圆
一、教学目标
通过问题的设计，对圆的相关知识与思想方法进行反思，逐步培养提出问题，分析问题的能力；
二、教学重点和难点
重点：在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法
难点：逐步培养提出问题，分析问题的能力
三、教学过程
第三章 圆知识点与练习
（1）圆是到定点的距离 定长的点的集合；圆的内部可以看作是到圆心的距离
半径的点的集合； 圆的外部可以看作是到圆心的距离 半径的点的集合
（2） 点和圆的位置关系：若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆 d r 点P在圆 d r 点P在圆 d r
例1：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米，以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，
则点B、C、D与圆A的位置关系分别为点B在圆A ，点C在圆A ，点D在圆A ，
（3）定理： 的三个点确定一个圆
（4）垂径定理： 垂直于弦的直径 这条弦并且平分弦所对的
推论1 ①平分弦(不是直径)的直径 ，并且
（注：运用垂径定理进行证明几何问题时，常需做出的辅助线的方法①是 ）
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧
例2：如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
例3：在的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800mm，油的最大深度
为200mm，则油槽截面的直径为 。
例4：小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是____
例4图
（例2图） （例3图）
例5： 如图 ，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切于点A，与x轴相交于
点（1，0），（5，0），圆心C在第四象限，则⊙C的半径是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（例5图）
4
（5）圆是轴对称图形，其对称轴是 ；圆也是中心对称图形，
对称中心是
（6） 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ，所对的弦的弦心距
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都
例6：如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC,
则∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
（7） 定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是
（注：当问题中有直径时，常需做出的辅助线②是 ）
例7：如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=350
∠BOC =_______°、∠BDC =_______°
例8：如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC
E
BD 和 CD相等吗？为什么？
BD与 DE的大小有什么关系？为什么？
例9：如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上一点（不与A、B重合），则
cosC的值为_____________.
4
练习1：如图，圆O是△ABC的外接圆，若圆O的半径为1.5，AC=2 ，则SinB的值是（ ）
练习2： 如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为( )
A．1 B. C．2 D．
A
B
C
O
练习2图
A
C
B
O
练习1图
例9图
（8）圆的内接四边形定理： 圆的内接四边形的对角
例10：⊙O中，弦长等于半径的弦，所对的圆周角的度数为
（9）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，
直线L和⊙O相交 d r ； 直线L和⊙O相切d r ；
直线L和⊙O相离d r
例11：在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,
①若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系 ；
②若直线AB与半径为r的⊙C相切，则r的值为 。
③若直线AB与半径为r的⊙C相交，则r的取值范围 。
（10）切线的性质定理 圆的切线垂直于
解有关圆的切线性质辅助线的作法③：___________________________________
切线的判定定理 经过半径的外端并且 的直线是圆的切线
证明圆的切线的方法④：_________________方法⑤：___________________________
例12：如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点，
∠APB＝40°，求∠ACB的度数。
例13：如图在△ABC中AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，
过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F
求证：直线DE是⊙O的切线
例14：知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
4
（2）若⊙O的半径为，求正方形ABCD的边长．
（11）切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，圆心和这一点的连线 两条切线的夹角
推论：圆的外切四边形的两组对边的和
例15：如图，若的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC
于D、E、F，则AF的长为（ ）A、5 B、10 C、7.5 D、4
（12）三角形的内心与外心：
三角形的 的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三角形三条 线的交点．这个交点到三角形的 距离相等。
三 角形的 的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三角形三条 线的交点．这个交点到三角形的 距离相等。
例16：Rt△ABC中，∠C=900，AB=3，BC=4，则△ABC的内切圆的半径为_______
常见结论：Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径 r=
练习3：Rt△ABC中，∠C=900，AB=5，BC=12，则△ABC的内切圆的半径为_______
（13）和圆的有关计算
①扇形的弧长公式为
②扇形面积公式为 或 。
例17：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，则此圆弧的长度是 。
例18：已知扇形的半径为50厘米，圆心角为60°，则此扇形的面积是 。
例19：已知扇形的半径为5厘米，圆心角所对的弧长为4，则此扇形的面积是 。
A．180° B. 90°C．120° D．135°
例20：如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=，
求图中阴影部分的面积。
例21：如图，在矩形ABCD中，，BC=1. 现将矩形ABCD 绕点C顺时针
旋转90°得到矩形，则AD边扫过的面积(阴影部分)为（ ）
A . π B. π C.π D. π
例22：如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于多少?
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