*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
【知识与技能】
1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.
2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式,合适地设置函数解析式,可使计算过程简便.
【过程与方法】
通过例题讲解使学生初步掌握,用待定系数法求二次函数的解析式.
【情感态度】
通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力.
【教学重点】
用待定系数法求二次函数的解析式.
【教学难点】
灵活选择合适的表达式设法.
一、情境导入,初步认识
1.同学们想一想,已知一次函数图象上两个点的坐标,如何用待定系数法求它的解析式?
学生回答:
2.已知二次函数图象上有两个点的坐标,能求出其解析式吗?三个点的坐标呢?
二、思考探究,获取新知
探究1 已知三点求二次函数解析式讲解:教材P21例1,例2.
【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的方法.
探究2 用顶点式求二次函数解析式.
例3 已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0),求二次函数解析式.
【分析】已知抛物线的顶点,设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.
解:∵抛物线顶点为A(1,-4),∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,∵点B(3,0)在图象上,∴0=4a-4,∴a=1,∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
【教学说明】已知顶点坐标,设顶点式比较方便,另外已知函数的最(大或小)值即为顶点纵坐标,对称轴与顶点横坐标一致.
探究3 用交点式求二次函数解析式
例4(甘肃白银中考) 已知一抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).求二次函数解析式.
【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为A(-2,0),B(1,0),可设解析式为交点式:y=a(x-x1)(x-x2).
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解:A(-2,0),B(1,0)在x轴上,设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-1).又∵图象过点C(2,8),∴8=a(2+2)(2-1),∴a=2,∴y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.
【教学说明】因为已知点为抛物线与x轴的交点,解析式可设为交点式,再把第三点代入可得一元一次方程,较一般式所得的三元一次方程简单.
三、运用新知,深化理解
1.若二次函数y=-x2+mx-2的最大值为 ,则m的值为( )
A.17 B.1 C.±17 D.±1
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示,下列判断错误的是( )
A.a<0 B.b>0 C.c>0 D.ab>0
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
4.如图是二次函数y=ax2+3x+a2-1的图象,a的值是 .
5.已知二次函数的图象经过点(0,3),(-3,0),(2,-5),且与x轴交于A、B两点.
(1)试确定此二次函数的解析式;
(2)判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出△PAB的面积;如果不在,试说明理由.
【教学说明】通过练习巩固加深对新知的理解,并适当对题目作简单的提示.第3题根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(-1,0),将此点代入解析式,即可求出a-b+c的值.第4题可根据图象经过原点求出a的值,再考虑开口方向.
【答案】1.C 2.D 3.A 4.-15.
解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.∵二次函数的图象经过点(0,3),(-3,0),(2,-5).∴c=3.∴9a-3b+3=0,4a+2b+3=-5.解得a=-1,b=-2.∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.
(2)∵当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,∴点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.令-x2-2x+3=0,∴x1=-3,x2=1.∴与x轴的交点为(-3,0),(1,0),∴AB=4.即S△PAB=12×4×3=6.
四、师生互动,课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.在学生回答的基础上,教师点评:
3.求二次函数解析式的三种表达式的形式.
(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.
(2)已知顶点坐标:设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k.
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(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2).
1.教材P23第1~3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
用待定系数法求二次函数的表达式有三种基本方法,解题时可根据不同的条件灵活选用.本节内容是二次函数中的重点也是中考考点之一,同学们要通过练习,熟练掌握.
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