第五单元 圆
5.1 圆的认识
教学目标：
知识与技能：使学生认识圆，掌握圆的各部分名称．
过程与方法：通过动手操作、实验观察探索出圆的特征及同一个圆里半径和直径的关系．
情感态度与价值观：初步学会用圆规画圆，培养学生的作图能力．培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力．
教学重点
在动手操作中掌握圆的特征，学会用圆规画圆的方法．
教学难点
理解圆上的概念，归纳圆的特征．
教学教具：课件
教学过程 ：
一、 导入新课
问题：一个小球，小球上还系着一段绳子，老师用手拽着绳子的一将小球甩起来．
提问：你们看小球画出了一个什么图形？（小球画出了一圆）
结论：（出示铁丝围成的圆）这就是一个圆．圆也是一种平面图形。
圆的定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心。（确定圆的位置） 线段OA叫做半径。（确定圆的大小） 记法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 注意：（1）圆指的是“圆周”而不是“圆面”。是“铁环”，不是“烙饼”。 （2）半径指的是线段，为了方便也把半径的长称为半径。也有这样的说法《平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说:平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。》新 课 标 第 一 网
圆的确定： （1）一个圆心一个半径 （2）圆心、圆上一个一个的已知点 （3）直径（板书课题：圆的认识）
二、探究新知
（一）画圆中感受“圆”
你能想办法在纸上画一个圆吗？---圆是用什么线围成的？（圆是一种曲线图形）
（二）认识半径、直径的特点及关系
1、动手折一折。
用圆规画几个不同大小的圆，剪下来，沿着直径折一折，画一画，量一量，会有什么发现？
（1）折过2次后，你发现了什么？（两折痕的交点叫做圆心，圆心一般用字母O表示）
（2）再折出另外两条折痕，看看圆心是否相同。
认识直径和半径
r
d
（1）将折痕用铅笔画出来，比一比是否相等？
0
（2）观察这些线段的特征。（圆心和圆上任意一点的距离都相等）
d=2r
（3）板书：通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直径。连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径。
2、把圆沿任何一条直径对折，两边可以重合。一个圆里的半径有无数条，直径有无数条。同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径长度的2倍。得出结论：在同一个圆里，
（三）认识圆心、半径作用
圆的中心位置由什么决定的？半径决定圆的什么？圆心确定了圆的中心位置就确定了。半径决定了圆的大小。
三、练习中深化认识圆
四、运用圆设计图案
请你试着用圆规和直尺画一画下面的图形。
五、补充练习
（一）判断
1．画圆时，圆规两脚间的距离是半径的长度．（ ）
2．两端都在圆上的线段，叫做直径．（ ）
3．圆心到圆上任意一点的距离都相等．（ ）
4．半径2厘米的圆比直径3厘米的圆大．（ ）
5．所有圆的半径都相等．（ ）
6．在同一个圆里，半径是直径的 ．（ ）
7．在同一个圆里，所有直径的长度都相等．（ ）
8．两条半径可以组成一条直径．（ ）
（二）按下面的要求，用圆规画圆．
1．半径2厘米．
2．半径2.5厘米．
3．直径8厘米．
（三）怎样测量没有圆心的圆的直径？
六、课堂小结
这节课我们学习了什么？通过这节课的学习你有什么收获？
七、板书设计
5.1 圆的认识
圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆
连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径。
通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直径。
八、布置作业
第58页，做一做。 第60页练习十三，第5题、第10题。
九、课后反思
5.2 圆的周长
教学目标：
知识与技能：理解圆周率的意义，推导出圆周长的计算公式，并能正确的进行简单的计算．
过程与方法：培养学生的观察、比较、分析、综合及动手操作能力．
情感态度与价值观：领会事物之间是联系和发展的辩证唯物主义观念以及透过现象看本质的辨证思维方法． 结合圆周率的学习，对学生进行爱国主义教育．
教学重点：推导并总结出圆周长的计算公式。
教学难点：深入理解圆周率的意义。
教学教具：课件
教学过程：
一、问题引入
圆桌和菜板都有点开裂，需要在它们的边缘箍上一圈铁皮。分别需要多长的铁皮啊？
同学们，你们有办法解决吗？
二、探究新知
（一）测量圆周长
1、课件演示
2、像这样，围成圆的曲线的长是圆的周长。除了上面的方法，还可以怎样求圆的周长呢？圆的周长和圆的大小有关系，圆的大小取决于圆的半径……
（二）探究圆周长与直径的关系
1、让我们来做一个实验：找一些圆形的物品，分别量出它们的周长和直径，并算出周长和直径的比值，把结果填入下表中，看看有什么发现。
通过计算发现：原来一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些。
2、认识圆周率
其实，早就有人研究了周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π＝3.1415926535……但在实际应用中常常只取它的近似值，例如π≈3.14。如果用C表示圆的周长，就有：
（三）学习例1
三、知识应用
四、介绍数学史
五、布置作业
第65页练习十四，第1题～第6题。
六、补充练习
（一）判断．
1．Π=3.14 （ ）
2．计算圆的周长必须知道圆的直径. （ ）
3．只要知道圆的半径或直径，就可以求圆的周长。（ ）
（二）选择．
1．较大的圆的圆周率（ ）较小的圆的圆周率．
a 大于 b 小于 c 等于
2．半圆的周长（ ）圆周长．
a 大于 b 小于 c 等于
3、实践操作
（1）老师家里有一块圆形的桌布，直径为1米。为了美观，准备在桌布边缘镶上一圈花边。请问，老师至少需要准备多长的花边？
（2）请同学们以小组为单位，画一个周长是12.56厘米的圆，先讨论如何画，再操作．
七、板书设计;
5.2 圆的周长
圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长.
C=πd C=2πr
根据上两个公式，推到：
直径=周长÷圆周率 半径=周长÷（圆周率×2）
八、课后反思
5.3 圆的面积（1）
教学目标：
知识与技能：通过操作、观察，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能解决一些简单的实际问题。
过程与方法：培养学生观察、分析、推理和概括的能力，发展学生的空间观念，并渗透极限、转化的数学思想。通过小组合作交流，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实践和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。
情感态度与价值观：在圆面积计算公式的推导过程中，运用转化的思考方法，通过让学生观察“曲”与“直”的转化，向学生渗透极限的思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
教学重点：通过观察操作，推导出圆面积公式及其应用。
教学难点：极限思想的渗透与圆面积公式的推导过程。
教学教具：课件
教学过程：
一、问题引入
怎样计算一个圆的面积呢？
能不能和学过的图形联系起来呢？如果知道了圆的半径，可以计算出图中圆内外的两个正方形的面积，圆的面积介于这两个正方形面积之间。
二、探究新知
（一）探索圆面积的计算方法
1、你们还有别的方法吗？动画课件
从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的长近似（ ），宽近似于（ ）。
因为长方形的面积＝（ ）×（ ）
所以圆面积＝（ ）×（ ）＝（ ）
如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ：
（二）应用公式
例1：圆形草坪的直径是20m，每平方米草皮8元，铺满草坪需要多少钱？
分析：从题目中你都知道了什么？要求铺满草坪需要多少钱，先要求出圆形草坪的面积是多少平方米。
解： 20÷2＝10（m）
314×8＝2512（元）
3.14×10²＝314（m²）
答：铺满草皮需要2512元。
（三）探索圆环面积的计算方法
例2：光盘的银色部分是一个圆环，内圆半径是2cm，外圆半径是6cm。圆环的面积是多少？
解：方法一： 3.14×6²－3.14×2²
＝113.04－12.56
＝100.48（cm²）
方法二：3.14×（6²－2²）
＝3.14×32
＝100.48（cm²）
答：圆环的面积是100.48 cm²。
三、课堂练习
1. 一个圆形茶几桌面的直径是1m，它的面积是多少平方米？
1÷2＝0.5（m）
3.14×0.5²＝0.785（m²）
答：它的面积是0.785m²。先求出半径，再求圆的面积。
2. 一个圆形环岛的直径是50m，中间是一个直径为10m的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是多少？
3.14×（25²－5²）
＝3.14×600
＝1884（m²）
要求草坪的占地面积，也就是求圆环的面积。
四、布置作业
第71页，练习十五，第2题～第4题。 第72页，第5题。
五、板书设计：
圆的面积
例题：
六、课后反思：
5.4 圆的面积（2）
教学目标：
知识与技能：通过操作、观察，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能解决一些简单的实际问题。
过程与方法：培养学生观察、分析、推理和概括的能力，发展学生的空间观念，并渗透极限、转化的数学思想。通过小组合作交流，培养学生的合作精神和创新意识，提高动手实践和数学交流的能力，体验数学探究的乐趣和成功。
情感态度与价值观：在圆面积计算公式的推导过程中，运用转化的思考方法，通过让学生观察“曲”与“直”的转化，向学生渗透极限的思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
一、复习旧知
1. 一个圆的周长是12.56cm，求它的半径？12.56÷3.14÷2＝2（cm）
2. 一个圆形茶几面的半径是3dm ，它的面积是多少平方分米？3.14×3²＝28.26（dm²）
二、探究新知
例3：中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？
分析：上图中两个圆的半径都是1m，怎样求正方形和圆之间部分的面积呢？题目中都告诉了我们什么？你能解决这个问题吗？那么我们解答得对不对呢？有什么方法验证吗？
如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？当r＝1 m时，和前面的结果完全一致。
解：从图1中可以看出：
2×2=4(m2 )
3.14×12=3.14
4-3.14=0.86m2
从图2中可以看出： 图1
（1/2×2×1）×2=2(m2 )
3.14-2=1.14 (m2 )
三、知识应用
（一）解决问题。
右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24.8 cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？
（二）生活中的数学。车轮，井盖
四、布置作业
第72页练习十五，第9题。 第73页练习十五，第10题～第14题。
五、板书设计：
5.4 圆的面积（2）
例题：
六、课后反思
5.5 扇形
一、复习旧知
1、你能指出这个圆的圆心、半径和直径吗？（出示课件）
2、一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长25.12m，它的占地面积是多少平方米？
二、探究新知
1、什么是扇形？
2、这些物体的外形有什么相同的地方？
3、认识扇形
图上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、下面各图中，哪些角是圆心角？
5、找特点
在同一个圆中，扇形的大小与什么有关系呢？
三、知识应用
1、 指出下列物体中的扇形。
2、 下面各图中的实线围成的图形是扇形吗？
四、布置作业
第76页练习十六，第2题～第4题。
五、板书设计：
5.5 扇形
例题：
六、课后反思：
确定起跑线
教学目标：
知识与技能：通过该活动让学生了解田径场跑道的结构，学会确定起跑线的方法。
过程与方法：通过活动培养学生利用小组合作探究解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过活动让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学在体育等领域的广泛应用。
教学重难点：通过该活动让学生了解田径场跑道的结构，学会确定起跑线的方法。感受到数学在体育等领域的广泛应用。
教学教具：课件
教学过程：
课前谈话：同学们，11月12日我国在广州承办了第十六届亚洲运动会，我国的体育健儿们努力拼搏取得了优异的成绩。 今天，我们一同来欣赏两个精彩的比赛片段，你们注意观察它们的起点位置和终点位置。
一、创设情景，提出问题
1．情景导入：（100米和400米的比赛实况录像）
师：同学们对刚刚的两场比赛有什么看法？
生：终点位置相同，起点位置不同。
2．赛事回放：欣赏运动场上运动员起跑时的图片。
师：对比这两组图片，你们看到了什么？为什么？
生：100米起跑在直道，距离相等；400米要经过弯道，起点不一样在弯道。）
师:同学们的想法与我们体育比赛中的想法一样，进行400米的比赛。如果从同一条起跑线起跑，外道比内道长，相邻跑道之间有差距，那就不公平了。为了公平的原则 ，400米比赛时会将起跑线依次向前移。那么这个距离可以随便移动的吗?如果不是随便移动的，各跑道的起跑线应该相差多少米呢？
4．揭示课题：今天，我们就带着这个问题走进运动场，用我们的知识找出相邻起跑线相差多少米?确定一个公平的起跑线。(板书课题)
二、观察跑道，探究问题
(一)了解跑道结构：（出示完整跑道图）
这是一个标准的运动场平面图。一般来说，标准跑道是400米，共有8个道，最里面的一条我们通常叫做第一跑道，从里到外一次是1到8跑道。同学们这个400米的运动场400米指的是哪条跑道？（第一条跑道的内侧线）同学们还看懂了什么？
生1：直道长都是85.96米，跑道宽是1.25米，第一条跑道的半圆形弯道的直径是72.6米。
生2：每一条跑道的两个弯道能组成一个圆。
师：一条跑道由哪几部分组成（课件演示一条跑道）（两个直道和两个弯道）。在跑道上跑一圈的长度可以看成是哪几部分的和?
(出示：跑道一圈长度=2个弯道长度+2个直道长度)
师：85．96米是指哪部分的长度?一条直道吗?400米比赛，运动员绕着每条跑道跑，各跑道之间的差距会在跑道的哪一部分呢?
生：差距在两个弯道。
(二)讨论寻求解决方法：
1、请同学们拿出第一张学具，以小组为单位进行讨论。
*、友情提示：
（1）、弯道是什么形状？左右两个半圆形的弯道合起来是一个什么图形?
（2）、怎样找出相邻弯道的差距?相邻弯道差距其实就是谁的长度之差?
（3）、怎样求相邻跑道的长度差？
2、汇报讨论结果。（只要计算出各圆的周长，算出相邻两圆周长相差多少米，就知道相邻跑道的差距，也就是相邻起跑线相差多少米；求出跑道的全长,或求出跑道的弯道长，可以求跑道差了）
3、同学们开动脑筋，说得很好，下面请你们拿出第二张学具，以小组为单位，首先算一算第一条和第二条跑道的起点相差的距离是多少？（计算过程中，答案保留两位小数）算完后再把计算的结果填在表格中。 （提醒表格中的周长和全长各指什么？）
方法一：第一圈圆周长：3.14159×72.6≈ 228.08米
跑道一周的长度：85.96×2 + 228.08≈400米
第二圈圆周长：3.14159×75.1≈ 235.93米
跑道一周的长度：85.96×2+235.93= 407.85米
两条跑道的差是：407.85-400=7.85米
师：我们刚才的计算是先算两个圆的周长，再算全长，最后算两条跑道的差 ，计算起来很复杂，有没有什么简单些的方法。
方法二：直接用相邻跑道的外圆和内圆的周长相减。
3.14159×75.1-3.14159×72.6=7.85（米）
相邻两条跑道的差=相邻外圆周长一内圆周长
方法三：用相邻外圆直径与内圆直径的差×π
（75.1-72.6）×π=7.85（米）
相邻两条跑道的差=(相邻外圆直径-内圆直径) ×π
（引导学生观察直径差两个道宽，即道宽的2倍）
方法四：相邻两条跑道的差=道宽×2×π，（板书）
1.25×2×3.14159=7.85（米）
4、对比这四种方法，你们喜欢哪一种?为什么？
生：最后一种。我们只知道一个条件就可以算出相邻两跑道的差。能给我们的计算带来很大的方便。
师：根据我们刚刚发现的规律其它相邻两个跑道的差能算么？把剩下的填完整。
师：经过同学们的不断努力我们最终得出了什么结论？到底要前移多少米呢?
生：每相邻两条跑道的差都是7.85米，也就是说，每相邻的外跑道的起跑线在内跑道前7.85米的地方。
过渡：刚刚我们学会了怎样计算道差，接下来解决几道生活中的问题。
三、巩固练习，实践应用
师：在一次动物运动会，它们在比赛时调整了道宽，你能帮它们计算每道应依次提前多少米吗?
1、400米的跑步比赛，道宽为1．5米，起跑线该依次提前多少米?
1．5×2×π=3×3．14=9．42(米)
2、刚才这个运动场进行的是400米赛，如果要进行200米的比赛，道宽为1．25米，起跑线又该依次提前多少米?
生1：道宽与前面的400米一样，我可以用前面算的7．85米除以2是3．925米。
生2：200米的比赛就只跑了400米的一半，跑了一个弯道．只增加了一个道宽，就可以直接用道宽×π。
四、总结：
谈一谈，这节课你有什么收获?
五、拓展延伸，自我评价
我们学校的运动场跑一圈是200米（课件出示图）元旦准备举行200米的田径赛，你们帮忙算算每相邻两道的差是多少米呢？
六、板书设计：
确定起跑线
相邻两条跑道的差=道宽×2×π
1.25×2×3.14159=7.85（米）
七、课后反思：
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