§12.2.1三角形全等的判定（SSS）
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS），及利用全等三角形进行证明．
教学目标
1．知识与技能
了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．
2．过程与方法
经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题．
3．情感、态度与价值观
培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识．
重、难点与关键
1．重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法．
2．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法．
3．关键：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形．
教具准备
一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规．
(1) (2)
教学方法
采用“操作──实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象．
教学过程
一、设疑求解，操作感知
【教师活动】（出示教具）
问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．
【学生活动】观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2，剪下模板就可去割玻璃了．
【理论认知】
如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．反之，如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′．
这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′，从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．
信不信？
【作图验证】（用直尺和圆规）
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）
【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证．（如课本图11．2-2所示）
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：
1．画线段取B′C′=BC；
2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；
3．连接线段A′B′、A′C′．
【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？”
【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理．
（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．
（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．
【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论──
边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验．
二、范例点击，应用所学
【例1】如课本图11．2─3所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．（教师板书）
【教师活动】分析例1，分析：要证明△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
【评析】符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”；从例1可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．书写中注意对应顶点要写在同一个位置上，哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写．
三、实践应用，合作学习
【问题思考】
已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在直线上，AD=FB（如图所示），要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己的想法．
【学生活动】先独立思考后，再发言：“还应该有AB=FD，只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD．”
【教学形式】先独立思考，再合作交流，师生互动．
四、随堂练习，巩固深化（ 课本P37练习）．
【探研时空】
如图所示，AB=DF，AC=DE，BE=CF，BC与EF相等吗？你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由．（BC=EF，△ABC≌△DFE）
五、课堂总结，发展潜能
1．全等三角形性质是什么？
2．正确地判断出全等三角形的对应边、对应角，利用全等三角形处理问题的基础，你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法？
3．“边边边”判定法告诉我们什么呢？（答：只要一个三角形三边长度确定了，则这个三角形的形状大小就完全确定了，这就是三角形的稳定性）
六、布置作业，专题突破
1．课本P43习题12．2第1，2题．
2．选用课时作业设计．
七、板书设计
把黑板平均分成三份，左边部分板书“边边边”判定法，中间部分板书例题，右边部分板书练习．
八、教学反思：全等三角形的“边边边”判定（SSS）本课需要经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力; 熟记“边边边”定理的内容; 能运用“边边边”定理证明两个三角形全等; 通过对问题的共同探讨，培养学生的协作、交流能力.这节课是《全等三角形》的重要内容.
§12.2.2 三角形全等判定（SAS）
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SAS），及利用全等三角形证明．
教学目标
1．知识与技能
领会“边角边”判定两个三角形的方法．
2．过程与方法
经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题．
3．情感、态度与价值观
培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值．
重、难点及关键
1．重点：会用“边角边”证明两个三角形全等．
2．难点：应用结合法的格式表达问题．
3．关键：在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法．
教具准备 投影仪、直尺、圆规．
教学方法 采用“操作──实验”的教学方法，让学生有一个直观的感受．
教学过程
一、回顾交流，操作分析
【动手画图】
【投影】作一个角等于已知角．
【学生活动】动手用直尺、圆规画图．
已知：∠AOB．
求作：∠A1O1B1，使∠A1O1B1=∠AOB．
【作法】（1）作射线O1A1；（2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O1为圆心，以OC长为半径画弧，交O1A1于点C1；（4）以点C1为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D1；（5）过点D1作射线O1B1，∠A1O1B1就是所求的角．
【导入课题】
教师叙述：请同学们连接CD、C1D1，回忆作图过程，分析△COD和△C1O1D1中相等的条件．
【学生活动】与同伴交流，发现下面的相等量：
OD=O1D1，OC=O1C1，∠COD=∠C1O1D1，△COD≌△C1O1D1．
归纳出规律：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）．
【评析】通过让学生回忆基本作图，在作图过程中体会相等的条件，在直观的操作过程中发现问题，获得新知，使学生的知识承上启下，开拓思维，发展探究新知的能力．
【媒体使用】投影显示作法．
【教学形式】操作感知，互动交流，形成共识．
二、范例点击，应用新知
【例2】如课本图11．2-6所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
【教师活动】操作投影仪，显示例2，分析：如果能够证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE．在△ABC和△DEC中，CA=CD，CB=CE，如果能得出∠1=∠2，△ABC和△DEC就全等了．
证明：在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴AB=DE
想一想：∠1=∠
2的依据是什么？（对顶角相等）AB=DE的依据是什么？（全等三角形对应边相等）
【学生活动】参与教师的讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的方法，学会分析推理和规范书写．
【媒体使用】投影显示例2．
【教学形式】教师讲例，学生接受式学习但要积极参与．
【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．
三、辨析理解，正确掌握
【问题探究】（投影显示）
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？
【教师活动】拿出教具进行示范，让学生直观地感受到问题的本质．
操作教具：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（课本图11．2-7），出现一个现象：△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解，动手用直尺和圆规实验一次，做法如下：（如图1所示）
（1）画∠ABT；（2）以A为圆心，以适当长为半径，画弧，交BT于C、C′；（3）连线AC，AC′，△ABC与△ABC′不全等．
【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【教学形式】观察、操作、感知，互动交流．
四、随堂练习，巩固深化（课本P39练习第1、2题．）
【探研时空】
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：（如图2所示）
在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法，他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部．然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上．接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．（如图3所示）
（1）按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证．
（2）你能解释其中的道理吗？
【思路点拨】情境中使用的方法在实际应用中虽然是一种估测，但用到的原理都是三角形全等（SAS）；教学中，让学生在教室里或操场上亲自做一做，实际体验．
五、课堂总结，发展潜能：1．请你叙述“边角边”定理．
2．证明两个三角形全等的思路是：首先分析条件，观察已经具备了什么条件；然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设法证明这些边和角相等．
六、布置作业，专题突破1．课本P43习题12．2第3、4题．
七、 板书设计： 把黑板分成左、中、右三部分，其中右边部分板书“边角边”判定法，中间部分板书例题，右边部分板书练习题．
八、教学反思：这节课的教学目标是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，经历探索“两边一角”三角形全等条件的过程，体会如何探索研究问题，培养学生合作精神，通过画图、比较、验证，培养学生注重观察，善于思考，不断总结的良好思维习惯.
§12.2.3 三角形全等判定（ASA）
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的判定（ASA，AAS），及利用全等三角形的证明．
教学目标
1．知识与技能
理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法．
2．过程与方法
经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程，能运用已学三角形判定法解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
培养良好的几何推理意识，发展思维，感悟全等三角形的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等．
2．难点：学会综合法解决几何推理问题．
3．关键：把握综合分析法的思想，寻找问题的切入点. （1） （2） 教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
采用“问题教学法”在情境问题中，激发学生的求知欲．
教学过程
一、回顾交流，巩固学习
【知识回顾】（投影显示）
情境思考：
1．小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH=∠
FDH，ED=FD，将上述条件注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴交流．
[答案：能，因 为根据“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，从而EH=FH]
2． 如图2，AB=AD，AC=AE，能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗？
[答案：BC=DE（SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）]．
3．如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明.
【教师活动】操作投影仪，提出问题，组织学生思考和提问．
【学生活动】通过情境思考，复习前面学过的知识，学会正确选择三角形全等的判定方法，小组交流，踊跃发言．
【教学形式】用问题牵引，辨析、巩固已学知识，在师生互动交流过程中，激发求知欲．
二、实践操作，导入课题
【动手动脑】（投影显示）
问题探究：先任意画一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
【学生活动】动手操作，感知问题的规律，画图如下：
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，
∠A′=∠A，∠B′=∠B：
1． 画A′B′=AB；
1． 在A′B′的同旁画∠DA′B′=∠A，
∠EBA′=∠B，A′D，B′E交于点C′.
探究规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）．
【知识铺垫】课本图11．2─8中，∠A′=∠A，∠B′=∠B，那么∠C=∠A′C′B′吗？为什么？
【学生回答】根据三角形内角和定理，∠C′=180°-∠A′-∠B′，∠C=180°-∠A-∠B，由于∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴∠C=∠C′．
【教师提问】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（课本图11．2─9），△ABC与△DEF全等吗？
【学生活动】运用三角形内角和定理，以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD，并且归纳如下：
归纳规律：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS）．
三、范例点击，应用所学
【例3】如课本图11．2─10，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．
【教师活动】引导学生，分析例3．关键是寻找到和已知条件有关的△ACD和△ABE，再证它们全等，从而得出AD=AE．
证明：在△ACD与△ABE中，
∴△ACD≌△ABE（ASA）
∴AD=AE
【学生活动】参与教师分析，领会推理方法．
【媒体使用】投影显示例3．
【教学形式】师生互动．
【教师提问】三角对应相等的两个三角形全等吗？
【学生活动】与同伴交流，得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等，拿出三角板进行说明，如图3，下面这块三角形的内外边形成的△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，但是它们不全等．（形状相同，大小不等）．
四、随堂练习，巩固深化
课本P41练习第1，2题．
【探研时空】
1．如图4，小红不慎将一块三角形模具打碎为两块，她是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？为什么？
【思路点拨】这是一个实际问题，应带含有两个角的那一块，由“角边角”可知，利用这块能配出一个与原来全等的三角形模具．
2.小颖在练习本上画一个三角形，小兰和她开个玩笑，将墨迹污染到这块三角形的图形上（如图5），急得小颖直叫，要小兰画出一个与原来完全一样的三角形来，小兰该怎么办呢？你能帮她吗？
【思路点拨】观察图形，可知未被墨水污染的有两条边及其夹角，根据“SAS”可以作一个与原来完全一样的三角形．
五、课堂总结，发展潜能
1．证明两个三角形全等有几种方法？如何正确选择和应用这些方法？
2．全等三角形性质可以用来证明哪些问题？举例说明．
3．你在本节课的探究过程中，有什么感想？
六、布置作业，专题突破
1．课本P44习题12．2第5，6，9，10题．
七、板书设计
把黑板分成三部分，左边部分板书“角边角”、“角角边”判定法，中间部分板书例题、画图，右边部分板书练习．
八、教学反思：通过同学们的操作、交流、互动，我们实现了对全等三角形的判定（ASA）的多层面了解.有一部分同学还有些关于全等三角形的判定（ASA）的知识是我们所没有了解，下来同学之间加强交流学习.希望已经掌握本节的同学们能通过课外自己查阅相关资料，解决我们生活中的三角形全等，并构建造出属于我们自己的美丽天地！
§12.2.5 直角三角形全等判定（HL）
教学内容
本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法．
教学目标
1．知识与技能
在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题．
2．过程与方法
经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力．
3．情感、态度与价值观
培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵．
重、难点与关键
1．重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法．
2．难点：培养有条理的思考能力，正确使用“综合法”表达．
3．关键：判定两个三角形全等时，要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件，只需找到另外两个条件即可．
教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
采用“问题探究”的教学方法，让学生在互动交流中领会知识．
教学过程
一、回顾交流，迁移拓展
【问题探究】
图1是两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形才能全等？
【教师活动】操作投影仪，提出“问题探究”，组织学生讨论．
【学生活动】小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．”
【媒体使用】投影显示“问题探究”．
【教学形式】分四人小组，合作、讨论．
【情境导入】如图2所示．
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
【思路点拨】（1）学生可以回答去量斜边和一个锐角，或直角边和一个锐角，但对问题（2）学生难以回答．此时，教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考，并验证它们的方法，从而展开对直角三角形特殊条件的探索．
【教师活动】操作投影仪，提出问题，引导学生思考、验证．
【学生活动】思考问题，探究原理．
做一做如课本图11．2─11：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：
规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;
1． 画∠MC′N=90°.
2． 在射线C′M上取B′C′BC.
3． 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′.
4． 连接A′B′.
二、范例点击，应用所学
【例4】如课本图11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．
【思路点拨】欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件．
【教师活动】引导学生共同参与分析例4．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥BD，
∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．
∴BC=AD．
【学生活动】参与教师分析，提出自己的见解．
【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明．
【媒体使用】投影显示例4．
三、随堂练习，巩固深化
课本P43第练习1、2题．
【探研时空】
如图3，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系？
下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？（如图4所示）
→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°．
有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF全等．这样∠ABC=∠DEF，也就是∠ABC+∠DEF=90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，因此这两个三角形是全等的，这样∠ABC=∠DEF，所以∠ABC与∠DEF是互余的．
【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂，可以通过全班讨论，共同解决这个问题，但不需要每个学生自己独立说明理由，只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了．
四、课堂总结，发展潜能
本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的能力，在反思中发现新知，体会解决问题的方法．通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等有五种方法．（教师让学生讨论归纳）
五、布置作业，专题突破
1．课本P44习题12．2第7，8题.
六、课堂总结，发展潜能
由学生谈学习收获
七、板书设计
把黑板分成三份，重复使用，左边部分板书直角三角形判定定理等有关概念，中间部分板书“探究”，右边部分板书例题．
八、教学反思：
本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SAS\ASA\AAS\SSS）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、总结、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.新课程标准强调“从具体的情景或前提出发进行合情推理，从单纯的几何推理价值转向更全面的几何的教育价值”，为了体现这一理念，设计了几个不同的情景，让学生在不同的情景中探求新知，用直接感受去理解和把握空间关系.探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”，纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会.这些我在今后的教学中会争取改进.
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