3.4 不等式的实际应用
整体设计
教学分析
生活中的许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．不等式有着丰富的实际背景．本节通过具体问题的分析，总结归纳解实际问题的一般程序：设未知数，分析数量关系，列方程和不等式，最后求解．注意培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．本节练习、习题都很基础，要求A组全做，B做选做．
通过本节学习，让学生进一步理解数学在实际中的应用，理解一些数学方法和数学思想，拓宽学生的数学视野．把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述刻画问题的一种数学模型．
三维目标
1．通过具体问题的探究，了解不等式(组)产生的实际背景，掌握解决实际问题的一般程序和一些典型实际问题的解法．
2．通过具体问题的分析解决，提高学生分析问题和解决问题的能力．认识不等式的优化思想．
3．通过对生活中熟悉的实际问题的解决，激发学生学习的热情．培养学生严肃认真的科学态度，同时感受数学的应用性．
重点难点
教学重点：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．掌握一些典型实际问题的解法．
教学难点：用不等式(组)表示实际问题中的数量关系．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接引入)许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．本节我们将用不等式的知识来探究一些实际问题．
6
思路2.(章头图引入)章头插图的人造卫星，高低不一的雄伟大楼的壮观画面，它将我们带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中．使学生在具体情境中感受到不等关系的大量存在．那么我们怎样用不等式的知识表示实际问题呢？由此进入新课．
推进新课
活动：教师利用多媒体演示章头图的画面．引导学生回忆前面所学，对现实世界中普遍存在的不等关系，怎样用数学式子表示出来，并从理性的角度去思考、去分析．我们在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，如每个家庭食品消费额的年平均增长率至多至少问题，容器的容积最大问题，商品的最高最低定价问题等．这些问题的解决都需用不等式的知识．接着教师引导学生回忆前面学过的不等式的性质，以及如何用数学知识解决实际问题．
讨论结果：
(1)(3)略．
(2)解决实际问题的一般程序是：设出未知数，分析数量间的关系，列出方程或不等式，解决这个数学问题．其中的关键是建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量之间的不等关系．
例1(教材本节例1)
活动：教师引导学生将题目中的窗户面积和占地面积用字母a、b表示出来，再用字母m表示出窗户和占地所增加的面积．这样只要比较增加前和增加后窗户的总面积与占地面积的比值的大小，即可作出正确的判断．
点评：由本例可得出一般结论：设a＞0，b＞0，且a＜b，m＞0，则＞.
变式训练
某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成(即，0＜x≤10)，每月卖出数量减少y成，而售货金额变成原来的z倍．若y＝x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．
解：依题意涨价后的售货金额为npz＝p(1＋)·n·(1－)．
6
由售货金额比原来有所增加，
则np(1＋)(1－)＞np.
∵n＞0，p＞0，y＝x，∴(1＋)(1－x)＞1.
整理得x2－5x＜0，解这个一元二次不等式，得0＜x＜5.
又∵0＜x≤10，∴0＜x＜5.故x的取值范围是{x|0＜x＜5}.
例2(教材本节例2)
活动：教师引导学生理清问题的情境，并尝试着用数学语言将其表示出来．这是所有实际问题使学生感到困惑的地方．如本例中教师引导学生分析：若桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药后再用水加满，这时桶内纯农药药液占容积的.同样第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药药液为4·，此时桶内还有纯农药药液[(x－8)－]升．这样，问题就很自然地转化为一个数学不等式问题．
点评：学生或许熟悉解决实际问题的一般步骤或者一般程序，但解决问题的重点应放在怎样选用合适的字母表示出题中给出的不等量关系，进而列出关于未知数的不等式(组)．注意文字语言和符号语言的转换.
变式训练
一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y＝－2x2＋220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？
活动：本例设在一星期内大约应该生产x辆摩托车，则可得一元二次不等式x2－110x＋3 000＜0，解这个一元二次不等式即可．
解：设在一星期内大约应该生产x辆摩托车．根据题意，能得到－2x2＋220x＞6 000.移项、整理，得x2－110x＋3 000＜0.因为Δ＝100＞0，所以方程x2－110x＋3 000＝0有两个实数根x1＝50，x2＝60，然后，画出二次函数y＝x2－110x＋3 000，由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}．因为x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.
6
例3(教材本节例3)
活动：根据上例，教师引导学生将这个实际问题转化为数学问题：(1)设出食品消费额的年平均增长率为x(x＞0)，(2)到2005年的食品消费额为0.6(1＋x)2(万元)，(3)消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．这样根据恩格尔系数η的计算公式η＝×100%，就很容易列出不等式了．
点评：本题采用了“化整为零”的办法，即逐条分析转化．对此类问题的解决，应注意将一个大问题化成若干个小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑.
变式训练
国家计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t，按规定，农民向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)，为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
活动：本例是一道实际应用题，其关键是把文字语言转化为数学语言：(1)“税率降低x个百分点”，即调低后税率为(8－x)%；(2)“收购量能增加2x个百分点”，这时总收购价为2 400m(1＋2x%)元；(3)“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，“税收总收入”≥2 400m×8%×78%.
解：设税率调低后的“税收总收入”为y元．根据题意，得y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)．
∴y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%.
∴x2＋42x－88≤0.
解这个一元二次不等式，得－44≤x≤2.又∵0＜x≤8，∴0＜x≤2.
6
某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h)
解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，
根据题意，得x＋x2＞39.5，
移项、整理，得x2＋9x－7 110＞0.
因为Δ＞0，方程x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.
然后，画出二次函数y＝x2＋9x－7 110，由图象得不等式的解集为{x|x＜－88.94或x＞79.94}．
在这个实际问题中x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.
1．由学生自己理顺整合本节所学知识方法，归纳总结利用不等式解决实际问题的方法步骤，感悟突破难点的探究过程．
2．教师进一步强调，解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数．再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．然后解所列的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．
习题3—4A组1～4；习题3—4B组1.
设计感想
1．本节设计重视了不等式与其他内容的交汇．应用不等式知识可以解决许多实际问题，在解决这些问题时，关键是把实际问题转化为不等式问题．
2．对于实际应用问题，要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物本身的主要特征与关系，建立起能够反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决问题．
6
3．许多实际问题可用不等式解决，这类问题涉及的范围极为广泛，本节没有纵向拓展，让学生在今后的学习中注意归纳整合．
6
微信/支付宝扫码支付