3．2 均值不等式
整体设计
教学分析
均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．
本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．
鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．
三维目标
1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．
2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．
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重点难点
教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式≥的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．
教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式≥等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．
思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．
推进新课
活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a、b的叫做数a、b的算术平均值，数
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叫做a、b的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．
利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，
当a≠b时，有(a－b)2＞0.
当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.
这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．
下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．
如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？
图1
(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝.或由射影定理也可得到CD＝.从图中我们可直观地看到表示的是半弦长，表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：
≥.
显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．
还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则≤
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，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2或2≤a＋b等．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．
(4)若a、b∈R＋，则≤，当且仅当a＝b时，式中等号成立；
若a、b∈R＋，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时，式中等号成立；
若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立．
例1(教材本节例1)
活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的和相当于均值不等式中的a、b.因此必须有，∈R＋.
点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.
变式训练
已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
例2已知(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，求证：＋≥2.
活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意与互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与为正数开始证题．
证明：∵(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，
∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.
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∴ax－ay＋by－bx＞0.
∴(ax－bx)－(ay－by)＞0.
∴(a－b)(x－y)＞0，
即a－b与x－y同号．
∴与均为正数．
∴＋≥2＝2(当且仅当＝时取“＝”)．
∴＋≥2.
点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．
例3若a＞b＞1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则( )
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y＝lgx的单调性．
答案：B
解析：∵a＞b＞1，
∴lga＞lgb＞0.
∴(lga＋lgb)＞·2，即Q＞P.
又∵＞，
∴lg＞lg＝(lga＋lgb)．
∴R＞Q.故P＜Q＜R.
点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．
例4(教材本节例2)
活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．
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点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．
1．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
答案：
1．A 解析：一方面，当a＝时，对任意的正数x，有2x＋＝2x＋≥1；另一方面，对任意正数x，都有2x＋≥1，只要2x＋≥2≥1，即得a≥.
2．[9，＋∞) 解法一：令＝t(t＞0)，
由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得t2≥2t＋3，
解得t≥3，即≥3，故ab≥9.
解法二：由已知得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，
∴b＝(a＞1)．
∴ab＝a·＝[(a－1)＋1]＝a＋3＋＝a－1＋4＋
＝a－1＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当a－1＝时取等号，即a＝b＝3时，ab的最小值为9.
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a＋b与ab的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．
由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．
1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？
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2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数()，几何平均数()及它们的关系(≥)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．
习题3—2A组，4,5,6.习题3—2B组，1,2.
设计感想
1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等．
2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)；二是均值不等式：如果a，b是正数，那么≥(当且仅当a＝b时取“＝”)．在这个不等式中，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．
思路2.(直接导入)通过上节课a2＋b2≥2ab(a、b∈R)与≥(a＞0，b＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．
推进新课
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活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a2＋b2≥2ab的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a2＋b2≥2ab都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0，仍然能使≥成立．
两个不等式中等号成立的条件都是a＝b，故a＝b是不等式中等号成立的充要条件．
在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．
本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．
例1(教材本节例3)
活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．
点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.
变式训练
函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．
答案：8
解析：∵y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，∴A(－2，－1)．
又∵A在直线上，
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∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.
又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0.
而＋＝＋
＝2＋＋2＋≥4＋2×2＝8，
当n＝，m＝时取“＝”．
∴＋的最小值为8.
例2(1)已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．
活动：(1)因为4x－5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x－2)·不是常数，所以应对4x－2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式≥()2更简捷．
解：(1)∵x＜，∴5－4x＞0.
∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．
∴当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－x)2
≥2[]2＝，
当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．
∴当x＝时，ymin＝.
点评：若x、y∈R＋
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，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.
变式训练
已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是__________．
答案：3
解析：方法一：以CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为＋＝1，设P(a，b)，则＋＝1(a＞0，b＞0)．
∴ab＝12··≤12()2＝3，
当且仅当“a＝”时等号成立．
方法二：设P到BC的距离为a，到AC的距离为b.
由相似三角形易得＝，＝，
∴＋＝＝1.以下解法同一．
例3当x＞－1时，求函数f(x)＝的值域．
活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝＝＝x＋1＋－5.
这样就可以应用均值不等式了．
解：∵x＞－1，
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∴x＋1＞0.
∴f(x)＝＝＝x＋1＋－5≥2－5＝2－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝－1时取“＝”．
另一解x＝－－1＜－1(舍去)，故函数值域为[2－5，＋∞)．
点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.
变式训练
已知x1·x2·x3·…·x2 006＝1，且x1、x2、x3、…、x2 006都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)的最小值是__________．
答案：22 006
解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2，
同理，1＋x2≥2，
……
1＋x2 006≥2，
各式相乘，得
(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)≥22 006·＝22 006.
取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1，
∴所求最小值为22 006.
例4设0＜x＜2，求函数f(x)＝的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．
活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝
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，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．
解：∵0＜x＜2，∴8－3x＞0.
∴f(x)＝≤＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时取“＝”．
∴函数f(x)的最大值为4，此时x＝.
又f(x)＝＝，
∴当0＜x＜时，f(x)递增；当x＞时，f(x)递减．
∴当0＜x＜时，原函数f(x)没有最大值．
当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝.
点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．
1．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
2．求函数y＝x＋(x＞0)的最小值，以及此时x的值．
3．已知x、y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
答案：
1．B 解析：当x＝0时，f(x)＝0；当x＞0时，f(x)＝＝≤，当且仅当＝，即x＝1时取等号．
2．解：∵x＞0，∴x＋≥2·＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
∴当x＝1时，x＋的值最小，最小值是2.
3．解：由2x＋8y－xy＝0得y(x－8)＝2x.
∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0.
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∴x＋y＝＋x＝x－8＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12时，x＋y取最小值18.
1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？
2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．
习题3—2A组2、3、7、8、9；习题3—2B组3、4.
设计感想
1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．
2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．
3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．
备课资料
一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)
(1)设a1，a2，a3，…，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝，G＝，即A≥G，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特别地，当n＝2时，≥；当n＝3时，≥.
(2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1
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换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，…，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1＝＝A，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝，
∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)，由a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0，则A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3…an－1(a1＋an－A)＞a1a2…an－1·an，即G1＞G.
二、备用习题
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
2．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则( )
A．P＝Q B．P＜Q C．P≤Q D．P≥Q
3．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( )
A．[，3] B．[2，]
C．[，] D．[3，]
4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．
5．直线l过点M(2,1)且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，O为坐标原点，求△AOB面积最小时l的方程．
6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
参考答案：
1．C 解析：对于选项C：a2＋b2＝≥＝＝2.故C正确．
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2．C 解析：∵a、b、c、d、x、y是正实数，
∴Q＝·
＝
≥
＝＋＝P.
3．B 解析：令t＝f(x)，则t∈[，3]．
∴F(x)＝G(t)＝t＋.该函数在t＝1处取得最小值2，在t＝3处取得最大值.
故选B.
4．20 解析：设一年总费用为y万元，则y＝4·＋4x＝＋4x≥2＝160，当且仅当＝4x，即x＝20时，等号成立．
5．解：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k(k＜0)．
令x＝0，得y＝1－2k；
令y＝0，得x＝＝2－.
∴S△AOB＝(1－2k)(2－)＝2＋＋(－2k)．
∵k＜0，∴－2k＞0.
∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－＝－2k，即k＝－时取等号．
此时l的方程为y＝－x＋2.
6．解： (1)依题意，得y＝≤＝，
当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立，
所以ymax＝≈11.1(千辆/时)．
(2)由条件得＞10，
整理，得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，
解得25＜v＜64.
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答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．
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