二次函数与一元二次方程
教学过程
一、导入新课
我们以前学习了一次函数,并从一次函数的角度看一元一次方程,认识了一次函数与一元一次方程的联系.今天节我们学习二次函数,并从二次函数的角度看一元二次方程,从而认识二次函数与一元二次方程的联系.
二、新课教学
问题如图(见教材图22.2-1),以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系
h=20t-5t2.
考虑以下问题:
(1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能,需要多少飞行时间?
(2)小球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多少飞行时间?
(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?
(4)小球从飞出到落地要用多少时间?
教师引导学生阅读例题,请大家先发表自己的看法,然后解答.师生互动,完成上面4个问题.
(1)当小球飞行1s和3s时,它的飞行高度为15m.
(2)当小球飞行2 s时,它的飞行高度为20 m.
(3)方程无实数根.这就是说,小球的飞行高度达不到20.5 m.
(4)当小球飞行0 s和4s时,它的高度为0 m.这表明小球从飞行到落地要用4 s.从上图来看,0 s时小球从地面飞出,4 s时小球落回地面.
从上面可以看出,二次函数与一元二次方程联系密切.一般地,我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0.
问题2 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?
(1)y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.
教师引导学生画出函数的图象(下图),然后说说有什么特点和性质.
(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这点的横坐标是3.当x=3时,函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知,方程x2-x+1=0没有实数根.
三、归纳总结
从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以得出如下结论:
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(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根.
四、巩固练习
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解:画出函数y=x2-2x-2的图象(下图),它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7,x2≈2.7.
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
五、课堂小结
今天你学习了什么?有什么收获?
六、布置作业
习题22.2 第2、4题.
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