第一章 特殊平行四边形
1．菱形的性质与判定（一）
一、学生知识状况分析
“菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。
九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。
其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。
再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。
在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。
综上所述，本节的教学目标为：
经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；
在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：设置情境 ，提出课题；第三环节：猜想 、探究与证明；第四环节：性质应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节 课前准备
1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。
2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。
第二环节设置情境 ，提出课题
【教学内容】
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学生：观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。
教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？
学生1：图片中有八年级学过的平行四边形。
教师：请同学们观察，彩图中的平行四边形与 ABCD相比较，还有不同点吗？
学生2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。
教师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。
【教学目的】
通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力。上课时让学生观察图形，从直观上把握菱形的特点，从而给出菱形的定义，让学生明确菱形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”。同时，要让学生体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，从而提高学生学习数学的兴趣。
【注意事项】
学生在通过观察对比得到菱形定义的过程中，会提出菱形的许多性质，如四条边相等、对角相等和对边平行等等，教师要对学生的答案进行积极的有鼓励性的评价，激发学生的学习积极性，同时又要强调菱形不仅是平行四边形，而且有其自身特点“一组邻边相等”，这样强化了菱形的定义，又为下面的教学内容做好了铺垫。
第三环节 猜想 、探究与证明
【教学内容】
1、想一想
①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。
学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。
教师活动：教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。
2、做一做
教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案。组长组织，并汇总结果。
教师活动：教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。
师生结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。
3、证明菱形性质
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教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。
教师活动：展示题目
图1-1
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
师生共析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了。
②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了。
学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理。
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD， AD= BC （菱形的对边相等）.
又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD
∴AO⊥BD
即AC⊥BD
教师活动：展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。
【教学目的】
学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生的活动过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难。
学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征。本环节让学生进行猜想探究和证明，符合学生的认知规律。同时，操作活动得到的结论与逻辑推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华。
【注意事项】
在折纸过程中，教师要与学生探讨折纸的方法
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，明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴，对称轴是菱形对角线所在的直线，而不是菱形的对角线，以便于学生正确迅速找出菱形中的对称关系。掌握数学知识，离不开“实践→认识→再实践→认识”这个重要的数学学习方法，通过说理论证可以使学生充分理解菱形的本质，对这样的过程学生也可以很好的掌握，在这个过程中，教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性。
第四环节 性质应用与巩固
【教学内容】
教师：通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解决一些问题。
教师活动：展示题目
1、例1 如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。
图1-2
师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD ,BD=6，菱形的边长也是6。
②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC。
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AB=AD(菱形的四条边都相等)
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
OB=OD= BD = ×6 =3（菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD=6
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2
∴
∴
2、随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.
已知AB=5cm，AO=4cm 求 BD的长.
师生共析：从图中可以知道AC与BD互相垂直，可以构成直角△AOB，因为AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱形的对角线互相平分，BD为OB
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的两倍，这样就可以很方便的求出BD的数值了。
解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2
∴
∵ 四边形ABCD是菱形
∴BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）
所以，BD的长是6cm.
【教学目的】
学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知识进行了更加深入的认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动探索能力，激发了学生学习的兴趣。
【注意事项】
在此活动中，教师应重点关注以下方面：（1）学生是否提出了不同的解题方法，这种方法的优点和缺点分别是什么；（2）学生的几何语言是否准确、规范、严谨；（3）给学生充分的独立思考时间和交流时间，让学生在合作交流的过程中完成题目，理解所学的知识。
第五环节 课堂小结
【教学内容】
本节课我们探讨了菱形的定义、性质 ，我们来共同总结一下：
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。
【教学目的】
教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力。
【注意事项】
学生们畅所欲言自己的收获，老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，及时引导学生归纳总结本节的知识。
第六环节 布置作业:
课本习题1.1 知识技能 1、2、3 数学理解 4
四、教学设计反思
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1、本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节的知识基础。关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条件得到的。
2、本节授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”。课堂上的折纸活动，可以让学生直观感知图形的特点，还可以激发学生的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质。在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平。
3、教师应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
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