§12.3 角的平分线的性质(1)
教学内容
本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．
教学目标
1．知识与技能
通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．
2．过程与方法
经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
3．情感、态度与价值观
激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
重、难点与关键
1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．
2．难点：两个互逆定理的实际应用．
3．关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利用全等来证明它的逆定理．
教具准备
投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．
教学方法
采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．
教学过程
一、创设情境，导入新课
【问题探究】（投影显示）
如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？
【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1）直观地进行讲述，提出探究的问题．
【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．
【教师活动】
请同学们和老师一起完成下面的作图问题．
操作观察：
已知：∠AOB．
求法：∠AOB的平分线．
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求（课本图11．3─2）．
【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．
【媒体使用】投影显示学生的“画图”．
【教学形式】小组合作交流．
二、随堂练习，巩固深化
课本P19练习．
【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的．
【探研时空】（投影显示）
如课本图12．3─3，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．
【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”
论证如下：
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）
求证：PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE
【归纳如下】
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．
三、情境合一，优化思维
【问题思索】（投影显示）
如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．
证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：经过点P作射线OC．
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线．
【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．
【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．
四、范例点击，应用所学
【例】 如课本图12．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．
【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．
∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
∴PD=PE
同理 PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等．
【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．
【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．
五、随堂练习，巩固深化
课本P22练习．
六、课堂总结，发展潜能
1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．
2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．
七、布置作业，专题突破
1．课本P22习题11．3第1、2、3题．
2．选用课时作业设计．
八、板书设计
把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．
九、
教学反思：课本上安排的知识要求比较多：有角平分线的尺规作图、过直线上的点作已知直线的垂线、角平分线的性质定理及其应用.有学生的前置学习，这几部分的内容在课上比较好的得到了实现，这是“协进课堂”优势的地方.但是，本课回想起来还是比较平淡，最强烈的感受：利用角平分线的性质定理可以优化我们的证题思路、角平分线性质定理的基本图形可以提醒学生证题思路的确定，学生没有真真切切的体验.这就使我们思考，如何在“协进课堂”模式下使学生对新知识的产生和新知识的应用有更为深刻的体验.
§12.3 角的平分线的性质（巩固练习）
教学内容
本节课主要是对角的平分线的性质定理的应用展开讨论，让学生熟练地应用它们解决实际问题．
教学目标
1．知识与技能 能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题．
2．过程与方法
经历探索角的平分线性质的应用过程，领会几何分析的内涵，掌握综合法的表达思想．
3．情感、态度与价值观
激发学生的逻辑思维，在比较中获取知识，使学生感悟几何的简练思维．
重、难点与关键
1．重点：应用角的平分线性质定理．
2．难点：应用“综合法”进行表达．
3．关键：通过观察、操作、分析来感悟定理的内涵，抓住问题的因果关系进行推理．
教具准备 投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
一、回顾交流，练中反思
【概念复习】
【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质．
【学生活动】在教师对“集合”的思想做初步讲解后，学生可以通过交流得出：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．
【分层练习】（投影显示）
1．已知：如图1，△ABC中，AD是角的平分线，BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，E、F是垂足，求证：EB=FC．
【思路点拨】只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等（△EBD≌△FCD）．
【教师活动】操作投影仪，巡视，启发引导，适时提问．
【学生活动】小组合作学习，寻求解题思路，踊跃上台演示自己的证明．
证明：∵AD是角的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF
在△EBD和△FCD中，
∴△EBD≌△FCD（HL）
∴EB=FC
【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习．
【教学形式】小组合作（4人小组）交流，然后全班汇报，以练促思．
2．已知：如图2，河的南区有一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由．
【思路点拨】画图略，根据角的平分线性质，工厂应在河流与公路交角的平分线上．
【教师活动】操作投影仪，提出问题，参与学生的思考和讨论．
【学生活动】分四人小组积极地讨论，得出结论，踊跃发表自己的看法．
【媒体使用】投影显示“分层练习2”．
【教学形式】合作学习，生生互动交流．
二、操作观察，辨析理解
【操作思考】（投影显示）
首先按如下步骤进行操作：
（1）在一张纸上任意画一个角（角的边不要画得太短）∠AOB．
（2）剪下所画的角．
（3）折叠所画的角，使角的两边OA与OB重合，设折痕为Ox，如图3．
（4）在折叠形成的两层纸之间放入复写纸．
（5）在Ox上取一点P，并且过点P画OA的垂线．
（6）拿出复写纸，并且把折叠的纸展开观察展开后的图形，并进行思考，上面的操作反映了哪条规律？是课本上一节课中的那个概念吗？
【教师活动】操作投影仪，巡视，参与学生的讨论，引导启发．
【学生活动】分四人小组合作学习，从操作中感悟知识和规律，得到结论：反映规律是：角的平分线上的点到角的两边距离相等．
【媒体使用】投影显示“操作思考”．
【教学形式】分四人小组合作学习，动手动脑，互动交流．
三、课堂演练，系统跃进
1．已知：如图4，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF．求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD．
[提示]应用HL证Rt△ABC≌Rt△CED
2．已知：如图5，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证PM=PN．
[提示]∵∠ABD=∠CBD，AB=CB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，又PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．
四、课堂总结，发展潜能
由学生分四人小组进行学习反思，然后各小组汇报学习情况．
五、布置作业，专题突破
1．课本P51习题12．3第4、5题．
六、板书设计
把黑板分成左右两份，左边板书概念和例题，右边板书学生的练习，重复使用．
七、教学反思 ；
课本上安排的知识要求比较多：有角平分线的尺规作图、过直线上的点作已知直线的垂线、角平分线的性质定理及其应用.有学生的前置学习，这几部分的内容在课上比较好的得到了实现，这是“协进课堂”优势的地方.但是，本课回想起来还是比较平淡，最强烈的感受：利用角平分线的性质定理可以优化我们的证题思路、角平分线性质定理的基本图形可以提醒学生证题思路的确定，学生没有真真切切的体验.这就使我们思考，如何在“协进课堂”模式下使学生对新知识的产生和新知识的应用有更为深刻的体验.
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