2．3.1 等比数列
整体设计
教学分析
等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．
等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．
等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．
由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．
大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法，所有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现．
三维目标
1．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．
2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．
3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．
重点难点
19
教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．
教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(情境引入)将一张厚度为0.044 mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1 000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296 m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一张报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．
思路2.(实例导入)先给出四个数列：
1,2,4,8,16，……
1，－1,1，－1,1，……
－4,2，－1，……
1,1,1,1,1，……
由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课．
推进新课
(1)回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.
(2)阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.
(3)观察数列①②③，它们有什么共同的特征？你能再举出2个与其特征相同的数列吗？
(4)类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？
19
(5)类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？
(6)你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？
(7)类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？
(8)类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？
活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．
引导学生发现数列①②③的共同特点：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－.
也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：
一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－.
①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a1＝a，an＋1＝an·q(n＝1,2,3，…)．
②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.
教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．
③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.
④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．如果G是x和y的等比中项，那么＝，即G2＝xy，G＝±
19
.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．
课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，
……
归纳得到an＝a1＋(n－1)d.
类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：
a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……
归纳得到an＝a1qn－1.
这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．
下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：
∵{an}是等比数列，
∴＝q，＝q，＝q，…，＝q.
把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，则可得到
＝qn－1，
于是得到an＝a1qn－1.
对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：
(1)不要把公式错误地写成an＝a1qn.
(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.
(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.
19
(4)类比等差数列中d＞0，d＜0时的情况，若q＞0，则相邻两项符号同号，若q＜0，则各项符号异号；若q＝1，则等比数列为非零常数列；若q＝－1，则为如2，－2,2，－2，…这样的数列；若|q|＜1，则数列各项的绝对值递减．
最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．
等差数列
等比数列
定义
从第2项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数
从第2项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数
首项、公差(公比)取值有无限制
没有任何限制
首项、公比都不能为0
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
讨论结果：(1)～(3)略．
(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
(5)并不是所有的两个数都有等比中项．
(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．
(7)(8)略．
例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．
(1)an＝2n；
(2)an＝·10n.
活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问．
解：(1)an＝2·2n－1，
∴a1＝2，q＝2.
19
(2)∵an＝·10·10n－1，
∴a1＝×10＝，q＝10.
点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2.
变式训练
设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )
A. B. C. D．1
答案：A
解析：由题意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，
∴＝＝.
例2(教材本节例3)
活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．
点评：解完本例后，启发引导学生观察a5，a10，a15，a20的规律．
变式训练
已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
∵a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18.
∴an＝18×()n－1＝＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
19
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
例3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
活动：教师引导学生观察，数列{an}不是等差数列，也不是等比数列，要求an的表达式，通过转化{an＋1}是等比数列来求解．
解：(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
∵a1＝1，故a1＋1≠0，则有＝2.
∴{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1，即an＝2n－1.
点评：教师引导学生进行解后反思．如本题(1)，不能忽视对an＋1≠0的说明，因为在等比数列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否则解题会出现漏洞．
变式训练
已知数列{lgan}是等差数列，求证：{an}是等比数列．
证明：∵{lgan}是等差数列，设公差为d，
则lgan＋1－lgan＝d，即＝10d(常数)．
∴{an}是等比数列．
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
2．在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为，则项数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：
1．A 解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，知q＝2，a1＝1.
19
所以a7＝a1·q6＝64.
2．B 解析：设等比数列为{an}．
又∵a1＝，q＝，an＝，∴qn－1＝，即()n－1＝.
∴n－1＝3，n＝4，即项数为4.
1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法．可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出．
2．教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法．
课本习题2—3 A组1；习题2—3 B组1.
设计感想
本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移；让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．
本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题；储蓄，分期付款的有关计算等等．教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义．
本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体．新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的．
(设计者：张晓君)
第2课时
19
导入新课
思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明等比数列的性质．这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念．
思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课．(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)
推进新课
(1)回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.
(2)回忆怎样证明一个数列是等比数列？
(3)类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.
(4)类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论？
活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究”中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为an＝2n－1的数列的图象和函数y＝2x－1的图象的关系．然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系．事实上，等比数列的通项公式可整理为an＝qn，而y＝qx(q≠1)是一个不为零的常数与指数函数qx的乘积．从图象上看，表示数列{qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．
19
和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究．
就任一等差数列{an}，计算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你发现了什么规律？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？
在等差数列{an}中，我们已经探究了，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，那么我们可以类比猜想：对于等比数列{an}，若m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，则am·an＝ap·as.让学生对此给出证明．
证明：设等比数列{an}的公比为q，
则有am·an＝a1·qm－1·a1·qn－1＝a·qm＋n－2，ap·as＝a1qp－1·a1qs－1＝a·qp＋s－2，
∵m＋n＝p＋s，∴有am·an＝ap·as.
经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{an}中，若m＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，则有am·an＝ap·as.
结合等比中项，我们很容易有这样的结论：
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．
结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：
1．等比数列的判断方法
(1)an＝an－1·q(n≥2，q是不等于零的常数，an－1≠0){an}是等比数列．
(2)a＝an－1·an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0){an}是等比数列．
(3)an＝c·qn(c、q均是不为零的常数){an}是等比数列．
2．主要性质
(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列，当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an
19
}是摆动数列．
(2)an＝am·qn－m(m、n∈N*)．
(3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有am·an＝ap·aq.
(4)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．
(5)数列{an}中，公比q≠1，则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．
学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．
讨论结果：(1)让学生默写．
(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a＝an－1·an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0){an}是等比数列．
(3)等比数列的通项公式是关于n的指数型函数．
(4)最常用的是活动中的第3个性质．
例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．
活动：本例是课本上例题3，由题意知a3＝12，a4＝18，求a1，a2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项．这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系．
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①
a1q3＝18.②
②÷①，得q＝，③
把③代入①，得a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8.
答：这个数列的第1项和第2项分别是与8.
点评：通过本题让学生体会方程思想．
变式训练
在等比数列{an}中，a5·a7＝6，a2＋a10＝5，则等于( )
19
A．－或－ B. C. D.或
答案：D
解析：∵a5·a7＝a2·a10，由
得或
∴＝＝或＝.
例2(1)在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝100，求a18；
(2)在等比数列{bn}中，b4＝3，求该数列前七项之积；
(3)在等比数列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.
活动：本例三个小题属基本概念题，让学生合作交流完成，充分让学生思考探究，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程．
解：(1)∵a1a18＝a9a10，∴a18＝＝＝20.
(2)b1b2b3b4b5b6b7＝(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.
∵b＝b1b7＝b2b6＝b3b5，∴前七项之积为(32)3×3＝37＝2 187.
(3)∵a5是a2与a8的等比中项，∴542＝a8×(－2)．∴a8＝－1 458.
另解：a8＝a5q3＝a5·＝54×＝－1 458.
点评：通过本例，让学生熟悉公式，善于联想，善于将解题过程简化．
变式训练
已知等比数列{an}中，a1＋a3＝15，且a1＋a2＋a3＋a4＝45.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝11－log2，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q.
由题意得解得q＝2，a1＝3，
19
∴an＝3·2n－1.
(2)由(1)得a2n＋1＝3·22n，∴bn＝11－log2＝11－2n.
∴数列{bn}是首项为9，公差为－2的等差数列．
从而Sn＝＝－n2＋10n.
例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
活动：教师引导学生分析题意，因为所求三个数成等差数列，它们的和已知，故可设这三个数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a、d的两个方程，通过解方程组即可获解．
解：设所求三个数为a－d，a，a＋d，
则由题设得
解此方程组，得a＝5，d＝2.∴所求三个数为3,5,7.
点评：此类问题要注意设未知数的技巧．若设所求三个数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将过于繁杂．因此在计算过程中，应尽可能地少设未知数．
例4根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？
活动：本题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式．这种题型难度较大．但本题用程序框图给出了数列的前5项，而递推公式就包含在程序框图中，这就大大降低了题目的难度．教学时教师可引导学生回顾程序框图，引导学生思考如何判断一个数列是等比数列．
19
解：若将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，…，
可知a1＝1，a2＝a1×，a3＝a2×.
于是，可得递推公式
由于＝，
因此，这个数列是等比数列．
其通项公式是an＝()n－1.
点评：通过本题让学生明确，要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，是一个常数即可，同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列．
1．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.
2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年)
答案：
1．解：∵a1a3＝a，∴a1·a2·a3＝a＝8.∴a2＝2.
从而
解之，得或
当a1＝1时，q＝2，当a1＝4时，q＝.
∴an＝2n－1或an＝4·()n－1＝23－n(n∈N*)．
点评：本例解答中易产生的错误是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分别得出q＝±2或q＝±.求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝4·()n－1或an＝4·(－)n－1.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于a2＝2，a1＞0，必有q＞0这一隐含条件．
2．解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列，其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5，
用计算器算得n≈4.
19
答：这种物质的半衰期大约为4年．
点评：本例是一道应用题，反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题．在解题过程中，用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质，本题重在让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．
1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的性质，等比数列与指数函数的关系．对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列则可以与指数函数联系起来．
2．学习本节内容应注意等比数列定义的运用，灵活选设未知数，注意总结常用解题技巧．有关本内容的高考题主要体现在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模能力上，并能用这些知识解决一些实际问题．
课本习题2—3 A组2、3、4.
设计感想
本教案设计突出了教学梯度．因为从实际教学来看，对这部分内容的学习不少同学仍然是困难重重，从中折射出他们学习方式存在的问题，死记硬背仍然是公式学习的主要形式．在练习环节，不少学生只会做与课本例题完全一致的习题，如果稍加变式，就束手无策，反映出数学思维的僵化及简单．但是训练学生的思维能力，提升学生的思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是提升教学效果的关键．因此在设计梯度方面注重了一题多解，这有助于学生思维的发散性及灵活性的培养，以及克服思维的僵化，变式教学又可以提升思维视野的广度，题后反思有助于学生思维批判性品质的提升．
本教案设计注重了教学过程的更优化、更合理化，因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式机械解题，这样的学生面对新问题就会束手无策，更不利于今后的创新式高考．
本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段，本节课可以划分为三个阶段，第一阶段是等比数列性质的推得和理解过程；第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程；第三阶段是归纳小结．这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主．这样便于学生课堂推进，也便于教师对整个课堂的宏观调控．
19
备课资料
一、备用例题
例1.已知无穷数列10，10，10，…，10，….
求证：(1)这个数列成等比数列；
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
例2.设a，b，c，d均为非零实数，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
求证：a，b，c成等比数列且公比为d.
证法一：关于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根，
∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0.
则必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．
设公比为q，则b＝aq，c＝aq2，代入
(a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0.
∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0.
证法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0.
∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b，且bd＝c.
∵a，b，c，d非零，∴＝＝d.∴a，b，c成等比数列且公比为d.
二、备用习题
1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230
19
，则a3·a6·a9·…·a30等于( )
A．210 B．220 C．216 D．215
3．各项为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于 …… ( )
A．33 B．72 C．84 D．189
4．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________．
5．在等比数列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3·a5＝18，a4·a8＝72，求q.
6．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比较an＋1与bn＋1的大小．
参考答案：
1．答案：C
解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，得a＝a2a6，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)．
∴d＝－2a1.
设等比数列的公比为q，则q＝＝3.
2．答案：B
解析：由a1a2a3a4…a30＝230，得
···…·＝230，
∴a·a·a·…·a＝(2q)30.
∴a3·a6·a9·…·a30＝220.
3．答案：C
解析：由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
4．答案：216
19
解析：设插入的三个数为a、b、c，则b2＝×＝4×9＝ac，
所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.
5．解：(1)∵a9＝a1·q8，∴256·q8＝1，即q＝±.
当q＝时，a12＝a1·q11＝256·＝；
当q＝－时，a12＝a1·q11＝256×(－)11＝－.
(2)a1·q2·a1·q4＝18，即a·q6＝18.
又a1q3·a1q7＝72，即a·q10＝72.
两式相除得q4＝＝4，∴q＝±.
6．解：由题意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝(q2n－1)．
∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋(q2n－1)－cqn＝(qn－1)2≥0，
∴an＋1≥bn＋1.
三、斐波那契数列的奇妙性质
我们看章头图中的斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．
1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位：
＝1.000 0 ＝2.000 0
＝1.500 0 ＝1.666 7
＝1.600 0 ＝1.625 0
＝1.615 4 ＝1.619 0
＝1.617 6 ＝1.618 2
＝1.618 0 ＝1.618 1
如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618 0与1.618 1之间，它还能准确地用黄金数表示出来．
2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如下图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：
19
3．在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质：
前n项和Sn＝an＋2－1，
anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)，
a＋a＝an－1(n≥2)，
an－2an＝a－(－1)n(n≥3)．
据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{Un}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，Un＋1＝Un＋Un－1命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式Un＋1Un－1－U＝(－1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式Sn＝[()n－()n]，现在称之为比内公式．
世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．
19
微信/支付宝扫码支付