3．5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
整体设计
教学分析
前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义．作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用．然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型．教材通过举例验证和归纳猜想的途径，得出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．
本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应的画法．其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示．
本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程．能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题的重要基础．由于二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，决定了问题的研究应从二元一次不等式所表示的平面区域入手．②注重探究方法．充分理解二元一次不等式解集的几何意义，以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．③注重探究手段．信息技术可作为探究平台，有条件的学校可利用信息技术手段对直线Ax＋By＋C＝0一侧的点P(x，y)的坐标进行跟踪显示，并将点P(x，y)的坐标代入Ax＋By＋C中，观察所得值的符号，由学生发现处于直线Ax＋By＋C＝0同侧的点的坐标代入Ax＋By＋C中符号都相同，直线Ax＋By＋C＝0异侧的点的坐标代入Ax＋By＋C中符号不同，由此得到判定Ax＋By＋C＞0(＜0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
三维目标
1．通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．
2．通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
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3．通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想．尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生大胆探索，勇于创新的科学精神．
重点难点
教学重点：会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．
教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接引入)让学生阅读教材，自己得出二元一次不等式(组)的概念，教师结合多媒体点出本节所要解决的问题，由此展开新课的进一步探究．
思路2.(类比导入)可采用与一元一次、一元二次不等式的类比引出，借助“类比”思想，通过与熟悉的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)比较，引出二元一次不等式(或组)的概念．由此展开新课．
推进新课
活动：教师引导学生得出二元一次不等式(组)的概念后，借助多媒体课件进一步探究二元一次不等式解集的几何意义，以及如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域，以直线l：x＋y－1＝0为例．如图．
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由直线方程的意义可知，直线l上的点的坐标都满足l的方程，并且直线l外的点的坐标都不满足l的方程．
事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0左下方的平面区域内．如(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＞0，(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点在直线x＋y－1＝0的右上方．(－1,2)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＝0，(－1,2)点在直线x＋y－1＝0上．(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＜0，(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)点在直线x＋y－1＝0的左下方．如图．
因此，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立．这个结论不仅对这个具体的例子成立，而且对坐标平面内的任一条直线都成立．
一般地，直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分．直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域．当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断．如把(0,0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.这说明x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧．
如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断．
讨论结果：
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(1)含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式．构成的不等式组称为二元一次不等式组．
(2)二元一次不等式解集的几何意义为：不等式表示的区域或不等式的图象．
(3)取点验证．
(4)将平面内的点分成了三类：在直线上，在直线左右两侧．
例1(教材本节例1)
活动：通过本例要教给学生如何画出二元一次不等式所表示的区域．要严格要求学生按规定画图，并且画图时要细致、正确．注意开区域和闭区域边界的画法．教师要给出示范．直线画成虚线表示不包括边界，画成实线表示包括边界．
点评：本例的关键是正确画出直线2x－y－3＝0和3x＋2y－6＝0.阴影部分用短线表示，且短线要画得均匀美观.
变式训练
画出以下不等式表示的平面区域．
(1)x－y＋1＜0； (2)2x＋3y－6＞0；
(3)2x＋5y－10≥0; (4)4x－3y≤12.
解：(1) (2)
(3) (4)
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例2画出不等式组表示的平面区域．
活动：教师引导学生正确画出边界直线，注意虚线、实线，同时根据给出的不等式判断出所表示的平面区域，将平面区域的公共部分用阴影表示出来．
解：
x＋3y＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合．
x－y＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合．
如下图阴影部分．
点评：在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.
变式训练
1．画出不等式组表示的平面区域．
解：不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0右下方的平面区域，x＋y≥0表示直线x＋y＝0右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如下图中的阴影部分．
点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．引导学生观察所画出的图形是个封闭图形，三条直线两两相交的交点是个实点．
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2．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
答案：
解析：在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，以及直线x＋y＝a从a＝－2到1连续变化时，动直线扫过A中的那部分区域．可以看出，该区域是四边形OCDE(如图)，且C(－2,0)，D(－，)，E(0,1)．因此所求区域的面积为×2×2－×1×＝.
例3画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．
活动：教师引导学生将题中不等式转化为两个不等式组：
或
然后由学生自己操作，教师指导学生严格按要求画图．
解：不等式可转化为不等式组：
或表示的区域，如下图．
点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
变式训练
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1．在平面直角坐标系中，由满足不等式组的点组成的图形为F，则A(4,4)、B(5,0)、C(2，－1)三点中，在F内(含边界)的所有点是________．
答案：A、C
解析：由题意，如图，A(4,4)、C(2，－1)在区域内，B(5,0)不在区域内(也可将点的坐标代入不等式组验证)．
2．已知点A(0,0)、B(1,1)、C(2,0)、D(0,2)，其中不在不等式2x＋y＜4所表示的平面区域内的点是________．
答案：C(2,0)
解析：不等式可变形为2x＋y－4＜0，对应的直线为2x＋y－4＝0.A点是坐标原点，代入2x＋y－4得－4＜0，即原点A在不等式所表示的区域内．把B、C、D点坐标依次代入2x＋y－4，由所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2x＋y－4＝0的同侧或异侧．
可判断出C(2,0)符合条件．(或将点代入验证)
点评：此类型的题的解法，就是将点的坐标代入二元一次不等式，若不等式成立，则可得点在二元一次不等式所表示的区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的区域内.
例4(教材本节例3)
活动：
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教材安排本例的目的是分散难点．首先让学生了解恰当地运用字母表示实际问题中的变量，就可以将复杂的实际问题中的变量关系转化为二元一次不等式组，然后利用下一节知识解决．教学时教师引导学生将题中的数量关系用不等式组表示出来．由于变量x、y题已经给出，学生仅是将文字语言转换为数学语言，难度不大，可由学生自己完成.
变式训练
甲、乙、丙三种药品中毒素A、B的含量及成本如下表：
甲
乙
丙
毒素A(单位/千克)
600
700
400
毒素B(单位/千克)
800
400
500
成本(元/千克)
4
9
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某药品研究所想用x千克甲种药品，y千克乙种药品，z千克丙种药品配成100千克新药，并使新药含有毒素A不超过56 000单位，毒素B不超过63 000单位.
用x、y表示新药的成本M(元)，并画出相应的平面区域．
解：由已知，得x＋y＋z＝100，
∴M＝4x＋9y＋11z
＝4x＋9y＋11(100－x－y)
＝1 100－7x－2y.
又600x＋700y＋(100－x－y)≤56 000，
800x＋400y＋500(100－x－y)≤63 000，
∴
表示的区域如下图所示：
1．画出不等式2x＋y－6＜0表示的平面区域．
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2．某人上午7：00乘汽车以匀速v1千米/时(30≤v1≤100)从A地出发到距300 km的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以匀速v2千米/时(4≤v2≤20)从B地出发到距50 km的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地，设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x、y小时，则在xOy坐标系中，满足上述条件的x、y的范围阴影部分表示正确的是( )
3．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )
A．4 B．4 C．2 D．2
4．若a≥0，b≥0，当且仅当时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域的面积等于( )
A. B. C．1 D.
5．本节探索与研究
本节后的探索与研究宜针对较好的学生进行，让其明白其结论的原理．在向量知识的基础上明白道理不是太困难的事．实际画图时，也并不需要画出直线的法向量，只需取点验证即可．因此本内容不宜对一般学生进行，以免冲淡了本节的主题．
答案：
1．解：先画直线2x＋y－6＝0(画成虚线)．取原点(0,0)代入2x＋y－6，
因为2×0＋0－6＝－6＜0，
所以原点在2x＋y－6＜0表示的平面区域内，不等式2x＋y－6＜0表示的区域如左下图所示．
2．B 解析：由题意得而30≤v1≤100,4≤v2≤20，则不等式组变化为
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3．B 解析：画出不等式组表示的平面区域如图．
可知面积＝×4×2＝4.
4．C 解析：由ax＋by≤1恒成立知，当x＝0时，by≤1恒成立，∴0≤b≤1；同理0≤a≤1，∴以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域是一个边长为1的正方形，其面积为1.
1．由学生自己回顾本节课的探究过程，整合二元一次不等式组与平面区域的关系，注意如何表示边界的虚与实，明确不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域(不包括边界直线)．
2．教师画龙点睛．比较是最好的学习方法，通过两个不等式的比较，寻找出共同的规律，进而发现二元一次不等式表示平面区域的主要性质及结论．画图是我们的弱点，而准确画图是学好这部分内容的关键，要有意识地加强这方面的训练．
习题3—5A组1、2；习题3—5B组1.
设计感想
1．本小节设计注重了学生的动手操作能力，因为技能的学习必须亲身体验获得．强化格式的规范也相当重要，在学生的动手操作过程中这些都可以得到充分体现．
2．本小节设计注重了方法的启发引导：从特殊到一般，化陌生为熟悉，先研究特殊的二元一次不等式所表示的平面区域．让学生经历“观察、归纳、猜想及证明”的全过程，这是本节的主要环节．
备课资料
一、备用习题
1．已知点P1(0,0)、P2(1,1)、P3(，0)，则在3x＋2y－1≥0表示的平面区域内的点是
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( )
A．P1、P2 B．P1、P3 C．P2、P3 D．P2
2．不等式x－2y＋6＞0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的( )
A．右上方 B．右下方 C．左上方 D．左下方
3．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．直角梯形
4．不等式|x－2|＋|y－2|≤2表示的平面区域的面积为________．
5．直线3x＋y－3＝0上位于x轴下方的一点P到直线x－y－1＝0的距离为3，则P点坐标为________．
6．用三条直线x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式组________表示．
7．画出不等式x2＋xy－2y2＋3y－1＜0表示的平面区域．
8．某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
参考答案：
1．C 解析：将点代入验证．
2．B 解析：取特殊点(0,0)验证．
3．C 解析：不等式组可转化为或画图即可．
4．8 解析：去掉绝对值符号后，可得该不等式表示的区域面积为×2×2×4＝8.
5．(，－) 解析：设P(t,3－3t)，P在x轴下方，则3－3t＜0.
∴t＞1，d＝＝3，|t－1|＝.
由t＞1，得t＝.于是P(，－)．
6.
7．解：x2＋xy－2y2＋3y－1＜0(x－y＋1)(x＋2y－1)＜0或其表示的平面区域如图阴影部分(不包括边界)所示．
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8．解：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得
二、二元一次方程组的图象解法
看一个二元一次方程y＝2x＋3，我们可以列表把这个方程的解表示出来：
在坐标平面内描点、画图(如图)．这样得出来的图形就是二元一次方程y＝2x＋3的图象．图象上每一个点的坐标，如(－3，－3)就表示方程y＝2x＋3的一个解
对比一次函数的图象，不难知道，二元一次方程y＝2x＋3的图象就是一次函数y＝2x＋3的图象，它是一条直线．引申：
怎样利用图象解二元一次方程组呢？看下面的例子：
先在同一直角坐标系内分别画出这两个二元一次方程的图象(如图)．
过点(0,3)与(3,0)画出直线x＋y＝3.
过点(0，－5)与(，0)画出直线3x－y＝5.
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两条直线有一个交点，交点的坐标就表示两个方程的公共解，交点坐标是(2,1)，所以原方程组的解是
这与用代入法或加减法解得的结果相同．提问
在解二元一次方程组时，会遇到其中一个方程是x＝3或y＝2这种形式．
x＝3或y＝2的图象是怎样的呢？
方程x＝3可以看成x＋0·y＝3，它的解列表为
x
…
3
3
3
3
…
y
…
－1
0
1
2
…
可以看到，无论y取什么数值，x的值都是3，所有表示方程x＝3的解的点组成一条直线，这条直线过点(3,0)，且平行于y轴．这条直线就是方程x＝3的图象，即直线x＝3(如图)．同样，方程y＝2的图象是过点(0,2)，且平行于x轴的一条直线，即直线y＝2(如图)．
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