4.5.垂直
一、学生起点分析
上一课时已经研究了两条直线（线段）的位置关系，研究的方法是通过直观和大量的操作活动经验得出的，学生能从大量的生活素材中提炼出数学问题，并能积极动手、动口、动脑来研究归纳问题。在知识基础方面，垂直在小学中已给出定义，学生能根据图形的已知条件判断两直线是否垂直。不过在这一课时中研究与思考问题时要用到类比的学习方法，如类比“平行”的表示、性质的归纳等，特别是定义中的“同一平面内”等关键处的理解。考虑到学生已有知识的储备，本课时的定义引入可以精减一些素材，突显简洁干炼。
二、教学任务分析
本课时是通过角的度量来说明两条直线的位置关系，这种转化的思想方法，学生刚接触，开始一定要细致。垂直性质的得出仍然是通过大量的操作活动而得出的，在活动中，学生要操作、交流充分。
主要教学目标：1、会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。2、通过丰富的画、折等操作活动探究并归纳垂直的性质。3、用类比“平行”的研究方法来研究垂直的表示和性质归纳，初步感受有条理的说明问题；强化表达能力和用数学交流的能力。
重点是垂直的定义和性质以及通过实验操作、交流探究来研究垂直性质的方法。在学习中是一定要引导学生将“平行”与“垂直”对比来归纳与区别，继续渗透“直观——归纳——运用”的数学学习方法。
课前准备好三角板、直尺、量角器和圆规、铅笔、方格纸、白纸等学习用品。
三、教学过程设计
本课时由如下几个环节构成：创设情景，适时点题----定义运用，掌握画法----活动探究，归纳性质----知识运用，课堂小结.
第一环节，创设情景 适时点题
内容：
设计一组问题串
（1） 出示问题：学校操场上的旗杆或厨房房顶上的烟囱裁的标准吗？
（2）进一步引导学生猜想两条直线如何才算垂直？
由此引入课题——垂直，指出定义中的关键字眼，明白“互相”
的含义，引导学生对比“平行”的表示与读法来表示两直线垂直，并在图中标示。
目的：
对于问题（1）学生由生活经验会得出：标不标准看是否与地面垂直，进而进一步追问垂直怎样判断？再由小学垂直的基础知识得出：旗杆与地面的角是否成90度，谈到这里不再深究。这涉及到直线与平面的位置关系，
对于问题(2)，学生易得出：如两直线相交成直角，则这两直线垂直。
开头设计“线与面的垂直”目的是引出所成角为90度的关键字眼，初步感受垂直确实要通过角的大小这个数量关系来确定），并介绍一下垂直线段的表述（即如两线段所在的直线垂直，则这两线段垂直）。
效果：
这节课的开头引入在一次大型活动的公开课中尝试过，效果很好，切入了学生的生活经验，况且是身边的素材，加上小学的有关垂直的知识，引入课题是顺理成章、一气呵成的事。
第二环节，运用定义 掌握画法
内容：让学生举例身边、生活中的线段垂直、直线垂直的例子并进行评价。
（1） 要求学生在白纸上用量角器或三角尺画两直线或线段垂直，标上字母并表示。让一至两个学生在黑板上板书。
（2） 要求学生在方格纸画出两直线或两线段垂直，标上字母并表示和读出来，并总结出有哪些画法。
（3） 利用一张白纸，用折叠的方法如何折出两线段垂直。
目的：
第二环节设计了四个问题，他们分别是四个层次。其中（1）的意图是紧紧抓住垂直的定义，把握所成角为90度这个核心，这是第一个层次的运用；第二个层次的运用，是使用量角器和三角板的垂直的画法和表示。让学生在黑板上板书的目的是为了示范或提供错误的素材进行更正与强化；第三个层次的运用：是使用方格纸的垂直的画法和表示。拿出方格纸要求学生画出两直线或两线段垂直，标上字母并表示和读出来，总结出有哪些画法,鼓励学生用自己话来表述。第四个层次的运用，是不借助尺和方格纸，只利用一张白纸，折叠出两线段垂直，最后教师可以演示以下的折法：操作过程始终抓住“为什么”，发展学生有条理的思考、表述及有理有据的严谨态度，建立起图形语言——数学语言、数量关系——位置关系的联系与转化。
效果：
问题的设置由易到难，由直观画图到需要理性的思考。学生的学习兴趣在问题串的激发下，逐步高涨。特别是问题3和问题4，让学生拥有了发挥的空间，课堂气氛活跃。这时也对教师提出了较高的要求，备课要充分，要能比较快、比较准确地分辨出学生的想法是否合理。
第三环节 活动探究 归纳性质
内容：
A
B
（1）出示问题：在草稿上画一直线AB，任画一点O，并过O画AB的垂线，让一至两个同学板书，其余学生各自完成，并提醒同学借鉴画平行线的经验画垂线。
（2）在同学们都画出垂线的情况下，进一步引导学生观察思考OC是直线AB的垂线，还可理解为OC平分∠AOB，并表述其理由。
（3）如下左图，直线a上有一点A，经过点A，你能折出与a垂直的直线吗？如下右图，直线a外有一点B,经过点B，你能折出与a垂直的直线吗？
通过画与折出垂线后，让学生之间互相交流并表述画与折的过程，并出示问题串：1、过一点能画（折）已知直线的垂线吗？（存在性）
2、在同一平面内，过一点可以画（折）几条直线与已知直线垂直？（唯一性）
3、“这一点”的位置要作特别说明吗？
（4）·
A
B
C
O
D
再提供如下问题情境（在黑板上板书）：如图，某同学在100米赛跑中已跑到了点O处，最后他向着终点线AB冲刺，该怎样跑他到AB的距离最短？并把最短距离表示出来。
目的：
这里出现了（1）～（4），其中（1）～（3）是围绕垂直的性质1逐步深入展开的，（4）是围绕垂直的性质二展开的。
设计（1）的目的是巩固任选工具画垂线，同时为性质的得出作铺垫。由于同学们画平行线有经验，这时会很快完成，并引导学生类比过直线外一点画平行线的画法对画垂线的步骤进行总结，即一“靠”、二“推”、三“过”、四“画”。
对于（2）设计的目的是让学生从不同侧面来看待、理解数学问题及生活中的问题。
（1）是过一点画已知直线的垂线，对于（3）通过折纸的办法来找垂线，从另一个侧印证画的正确性与合理性。
通过（1)～（3）让学生充分交流与争辩基础上再板书出垂线性质1：在同一平面内，经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
（4）的设计目的是巩固性质1，同时为垂直性质2的得出作好铺垫。经过学生的动手操作它不难解决，较难的是概括归纳出性质2，这时的问题还可细化为：1、画出他跑的路线；2、明确“最短距离” 指什么？最后让学生自己概括出垂直性质2：直线外一点到直线的距离，垂线段最短。
效果：
对于（1）由于受前一节平行线的画法中“一点”的选取是在直线外，而这时画垂线时的这一点大多数同学会把这“一点”画在直线外，而对于直线上“一点”的情况，老师可直接出示或在学生中间发现这一素材。
对于（3）第1问很容易，第2问要在正确的操作基础上来解答。刚才在画图（折纸）时，“一点”的选取有些预设，即“一点”与已知直线在一平面内，现在要通过反面的例子来加深学生对这一性质的得出。如举出从教室墙角的顶点可引出三条直线垂直，还有长方体纸盒的顶点处的三条边的位置关系等，从而强调“在同一平面内”的重要性。
（1） 经过实践，性质2所得的结论学生最易表述也最容易理解。同时让学生自己看书阅读“点到直线的距离”的定义，提高学生的数学阅读能力。
第四环节 知识运用，课堂小结
内容：
（1） 出示“议一议”内容，交流体育课中跳远为什么这么来测量？
（2） 完成课堂练习第1、2题，
并对第1题加入一问：试判断两垂线间的位置关系？
在第2题中加入一问：如果∠COD=25°，求∠AOD与∠COB的大小？
完成“知识技能”的第3题，尔后进行交流与辨析。
（3）最后课堂小结，提醒学生对比“平行”的相关内容来总结：
垂直定义：。。。。。。表示：。。。。。。读法：。。。。。。
画垂线的方法：
垂直性质1：
垂直性质2：
（4）布置作业：
D
C
B
A
E
1.在书上完成第159面的“问题解决”第1题.
2.如图,直线 AB上一点C ,过点C 引两条射线
CE、CD，且∠ACE=31°，∠DCB=59°，则CE、CD
的位置关系是什么？为什么？
A
B
C
D
3．如图，请利用三角板、直尺、铅笔、剪刀等工具将四边形纸板ABCD剪成一个长方形纸板。
4．课外了解一下，建筑工人在砌墙时是怎样判断砌的墙是否为铅直？
目的：
设置（1）是对性质2的运用。
在（2）中，对第1题加入一问，设计此问的目的是对上一课时“平行”的复习与巩固；对第2题也加了一问，设计此题的目的是由“垂直”得角的大小，强调定义既是判定又是性质。
四 教学设计反思
1．教材只是一个基本的素材，要根据学生的实际选取学生易接受与好理解的问题引入课题。本课时的开头选取了学校操场的旗杆引入“垂直”的感性认识，再来研究两直线的垂直是可行的。另外在课堂练习题与作业题的配置上，也没有按书上的全部内容及在作业本上完成的形式，我们认为有些题可在课内完成就不要放在课外，能在书上完成，就不要放在作业本上写成，要把有限的时间放在对数学的理解与思考上。
2．要通过充分的操作活动来理解数学。在研究垂直的两个性质的时候，由于学生还没有接触推理几何，许多结论的得出只能借助操作活动与直观思维，在这个前提下，操作活动的问题要设计恰当，并要正确的引导学生充分操作与观察，进而形成合情推理。同时还要注意学生之间、老师与学生之间的对话与交流，通过交流过程来形成结论，并感受研究数学的一般方法。七年级学生动手活动的积极都很高，但通过观察来归纳总结的能力与方法还不够，在这一点上，教师先让学生用他们自己的话来表述，然后再进行提炼，不要把结论生硬“塞”给学生。
3．本课时的学习，要抓住“比较”的学习方法，即“垂直”与“平行”的画法、定义、性质等，对于定义和性质的关键字眼的理解，要通过正与反两方面的例子加深学生的认识，不要引起混淆。
B
A
C
新 课 标 第 一 网
4．一点说明，在方格中画垂直线段时，一般是水平与铅垂线，或者两对角线，对如下图这种情况，由于要用到全等的知识，在这里不深究，让学生用量角器量一下来验证，并肯定学生的做法。另外本课补充了一些习题，供参考。
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