2016五年级下册第二单元因数和倍数导学案表格式新人教版.doc

第二单元《因数与倍数》 执笔：项建波 课 题 认识因数和倍数(教材第5页内容，以及第7页练习二的第1题)。‎ 主任务 理解因数和倍数的含义 目 标 预 设 ‎1、从操作活动中理解因数和倍数的意义，会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。‎ ‎2、培养学生抽象、概括的能力，渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义的观点。‎ ‎3、培养学生的合作意识、探索意识，以及热爱数学学习的情 导 学 流 程 板 块 一 ‎1、教师用课件出示口算题。‎ ‎10÷5＝ 16÷2＝ 12÷3＝ 100÷25＝ 150×4＝‎ ‎220÷4＝ 18×4＝ 25×4＝ 24×3＝ 20×86＝‎ 学生口算 ‎2、导入：在乘法算式中，两个因数相乘，得到的结果叫做它们的积。乘法算式表示的是一种相乘的关系，在除法算式中，两个数相除，得到的结果叫做它们的商。除法算式表示的是一种相除的关系，在整数乘法和除法中还有另一种关系，这就是我们这一节课要学习探讨的内容。‎ ‎(板书课题：因数和倍数(1)‎ 板 块 二 ‎1、学习因数和倍数的概念 ‎(1)教师用课件出示教材第5页例1，引导学生观察图上的算式，把这些算式分为两类。‎ 学生说出自己的分类方法，商是整数的分为一类，商不是整数的分为一类。教师以商是整数的第一题为例，板书：12÷2＝6。‎ 教师：在这道除法算式中，被除数和除数都是整数，商也是整数，这时我们就可以说12是2和6的倍数，2和6是12的因数。‎ 谁来说一说其他的式子？‎ 学生回答。‎ 教师板书：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。‎ ‎(2)说一说第一类的算式中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？‎ 学生回答，如：在20÷10＝2中，20是10和2的倍数，10和2是20的因数。或：20是10的倍数，20是2的倍数，10是20的因数，2是20的因数。(3)通过刚才同学们的回答，你发现了什么？‎ ‎ 学生回答，教师板书：倍数与因数是相互依存的。‎ ‎2、举例概括 教师：请同学们注意，为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指的是自然数，而且其中不包括0。‎ ‎ 教师：在自然数中像这样的例子还有很多，我们每个同学都在心中想一个，想好了说给大家听。学生举例，并说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。‎ 教师同时板书。‎ 教师小结：像这样的例子举也举不完，那能不能用比较简洁的方式来叙述因数与倍数的关系呢？‎ 引导学生根据“用字母表示数”的知识表述因数与倍数的关系。‎ 如：M÷N＝P，M、N、P都是非0自然数，那么N和P是M的因数，M是N和P的倍数。‎ A×B＝C，A、B、C、都是非0自然数，那么A和B是C的因数，C是A和B的倍数。‎ 你能从这些数中挑出两个数，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？‎ ‎3、9、15、21、36‎ 学生独立思考并回答。‎ 板 块 三 ‎1、完成教材第5页“做一做”。‎ ‎2、完成教材第7页练习二第1题。‎ ‎3、下面每一组数中，谁是谁的倍数，谁是谁的因数。16和24和2472和820和5‎ ‎4、下面的说法对吗？说出理由。‎ ‎（1）48是6的倍数。‎ ‎（2）在13÷4=3……1中，13是4的倍数。‎ ‎（3）因为3×6=18，所以18是倍数，3和6是因数。‎ 板 块 四 我们一起来回忆一下：‎ 这节课我们重点研究了一个什么问题？你有什么收获呢？‎ 安全教育：课间文明玩耍，不追打，上下楼梯靠右行 ‎ 板 书 设 计 因数和倍数（1）‎ 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。‎ 因数和倍数一般指的是自然数，而且其中不包括0。 ‎ 倍数与因数是相互依存的。‎ 教 学 后 记 五年级下册 第二单元《因数和倍数》 执笔：项建波 课 题 一个数因数的求法和一个数倍数的求法(教材第6页例2、例3，教材第7～8页练习二第2～8题)。‎ 主任务 掌握找一个数的因数和倍数的方法 目 标 预 设 ‎1、通过学习使学生掌握找一个数的因数，倍数的方法；‎ ‎2、学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的；‎ ‎3、能熟练地找一个数的因数和倍数；‎ ‎4、在解决问题的过程中,培养学生思维的有序性、条理性，增强学生的探究意识和求索精神。‎ 导 学 流 程 板 块 一 说出下列各式中谁是谁的因数？谁是谁的倍数？‎ ‎20÷4＝5 6×3＝18‎ 在上面的算式中,6和3都是18的因数,你知道还有哪些数是18的因数吗?18是3的倍数, 你知道还有哪些数是3的倍数吗?这节课我们就来学习如何找一个数的因数和倍数。‎ ‎(板书课题:因数和倍数(2))‎ 板 块 二 ‎（一）找因数：‎ ‎1、出示例1：18的因数有哪几个？‎ 一个数的因数还不止一个，我们一起找找18的因数有哪些？‎ 学生尝试完成后汇报 ‎（18的因数有： 1，2，3，6，9，18）教师：说说看你是怎么找的？（生：用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝…；用乘法一对一对找，如1×18＝18，2×9＝18…）‎ 教师：18的因数中，最小的是几？最大的是几？我们在写的时候一般都是从小到大排列的。‎ ‎2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有哪些？‎ 小组合作交流后汇报，36的因数有： 1，2，3，4，6，9，12，18，36‎ 教师：你是怎么找的？‎ 举错例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36）‎ 教师：这样写可以吗？为什么？（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6）‎ 仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？‎ 教师板书:一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。‎ ‎3、你还想找哪个数的因数？（18、5、42……）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。‎ ‎4、其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：如18的因数。小结：我们找了这么多数的因数，你觉得怎样找才不容易漏掉？x Kb 1.C om ‎ 从最小的自然数1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它的本身，找的过程中一对一对找，写的时候从小到大写。‎ 板 块 三 找倍数：‎ ‎1、我们一起找到了18的因数，那2的倍数你能找出来吗？‎ 小组合作交流后汇报，２的倍数有：2、4、6、8、10、16、……‎ 教师：为什么找不完?‎ 你是怎么找到这些倍数的? (生：只要用2去乘1、乘2、乘3、乘4、…)那么2的倍数最小是几?最大的你能找到吗?‎ ‎2、让学生完成做一做1、2小题：找3和5的倍数。汇报 ‎3的倍数有：3，6，9，12 ‎ 教师：这样写可以吗？为什么？应该怎么改呢？‎ 改写成：3的倍数有：3，6，9，12，…… ‎ 你是怎么找的？（用3分别乘以1，2，3，……）‎ ‎5的倍数有：5，10，15，20，……‎ 教师：表示一个数的倍数情况，除了用这种文字叙述的方法外，还可以用集合来表示2的倍数，3的倍数，5的倍数。‎ 教师：我们知道一个数的因数的个数是有限的，那么一个数的倍数个数是怎么样的呢？ ‎ ‎（一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数）【课堂作业】‎ ‎1.完成课本第7页练习二第2～5题。‎ ‎2.完成教材第8页练习二第6～8题。‎ 板 块 四 ‎【课堂小结】我们一起来回忆一下：‎ 这节课我们重点研究了一个什么问题？你有什么收获呢？‎ 安全教育：课间文明玩耍，不追打，上下楼梯靠右行 ‎ 板 书 设 计 因数和倍数（2）‎ 一个数的因数的个数是有限的，,最小的是1，最大的是它本身．‎ 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数．‎ 教 学 后 记 五年级下册 第二单元《因数与倍数》 执笔：项建波 课 题 ‎2、5的倍数的特征(教材第9页例1，教材第11页练习三第1～2题)。‎ 主任务 通过探索发现2、5的倍数的特征，‎ 目 标 预 设 ‎1、经历自主探索2和5的倍数的特征的过程。 2、知道2、5的倍数的特征，会判断一个自然数是不是2和5的倍数。 3、培养学生的观察、猜想、分析、归纳的能力，愿意与同学交流自己发现的结果，增强学习数学的兴趣。‎ 导 学 流 程 板 块 一 师：同学们，我们一起玩个猜数游戏，好吗？你们任意说出一个自然数，不管是几位数，我都能很快的判断出它是否是2或5的倍数。不信可以试试看。 学生报数，老师答，同时请大家验证。 师：同学们的眼神里闪现出惊讶的目光。你们想知道老师为什么不计算就能马上判断出来吗？学了今天的知识，你们就知道老师猜数的奥秘了。 板书课题：2和5的倍数的特征。 ‎ 板 块 二 ‎1、探索5的倍数特征 （1）引入百数表。 （2）出示课件：百数表，在这些数中找出5的倍数，写出来。 （3）你们找的数和老师找的相同吗？（课件出示百数表） （4）观察5的倍数，你有什么发现？把你的发现说给同桌听听。 （5）归纳：谁来概括一下5的倍数到底有什么特征？板书：个位上是0或5的数都是5的倍数 （6）验证：除了这些数以外，其它5的倍数也有这样的特征吗？请举例验证。请你写一个多位数，并且是5的倍数。 （7）过渡：学习了5的倍数的特征有什么好处？师随机在黑板上写一个数，让学生猜猜它是不是5的倍数。 （8）练一练：下面哪些数是5的倍数？ 240，345，431，490，545，543，709，725，815，922，986，990。 过渡：那172是几的倍数呢？请同学验证。2的倍数有什么特征，想不想研究？下面我们一起研究2的特征。 ‎ 板 块 三 ‎2、‎ 探索2的倍数特征 （1）猜一猜：根据研究5的倍数特征的经验，你猜一猜2的倍数可能会有什么特征呢？  (2)课件出示：百数表找出2的倍数。（小组合作找出所有2的倍数） （3）汇报后，观察2的倍数的特征，看看你刚才的猜测是不是正确。 （4）归纳：2的倍数有怎样的特征？ 板书：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 （5）验证：除了这些数以外，其它2的倍数也有这样的特征吗？请举例验证。 （6）填一填：下面哪些数是2的倍数？1，3，4，11，14，20，23，24，28，31，401，826，740，1000，6431。 让学生独立完成后汇报。 3、奇数、偶数的再认识 自然数按是不是2的倍数来分可分为奇数和偶数两大类，2的倍数都是偶数，不是2的倍数就是奇数。 4、那么既是2的倍数又是5的倍数有什么特征呢？ （1）在5的倍数中找出2的倍数； （2）在2的倍数中找到5的倍数。 比较：判断一个数是不是2或5的倍数，都是看什么？ 结论：个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。 【课堂作业】 1.完成教材第9页“做一做” 。 2. 完成教材第11页练习三第1～2题。‎ 板 块 四 ‎【课堂小结】 ‎ ‎1、现在，你们知道老师猜数的奥秘了吗？现在老师说数，请同学们判断出它是不是5或2的倍数。 2、通过今天的学习，你有什么收获？还有什么问题？ ‎ 安全教育：课间文明玩耍，不追打，上下楼梯靠右行 ‎ 板 书 设 计 第1课时 2、5的倍数的特征 个位上是0或5的数都是5的倍数； 个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数； 个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。‎ 教 学 后 记 五年级下册 第二单元《因数和倍数》 执笔：项建波 课 题 ‎3的倍数的特征（教材第10页的内容及教材第11页练习三的第3~6题）‎ 主任务 理解并掌握3的倍数的特征 目 标 预 设 ‎1、使学生通过观察、猜想、验证、理解并掌握3的倍数的特征。‎ ‎2、引导学生学会判断一个数能否被3整除。‎ ‎3、培养学生分析、判断、概括的能力。X 导 学 流 程 板 块 一 ‎1、学生口述2的倍数的特征，5的倍数的特征。‎ ‎2、练习：下面哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？‎ ‎324 153 345 2460 986 756‎ 教师：看来同学们对于2、5的倍数已经掌握了，那么3的倍数的特征是不是也只看个位就行了？这节课，我们就一起来研究3的倍数的特征。‎ 板书课题：3的倍数的特征。‎ 板 块 二 ‎1、猜一猜：3的倍数有什么特征？‎ ‎2、算一算：先找出10个3的倍数。‎ ‎3×1=3 3×2=6 3×3=9 ‎ ‎3×4=12 3×5=15 3×6=18‎ ‎3×7=21 3×8=24 3×9=27‎ ‎3×10=30……‎ 观察：3的倍数的个位数字有什么特征？能不能只看个位就能判断呢？（不能）‎ 提问：如果老师把这些3的倍数的个位数字和十位数字进行调换，它还是3的倍数吗？（让学生动手验证）‎ ‎12→21 15→51 18→81 24→42 27→72 ‎ 教师：我们发现调换位置后还是3的倍数，那3的倍数有什么奥妙呢？‎ ‎（以四人为一小组、分组讨论，然后汇报）‎ 汇报：如果把3的倍数的各位上的数相加，它们的和是3的倍数。‎ 板 块 三 ‎3、验证：下面各数，哪些数是3的倍数呢？‎ ‎210 54 216 129 9231 9876‎ 小结：从上面可知，一个数各位上的数字之和如果是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。（板书）‎ ‎4、比一比（一组笔算，另一组用规律计算）。‎ 判断下面的数是不是3的倍数。‎ ‎3402 5003 1272 2967‎ ‎5、“做一做”，指导学生完成教材第10页“做一做”。‎ ‎（1）下列数中3的倍数有 。‎ ‎14 35 45 100 332 876 74 88‎ ‎①要求学生说出是怎样判断的。 ‎ ‎②3的倍数有什么特征？‎ ‎(2)提示：①首先要考虑谁的特征？（既是2又是5的倍数，个位数字一定是0）‎ ‎②接着再考虑什么？（最小三位数是100)‎ ‎③最后考虑又是3的倍数。（120）‎ ‎【课堂作业】完成教材第11~12页练习三的第4、6、7、8、9、10、11题。‎ 板 块 四 课堂小结：‎ 同学们，通过今天的学习活动，你有什么收获和感想？‎ 安全教育：课间文明玩耍，不追打，上下楼梯靠右行 ‎ 板 书 设 计 第2课时 3的倍数的特征 ‎ 一个数各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。‎ 教 学 后 记 五年级下册 第二单元《因数与倍数》 执笔：项建波 课 题 ‎2、5、3的倍数特征的练习(教材第12～13页练习三第7～12题)‎ 主任务 会正确判断2、3、5的倍数 目 标 预 设 ‎1、熟练掌握2、3、5倍数的特征，熟练应用2、3、5倍数的特征进行判断。‎ ‎2、会运用2、3、5倍数的特征解决日常生活中的一些问题。‎ ‎3、感受知识应用价值，激发学习数学知识的兴趣，培养和提高学生解决问题以及归纳、整理知识的能力。‎ 导 学 流 程 板 块 一 整理导入 师：同学们都喜欢花吗？你都喜欢些什么花？学生回答。‎ 师：小明的妈妈也非常喜欢花，有一天她去逛花店：玫瑰3元/枝，郁金香5元/枝，马蹄莲10元/枝，她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员50元，找回了13元，小明的妈妈马上就知道找回的钱不对。你知道她是怎么判断的吗？(多媒体出示教材练习三第12页第7题图片)‎ 引导学生分析：由于妈妈买的是马蹄莲和郁金香，马蹄莲10元/枝，所以它的总价是10的倍数，也就是整十数，而郁金香5元/枝，所以它的总价是5的倍数，个位上是0或5，两者合起来的总价一定是几十元或几十五元，因此，服务员找的钱数不对。‎ 小结：5的倍数的和还是5的倍数。‎ 那么：2的倍数的和(还是2的倍数)，3的倍数的和(还是3的倍数)。‎ 师：同学们灵活地利用了5的倍数的特征解决了生活中的实际问题非常了不起，这节课我们就来针对这些内容进行相关的练习。新 课 标 第 一 网 板书课题：2、5、3的倍数特征的练习 板 块 二 归纳提高 ‎1、2、5的倍数，都只要判断哪个数位上的数就可以了？3的倍数怎样判断呢？引领学生回顾，梳理2、3、5的倍数特征。‎ ‎2、你能否一眼看出下列各数一定有一个什么因数(1除外)，为什么？‎ ‎2940、305、850、723、9981、332、351、1570．‎ ‎3、什么叫奇数？什么叫偶数？‎ ‎4、(1)在8，35，96，102，3.2，111，840，1060，14中，奇数有( )，偶数有( )，是3的倍数有( )，是5的倍数有( )，同时是2、5、3的倍数有( )。‎ ‎(2)最大的三位偶数是( )，最小的二位奇数是( )。‎ ‎(3)同时是2、3、5的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。‎ 板 块 三 课堂作业 ‎ 学生独立做教材第12～13页练习三第8～12题 板 块 四 课堂小结 ‎ 提问：同学们，这节课我们对2、3、5倍数的特征进行了练习，这节课你有什么收获？‎ 实际上运用我们学过的数学知识可以解决很多的实际问题，只要我们用心思考，善于用数学的眼光去观察，分析，相信大家还会有更多的收获！‎ 课后作业 阅读了解教材第13页练习三后面“生活中的数学”和“你知道吗？”‎ 安全教育：课间文明玩耍，不追打，上下楼梯靠右行 ‎ 板 书 设 计 教 学 后 记 五年级下册 第二单元《因数和倍数》 执笔：项建波 课 题 质数和合数（课本第14页例1及第16页练习四1~3题）。‎ 主任务 质数、合数的意义。‎ 目 标 预 设 ‎1、使学生能理解质数、合数的意义，会正确判断一个数是质数还是合数。‎ ‎2、知道100以内的质数，熟悉20以内的质数。‎ ‎3、培养学生自主探索、独立思考、合作交流的能力。‎ ‎4、让学生在学习活动中体验到学习数学的乐趣，培养学习数学的兴趣。‎ 导 学 流 程 板 块 一 ‎1、什么叫因数？‎ ‎2、自然数分几类？（奇数和偶数）‎ 教师：自然数还有一种新的分类方法，就是按一个数的因数个数来分，今天这节课我们就来学习这种分类方法。‎ 板 块 二 ‎1、学习质数、合数的概念。‎ ‎（1）写出1~20各数的因数。（学生动手完成）‎ 点四位学生上黑板板演，教师注意指导。‎ ‎（2）根据写出的因数的个数进行分类。（填写下表）‎ ‎（3）教学质数和合数概念。‎ 针对表格提问：什么数只有两个因数，这两个因数一定是什么数？‎ 教师：只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。‎ 如果一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（板书）2、教学质数和合数的判断。新 课 标 第 一 网 判断下列各数中哪些是质数，哪些是合数。‎ ‎17 22 29 35 37 87 93 96‎ 教师引导学生应该怎样去判断一个数是质数还是合数（根据因数的个数来判断）‎ 质数：17 29 37‎ 合数：22 35 87 93 96‎ 板 块 三 ‎3、出示课本第14页例题1。‎ 找出100以内的质数，做一个质数表。‎ ‎（1）提问：如何很快地制作一张100以内的质数表？‎ ‎（2）汇报：‎ ‎①根据质数的概念逐个判断。‎ ‎②用筛选法排除。‎ ‎③注意1既不是质数，也不是合数。‎ 课堂作业 完成教材第16页练习四的第1~3题。‎ 板 块 四 课堂小结 这节课，同学们又学到了什么新的本领？‎ 安全教育：课间文明玩耍，不追打，上下楼梯靠右行 ‎ 板 书 设 计 质数和合数（1）‎ 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。‎ 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。‎ ‎1既不是质数，也不是合数。‎ 教 学 后 记 五年级下册 第二单元《因数与倍数》 执笔：项建波 课 题 数的奇偶性(教材第15页例2，以及第16～17页练习四第4～7题)。‎ 主任务 探索并理解数的奇偶性。‎ 目 标 预 设 ‎1、经历探索加减法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现加法中的数的奇偶性的变化规律，在活动中体验研究方法，提高推理能力。‎ 使学生体会到生活中处处有数学，增强学好数学的信心和应用数学的意识。‎ 导 学 流 程 板 块 一 同学们喜欢做游戏吗？今天老师就和你们一起来做抽奖游戏。其实在抽奖游戏中蕴含着许多数学规律，今天老师就看谁细心观察，在抽奖游戏中获得数学规律。同学们想要奖品吗？那就要看你们的运气了。‎ 板 块 二 ‎1、探索规律 游戏一：出示盒子，里面装的都是偶数。‎ 游戏规则如下：从盒子中任意取出两张卡片，如果两个数的和是奇数就可以领到精美礼品一份。‎ ‎（1）如果继续玩下去有中奖的可能吗？什么原因拿不到礼物呢？‎ ‎（2）总结规律：偶数+偶数=偶数 ‎（3）你能说说为什么吗？（偶数除以２余０，两个偶数相加的和除以２还是余０。所以：偶数+偶数=偶数）‎ 游戏二：出示盒子，里面装的都是奇数 游戏规则如下：从盒子中任意取出两张卡片，如果两个数的和是奇数就可以领到精美礼品一份。‎ ‎（1）如果继续玩下去有中奖的可能吗？什么原因拿不到礼物呢？‎ ‎（2）总结规律：奇数+奇数=偶数 ‎（3）你能说说为什么吗？（奇数除以２余１，两个奇数相加的和除以２正好余２。也就是没有余数了，所以：奇数+奇数=偶数）‎ 游戏三：怎样修改游戏规则能得到奖品呢?‎ ‎（1）两个盒子里各抽出一张卡片，就会中奖。‎ ‎（2）总结规律：偶数+奇数=奇数 ‎（3）你能说说为什么吗？（奇数除以２余１，偶数除以２余０，一个奇数加一个偶数的和除以2还余1．所以：偶数+奇数=奇数）‎ 板 块 ‎2、验证规律 这些卡片都是老师设计好的，仅仅靠卡片上的数，我们就下定论似乎还早了些。我们还需要什么呀？对，还需要进一步的“验证”‎ 三 ‎，那么就请你再自己任意出几个数，验证一下这三种情况吧。验证后把你的结论跟小组同学交流一下。‎ 独立完成后小组交流，并汇报发现的奇偶数规律。（偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数）生齐读一遍 练一练：不用计算判断下列算式的结果是奇数还是偶数吗? ‎ ‎10389+2004 11387+131 268+1024‎ ‎3721+2007 22280+102 38800-345‎ 课堂作业 ‎ 完成教材第16～17页练习四第4～7题。‎ 板 块 四 课堂小结 ‎ 通过今天的学习，我们发现数学知识与我们的生活实际是有着非常紧密的联系的。只要我们大家在今后的学习生活中多用眼观察，多用脑去想，更重要的是多用手去做的话。数学知识就非常简单了．‎ 安全教育：课间文明玩耍，不追打，上下楼梯靠右行 ‎ 板 书 设 计 质数和合数（2）‎ 数的奇偶性 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数 教 学 后 记