一诊) 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②极坐标方程化直角坐标方程的基本方 法; ③直线参数方程的定义与性质;④一元二次方程根与系数关系定理及运用。 【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程,极坐标方程化直角坐标方程的基本方法, 结合问题条件就可得到直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)当 x=2 时,y=2 +2-2 =2,可知点 M(2,2)在直线 l 上,联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐 标方程得到关于 t 的一元二次方程,根据根与系数关系定理求出 + , . 的值, 从 而求出 |MA|.|MB|的值。 y=2+ t , 【详细解答】(1) 直线 l 的参数方程为: x=2+ t(t 为参数), = = , y-2= (x-2) , 直线 l 的普通方程是: y= x+2-2 ; 曲线 C 的极坐标方程为: sin +4sin = , sin +4 sin = , +4y = + , 曲线 C 的直角坐标方程是: =4y。(2) 当 x=2 时,y=2 +2-2 =2, 点 M(2,2)在直线 l 上,联立直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程 3 3 1t 2t 1t 2t  ∴ 2 2 y x − − 3 2 1 2 t t 3 ⇒ 3 ∴ 3 3  ∴ ⇒ 2y 2x 2y ∴ 2x  3 3 ∴ 3 2 ρ 2 θ θ ρ 3 2 1 2 ρ 2 θ θ ρ 2ρ 2 θ ρ θ 2ρx=2+ t(t 为参数), 得: -8( -1)t-16=0, + =8( -1), . =-16, y=2+ t, |MA|.|MB|=| . |=16。 =4y, 『思考问题 1』 (1)【典例 1】的结构特征是:第一小题是已知直线和曲线的参数方程(或极坐标方 程),求直线和曲线的普通方程(或直角坐标方程);第二小题是已知一个定点和直线 与曲线相较于不同两点,求定点到两个交点之间距离的和(或积或差)的值; (2)解答这类问题的基本方法是:第一小题用参数方程画普通方程(或极坐标方程画 直角坐标方程)的基本方法去解答;第二小题的解答方法是:①确定已知点在直线上; ②由直线的参数方程与曲线方程联立,消去未知数 x 和 y 得到关于参数 t 的一元二次方 程;③根据韦达定理得到 + 和 . 的值;④运用定点到两个交点的距离和=| + |, 距离积=| . |,距离差=| - |= 求出结果。 [练习 1]解答下列问题: 1、在平面直角坐标系 XOY 中,已知直线 l 的参数方程为 x= t(t 为参数),在以坐标 原点 O 为极点,X 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系 y= t-1 ,长度单位相同 的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程是 =2 sin( + )(2019 成都市高三一诊)。 (1)求直线的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设点 P(0,-1),若直线 l 与曲线 C 相交于两点 A,B,求|PA|+|PB|的值。 2、在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程是 =4cos ,直线 l 的极坐标方程是 sin( + )=1,点 Q( , )在直线 l 上,以极点为坐标原点,极轴为 X 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系 XOY,且两坐标系取相同的单位长度(2018 成都市高三三诊)。 (1)求曲线 C 及直线 l 的直角坐标方程; 2t 3  1t 2t 3 1t 2t ∴ 1t 2t 2x 1 2 3 2 1t 2t 1t 2t 1t 2t 1t 2t 1t 2t 2 1 2 1 2( ) 4t t t t+ − 1 2 3 2 ρ 2 4 π θ ρ θ 2 ρ θ 4 π ρ 2 π(2)若直线 l 与曲线 C 相交于不同两点 A,B,求|QA|+|QB|的值。 3、在平面直角坐标系 XOY 中,曲线 C 的参数方程为 x=2cos ,( 为参数),在, y=sin ,以坐标原点为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 sin( - )= (2017 成都市高三零诊)。 (1)求曲线 C 在直角坐标系中的普通方程和直线 l 的倾斜角; (2)设点 P(0,1),若直线 l 与曲线 C 相交于不同两点 A,B,求|PA|+|PB|的值。 【典例 2】解答下列问题: x=4cos ( 为参数),x=t+ (t 为 1、已知曲线 , 的参数方程分别为 :y=4sin , : y= t- , 参数)(2020 全国高考新课标 II)。 (1)将 , 的参数方程化为普通方程; (2)以坐标原点 O 为极点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设 , 的交点为 P,求圆心在极轴上,且经过极点和 P 的圆的极坐标方程。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②求圆极坐标方程的基本方法;③正弦定理 及运用;④余弦定理及运用。 【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程的基本方法,结合问题条件就可得到曲线 , 的普通方程; (2)联立曲线 , 的普通方程求出点 P 的直角坐标,从而得到点 P 的极坐标,如图设 M( , )是所求圆上任意一点,利用求圆极坐标方程的基本方 法,结合问题条件就可求出圆的极坐标方程。 【解详细答】(1) 曲线 参数方程为:x=4cos ( 为参数), x+y=4(cos ∴ α α α ρ θ 4 π 2 2 2 θ θ 1 t 1C 2C 1C 2 θ 2C 1 t 1C 2C 1C 2C 1C 2C 1C 2C ρ θ 1C 2 θ θ 2 θ y=4sin ,+ sin )=4,曲线 的普通方 程是:x+y-4=0, 曲线 的参数方程为为:x=t+ (t为参数), t= , = , y= t- , 曲线 的普通方程是: - =4; (2)如图,设 M( , )是所求圆上任意 一点,联立曲线 , 的普通方程得:P( , P M ), 点 P 的极坐标为:P( , ), O (tan = ), cos = , |AP| =|OA| +|OP| -2|OP||OA|. cos , 2|OA| co s =|OP|, | AP|=|OA|= , 在 OAM 中, =, |OM|= = = cos ,所求圆的极坐标方程为: = cos 。 2、在平面直角坐标系 XOY 中,曲线 C 参数方程为 x=2-t- (t 为参数且 t 1),C 与 (1)求|AB|; y=2-3t+ ,坐标轴交于 A,B 两点。 (2)以坐标原点 O 为极点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标 方程(2020 全国高考新课标 III)。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②两点之间的距离公式及运用;③求直线极 坐标方程的基本方法。 【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程的基本方法求出曲线 C 的普通方程,从而 求出点 A,B 的直角坐标,根据两点之间的距离公式通过运算就可求出|AB|;(2)如图,  ∴ ∴  ∴ ∴  ∴ 2 θ 2 θ 1C 2C 1 t 2 x y+ ⇒ 1 t 2 x y+ 1 t 2C 2x 2y ρ θ 1C 2C 5 2 3 2 ⇒ 34 2 0 θ 0 θ 3 5 0 θ 5 34 34 2 2 2 0 θ ⇒ 0 θ 17 10 ∆ | | sin 2 OM θ | | sin AM θ | | sin 2 sin AM θ θ 34sin cos 10sin θ θ θ 17 5 θ ρ 17 5 θ 2t ≠ 2t A设 P( , )是所求直线上的任意一点,利用求直线极坐标方程的基本方法,结合问 题条件就可求出直线 AB 的极坐标方程。 【解详细答】(1) 曲线 C 参数方程为 x=2-t- ( t 为参数且 t 1), t=1- , y=2-3t+ , =1- + ,曲 线 C 的普通方程为: +2xy+ +4x-12y=0,令 x=0,得 y=0 或 y=12, B(0,12), 令 y=0,得 x=0 或 x=-4, A(-4,0), |AB|= =4 ; (2))如图,设 P( , )是所求直线上 y B 任意一点, 在 OAP 中,sin OAP= , P cos OAP= , APO= - OAP, A O x sin APO= sin( - OAP)= sin - cos , = , |OP|= , |OP|( sin - cos )=4 ,直线 AB 的极 坐标方程是: sin -3 cos +12=0。 3、在极坐标系中,O 为极点,点 M( , )( >0)在曲线 C: =4 sin 上,直 线 l 过点 A(4,0)且与 OM 垂直,垂足为 P(2019 全国高考新课标 II) (1)当 = 时,求 及 l 的极坐标方程;。 (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程。 【解析】  ∴ ∴  ∴ ∴ ρ θ 2t ≠ 4 x y+ 2t ⇒ 2t 2 x y+ 2( ) 16 x y+ 2x 2y ⇒ ⇒ 2 2(0 4) (12 0)+ + − 10 ρ θ ∆ ∠ 3 10 10 ∠ 10 10 ∠ θ ∠ ∠ θ ∠ 10 10 θ 3 10 10 θ | | sin OP OAP∠ | | sin OA APO∠ ⇒ | | sin OA sin OAP APO ∠ ∠ 10 10 θ 3 10 10 θ × 3 10 10 ρ θ ρ θ 0 ρ 0 θ 0 ρ ρ θ 0 θ 3 π 0 ρ【考点】①极坐标方程的定义与性质;②直角三角形的定义与性质;③求直线极坐标方程 的基本方法;④点的轨迹方 )是程的定义与求法。 【解题思路】(1)设点 B( ,直线 l 上除点 P 外的任意一点,结合问题条件得到 OAP= ,从而求出 OBP= + ,OP= OA=2,在 OPB 中运用正弦定理就可求出直线 l 的极 坐标方程;(2)设点 P( , ),根据在 Rt OAP 中,|OP|=|OA|cos =4cos ,从 而得到点 P 轨迹的极坐标方程为: =4cos , [ , ]。 【解详细答】(1)如图,设点 B( , )是直线 l 上除点 M P 外的任意一点, 点 M( , )( >0)在曲线 C: P B =4 sin 上, = , OAP= , BOP= - ,|OP| O A = OA|=2, 在 Rt OPB 中,|OP|=|OB|cos( - )= cos( - )=2, 直线 l 的极坐 标方程为: sin + cos -2=0;(2)设点 P( , ), 在 Rt OAP 中, |OP|=|OA|cos =4cos , =4cos , 点 P 在线段 OM 上,AP OM, [ , ],点 P 轨迹的极坐标方程是: =4cos , [ , ]。 4、在直角坐标系 XOY 中,曲线 C 的参数方程为 x=2cos ,( 为参数),直线 l 的参 数方程为 x=1+tcos (t 为参数), y=4sin y=2+tsin (2018 全国高考新课标 II 卷)。 (1)求 C 和 l 的普通方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率。 【解析】  ∴  ∴  ∴  ∴ θ ρ ∠ 6 π ∠ 6 π θ 1 2 ∆ ρ θ ∆ θ θ ρ θ θ ∈ 4 π 2 π ρ θ 0 ρ 0 θ 0 ρ ρ θ 0 θ 3 π ∠ 6 π ∠ 3 π θ 1 2 ∆ 3 π θ ρ 3 π θ 3 2 ρ θ 1 2 ρ θ ρ θ ∆ θ θ ρ θ ⊥ θ ∈ 4 π 2 π ρ θ θ ∈ 4 π 2 π θ θ α θ α【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②设而不求,整体代入数学思想及运用;③ 线段中点的定义与性质。 【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程的基本方法,就可得到曲线 C 和直线 l 的 普通方程;(2)联立直线 l 参数方程和曲线 C 的普通方程,得到关于 t 的一元二次方程, 运用设而不求,整体代入的数学思想得到 + , . 关于 的式子,根据线段的中 点的性质得到关于 方程,求解方程求出 tan 的值,从而求出直线 l 的斜率。 【详细解答】(1) 曲线 C 的参数方程为: x=2cos ,( 为参数), = cos , y=4sin =sin , 曲线 C 的普通方程是: + =1; 直线 l 参数方程为:x=1+tcos (t 为参数), y= 2+tsin ,①当 cos 0 时, = =tan , y-2= tan (x-1), 直线 l 的普通方程是:xtan -y+2- tan =0;②当 cos =0 时,直线 l 的普通方程是:x=1, 当 cos 0 时,直 线 l 的普通方程是:xtan -y+2- tan =0;当 cos =0 时,直线 l 的直角坐标方程是: x=1;(2)联立直线 l 参数方程和曲线 C 普通方程 x=1+tcos ,得:4 y=2+tsin ,+ =16, + =1, (1+3 cos ) +(8 cos + 4 sin )t-8=0, + =- , . =- , 直线 l 与曲线 C 相交所得线段的中点为(1,2),①当 cos 0 时, + =0, 2cos +sin =0, tan =-2, 直线 l 的斜率 k=-2;②当 cos =0 时,直线 l 的斜率  ∴ ∴  ∴ ⇒ ∴ ∴ ⇒   ∴ ⇒ ∴ 1t 2t 1t 2t α α α θ θ 2 4 x 2 θ θ 2y 16 2 θ 2 4 x 2y 16 α α α ≠ y-2 1x − sin cos t t α α α α α α α α ≠ α α α α 2(1 cos )t α+ α 2(2 sin )t α+ 2 4 x 2y 16 2 α 2t α α 1t 2t 2 4(2cos sin ) 1 3cos α α α + + 1t 2t 2 8 1 3cos α+ α ≠ 1t 2t α α α αk 不存在, 当 cos 0 时,直线 l 的斜率 k=-2;当 cos =0 时,直线 l 的斜率 k 不 存在。 5、在平面直角坐标系 XOY 中, O 的参数方程为 x=cos ,( 为参数),过点(0, y=sin ,- )且倾斜角 )的直 线 l 与 O 交于 A,B 两点(2018 全国高考新课标 III 卷)。 (1)求 的取值范围; (2 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程。 【解析】 【考点】①参数方程化普通方程的基本方法;②直线与圆相交的定义于性质;③直线倾斜 角的定义与性质;④设而不求,整体代入数学思想及运用;⑤求点轨迹方程基本求法。 【解题思路】(1)运用参数方程化普通方程的基本方法,结合问题条件得到 O 的普 通方程,根据直线与圆相交的性质得到关于倾斜角为 式子,从而求出倾斜角 的取值 范围; (2)①当 = 时,由直线 l 过点(0,- ),直线 l 的方程是:X=0,由 x=0,得: =1, A(0,1),B(0,-1), P(0,0);②当 时,联立直 线 l 的普通方程和圆的普通方程得到关于 x 的一元二次方程,根据设而不求,整体代入 的数学思想得到 + , . 关于 的式子,从而求出 + ,得到点 P 关于 的坐 标,就可得到点 P 轨迹的参数方程。 【详细解答】(1) O 的参数方程为 x=cos ,( 为参数), = cos , y=sin , = sin , + = cos + sin =1, O 的普通方程为: + =1, 直线 l 过点(0, - ),倾斜角为 ,①当 时,直线 l 的方程为:x tan -y- =0, 直线 l ∴ ⇒ ⇒ ∴  ∴ ⇒ ∴   α ≠ α Θ θ θ θ 2 α Θ α Θ α α α 2 π 2 2y α ≠ 2 π 1x 2x 1x 2x α 1y 2y α Θ θ θ 2x 2 θ θ 2y 2 θ 2x 2y 2 θ 2 θ Θ 2x 2y 2 α α ≠ 2 π α 2与 O交于A,B两点, = 1, tan >1或tan

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