3．5.2 简单线性规划
整体设计
教学分析
本节内容在教材中有着重要的地位与作用．线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力．
把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是本节的重点也是难点．对许多学生来说，解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题，即不会建模，所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点．对学生而言，解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情境，不能多方面联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本节设计为计算机辅助教学，充分利用现代化教学工具，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解．
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实际教学中注意以下几个问题：①用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数．②可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．③如果可行域是一个凸多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断．④若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当的调整．其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法．⑤在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
如果条件允许，可将本节的思考与讨论融入课堂．
三维目标
1．使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
2．通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
3．通过本节学习，理解线性规划求最优解的原理，明确线性规划在现实生活中的意义．
重点难点
教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识，理解线性规划最优解的原理．
教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(问题引入)由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义．如6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元．而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元．如果想买2枝玫瑰与3枝康乃馨，那么价格比较结果是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域．由此导入新课．
思路2.(章头问题引入)在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现在的资源取得最大的收益，或者怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务．我们把这一类问题称为“最优化”问题．线性规划知识恰是解决这类问题的得力工具．由此展开新课．
推进新课
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(1)回忆二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.
(2)怎样从实际问题中抽象出不等式组，并画出所确定的平面区域？
(3)阅读教材，明确什么是目标函数，线性目标函数，约束条件，线性约束条件，线性规划问题，最优解，可行域.,(4)你能给出解决线性规划问题的一般步骤吗？
活动：教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：直线定界、原点定域，即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分．
教师引导学生探究教材本节开头的问题．根据上节所学，学生很容易设出计划生产甲种产品x工时，生产乙种产品y工时，且很容易地列出获得利润总额为f＝30x＋40y，①
及x，y满足的条件
②
教师引导学生画出上述不等式组表示的区域，如下图．
结合图形，教师与学生一起探究，原问题就是在x，y满足②的情况下，求f的最大值．也就是在图中阴影部分内找一点，把它的坐标代入式子30x＋40y时，使该式值最大．若令30x＋40y＝0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为l0，则在区域OABC内有30x＋40y≥0.设这个区域内任意一点P(x，y)到l0的距离为d，则d＝＝，即30x＋40y＝·d.
由此可发现，点P(x，y)到直线l0的距离d越大，式子30x＋40y的值就越大．这样问题又转化为：在区域OABC内，找与直线l0距离最大的点．观察图象易发现，平移直线l0，最后经过的点为B，易知区域OABC内的点B即为所求．
解方程组得B(200,300)，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18 000.
即问题中，用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得最大利润18
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000元．
进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝2x＋y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z＝2x＋y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解，接着让学生说出上述问题中的目标函数，约束条件，可行域，最优解分别是什么．
根据以上探究，我们可以得出用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数求出最优解．在可行域内平行移动目标函数，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是无穷最优解，或是无最优解；
(6)实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
讨论结果：
(1)～(4)略．
例1已知x、y满足不等式求z＝3x＋y的最小值．
活动：可先找出可行域，平行移动直线l0：3x＋y＝0找出可行解，进而求出目标函数的最小值．
解：不等式x＋2y≥2表示直线x＋2y＝2上及其右上方的点的集合；
不等式2x＋y≥1表示直线2x＋y＝1上及其右上方的点的集合．
可行域如图所示．
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作直线l0：3x＋y＝0，作一组与直线l0平行的直线l：3x＋y＝t(t∈R)．
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的横纵坐标，
由图可知，当直线l：3x＋y＝z通过点P(0,1)时，z取到最小值1，即zmin＝1.
点评：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的．
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
(3)在可行域内求目标函数的最优解.
变式训练
若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是________．
答案：70
解析：由不等式组画出可行域如下图．
结合图形，
由
于是zmax＝3×10＋2×20＝70.
例2(教材本小节例2)
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活动：教材此例的数据以表格的形式给出．这样可使量与量之间的关系一目了然，非常有助于我们顺利地找出约束条件和目标函数，特别是对于那些量比较多的问题．本例难度不大，可由学生自己完成，教师给予适当点拨．
点评：完成此例后，可让学生对应用线性规划解决实际问题作一简单归纳．对较好的学生，教师可结合思考与讨论进行归纳.
变式训练
某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？
解：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，
则x≤300.
z＝80x，∴当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．
(2)设只生产书橱y张，可获利润z元，
则y≤450.
z＝120y，∴当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．
则
z＝80x＋120y，可行域如图．
由图可知：当直线y＝－x＋经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大，解方程组得M的坐标为(100,400)．
∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
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因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.
例3某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t．每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t，甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t)，能使利润总额达到最大？
活动：将已知数据列成下表，然后按线性规划解决实际问题的步骤完成，本例可由学生自己完成．
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，
那么
目标函数为z＝600x＋1 000y.
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域如图．
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作直线l：600x＋1 000y＝0，即直线l：3x＋5y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x＋1 000y取最大值．
解方程组得x＝≈12.4，y＝≈34.4.∴M的坐标为(12.4,34.4)．
答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大．
1．设变量x，y满足约束条件：则z＝x－3y的最小值为( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
2．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
答案：
1．D 解析：在坐标平面内画出不等式组所表示的平面区域，作出直线x－3y＝0，平移该直线，并结合图形(图略)知点(－2,2)为最优解．所以目标函数的最小值为zmin＝－2－3×2＝－8，故选D.
2．活动：将已知数据列成下表：
原料/10 g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，则需要的费用为z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x＋7y≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x＋4y≥40，这样，问题成为在约束条件下，求目标函数z＝3x＋2y的最小值．
解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么
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目标函数为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一组平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A(，3)，∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.∴甲种原料使用×10＝28(g)，乙种原料使用3×10＝30(g)时，费用最省．
1．让学生自己归纳整合本节所学的知识方法及用线性规划解决实际问题的方法步骤，自己在本节中的最大收获有哪些？
2．教师强调，通过本节学习，需掌握如何用线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．
习题3—5A组3、4、5；习题3—5B组3.
设计感想
1．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力．本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的典型教材，也是培养学生观察、作图能力的典型教材．
2．通过实例给出解题步骤，让其更深入了解并掌握新知．这里强调的还有作图的规范问题，这是学生容易忽视的，但这又是本节课很重要的一部分．
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3．关于难度把握问题，依据《课程标准》及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题，以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次．但这个了解不同于其他的了解，应注意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数，并注意规范书写解答步骤．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(直接导入)上一节课我们探究了用线性规划解决实际问题的一种类型，这节课我们进一步探究有关线性规划的一些问题，看看用线性规划还能解决哪些实际问题．教师出示多媒体课件，提出问题，由此引入新课．
思路2.(问题导入)关于线性规划的整点问题是个难点，我们是用平移直线的办法来解决的，需要画图精确，令学生很头痛．下面我们探究调整最优值法来确定最优整数解的方法．教师用多媒体出示以下问题：
某人有楼房一座，室内面积共有180平方米，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元，小房间每间面积15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
学生很容易设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x，y满足
作出可行域(出示多媒体课件)，作直线l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直线l向右上方平移，直线经过可行域上的点B时，与原点距离最大，此时z＝200x＋150y取得最大值，解方程组得点B的坐标为(，)，由于B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，所以可行域内的点B不是最优解．
以下教师与学生共同探究调整最优值法来确定最优整点的方法：
将B点坐标代入4x＋3y＝z，得z＝37，所以令4x＋3y＝37.
所以y＝，x＝，代入约束条件得y＝9，x无解；
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再令4x＋3y＝36，所以y＝，x＝，代入约束条件得7≤y≤12,0≤x≤4.
又因为4x＋3y＝36，所以得最优解为(0,12)和(3,8)，此时z的最大值是36，最大利润是1 800元．
用图解法解决时，容易丢一组解，而选择调整最优值法，即可避免丢解问题，只是需要一定的不等式及不定方程的知识．鼓励学生课外进一步探究其他方法．
推进新课
(1)回忆上节课我们利用线性规划解决实际问题的方法、步骤、格式，解题时应注意哪些问题？
(2)前面我们解决了可行域中整点问题，明确了求可行域中最优解问题，请思考最优解的个数有可能为无数个吗？
活动：教师与学生一起回忆上节课利用线性规划解决实际问题时应注意：①在寻求约束条件时，要注意挖掘隐含条件；②在确定最优解时，首先要赋予因变量的几何意义，然后利用图形的直观来确定最优解；③在确定最优解时，用直线的斜率来定位．
关于可行域中的整点求法，是以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点．如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也是很有效的办法．下面我们进一步探究最优解问题以及用线性规划解决的另一类实际问题．
讨论结果：(1)略．
(2)求最优解，若没有特殊要求，一般为边界交点．但取得最值的最优解可能有无穷多个．若通过图形观察不易分辨时，可把边界交点代入验证．
例1某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？
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活动：这是高考中继江苏卷线性规划大题后第二个线性规划大题，教师引导学生按前面的方法列出表格，则各量之间的关系即一目了然．本题难度不大，可由学生自己解决．列表如下：
甲
乙
合计
时间
x分钟
y分钟
300
收费
500元/分钟
200元/分钟
9万元
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元．
由题意得目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．
作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立解得x＝100，y＝200.∴点M的坐标为(100,200)．
∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
例2(教材本小节例3)
活动：本例是整数线性规划问题．整数线性规划问题的可行域是由满足不等式的整点组成的集合，所求的最优解必须是整数解．我们知道，最优解一般都为边界的交点，若这个交点不是整数，则需要平移直线找到附近的最优解．本例可由教师与学生共同完成．
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点评：找整数最优解是个难点，要求画图精确，要使学生明白如何找整数最优解的原理.
变式训练
某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y必须满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80 B．85 C．90 D．95
答案：C
解析：画出约束条件表示的平面区域，如图所示．
由
解得A(，)．
而由题意知x和y必须是正整数，直线y＝－x＋平移经过的整点为(5,4)时，z＝10x＋10y取得最大值90.
例3某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
解：设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，则可做文字标牌x＋2y个，绘画标牌2x＋y个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域，如图阴影所示．作直线l0：3x＋2y＝0，作一组与直线l0平行的直线l：3x＋2y＝t(t∈R)，当直线l通过2x＋y＝3与直线x＋2y＝2的交点A(，)时，t取得最小值为.
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因为，都不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，所以可行域内点(，)不是最优解．经过可行域内整点，点B(1,1)满足3x＋2y＝5，使t最小．
所以最优解为B(1,1)，即用甲种规格原料1张，乙种规格原料1张，可使所用原料总面积最小为5 m2.
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝5x＋y的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设x、y满足约束条件分别求下列各式的最大值、最小值：
(1)z＝6x＋10y；
(2)z＝2x－y；
(3)z＝2x－y(x，y均为整数)．
答案：
1．D 解析：如图，由可行域知目标函数z＝5x＋y过点A(1,0)时z取得最大值，zmax＝5.
2．解：(1)先作出可行域，如下图所示的△ABC的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，)．
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作出直线l0：6x＋10y＝0，再将直线l0平移，
当l0的平行线l1过B点时，可使z＝6x＋10y达到最小值；
当l0的平行线l2过A点时，可使z＝6x＋10y达到最大值．
∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.
(2)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C点时，
可使z＝2x－y达到最小值；
当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－.
(3)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，
当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值，∴zmax＝8.
当l0的平行线l1过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，
但由于不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，
∴可行域内的点C(1，)不是最优解．
当l0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z＝2x－y达到最小值．
∴zmin＝2×1－4＝－2.
1．我们用线性规划解决了哪些实际问题？
2．教师点拨学生：你能用精练的几个字来说明利用线性规划解决实际问题的方法与步骤吗？
(1)找：找出实际问题中的约束条件及目标函数；(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域；(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；(4)求：通过解方程组求出最优解；(5)答：作出答案．即可用5个字来概括：找、画、移、求、答．
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一、习题3—5A组6；习题3—5B组4、5.
二、阅读本章小结
设计感想
1．本课时设计注重学生的操作练习．通过学生积极参与，动手操作，培养创造性思维、增强创新意识，使认知在练习中加深，兴趣在练习中勃发，情感在练习中陶冶，质量在练习中提高，目标在练习中实现．
2．本课时注重了学生的能力训练．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的思想，深化对知识的理解和掌握，体验发现的快乐，增强创新意识，培养学生应用数学的意识．
3．本课时设计强化使用现代化教学手段．充分发挥多媒体教学的优势，利用计算机作为辅助工具，更清楚地展示区域问题，有利于发现区域问题的异同点，将信息技术和数学课件有机地结合起来，有利于突出重点，突破难点，有利于教学目标的实现．
备课资料
一、备选例题
【例1】 某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：(单位：分钟)
混合
烹调
包装
A
1
5
3
B
2
4
1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多能用30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？
活动：找约束条件，建立目标函数．
解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的约束条件下，求目标函数z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如图，其边界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1 800＝0，CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.
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由z＝40x＋50y，得y＝－x＋，它表示斜率为－，截距为的平行直线系，越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值．
解方程组C(120,300)．
∴zmax＝40×120＋50×300＝19 800，即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元．
点评：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720(分)，烹调时间5×120＋4×300＝1 800(分)，包装时间3×120＋300＝660(分)，这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究．
【例2】 要将甲、乙两种大小不同的钢板截成A、B两种规格，每张钢板可同时截得A、B两种规格的小钢板的块数如下表所示：
已知库房中现有甲、乙两种钢板的数量分别为5张和10张，市场急需A、B两种规格的成品数分别为15块和27块．
(1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的钢板张数最少？
(2)若某人对线性规划知识了解不多，而在可行域的整点中随意取出一解，求其恰好取到最优解的概率．
解：设需截甲、乙两种钢板的张数分别为x、y，则
作出可行域如图．
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(1)因为目标函数为z＝x＋y(x、y为整数)，所以在一组平行直线x＋y＝t(t为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解．
(2)因为可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为p＝＝0.25.
答：两种钢板的张数分别为3、9或4、8，概率为0.25.
二、利润的线性预测
问题：某企业1999年的利润为5万元，2000年的利润为7万元，2001年的利润为8万元．请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预测2003年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万元？
解：建立平面直角坐标系，1999年的利润为5万元，对应的点为A(0,5)，2000年的利润为7万元，2001年的利润为8万元分别对应点B(1,7)和C(2,8)，那么
(1)过A、B两点的直线作为预测直线l1，其方程为y＝2x＋5，这样预测2003年的利润为13万元．
(2)过A、C两点的直线作为预测直线l2，其方程为y＝x＋5，这样预测2003年的利润为11万元．
(3)过B、C两点的直线作为预测直线l3，其方程为y＝x＋6，这样预测2003年的利润为10万元．
(4)过A及线段BC的中点E(，)的直线作为预测直线l4，其方程为y＝x＋5，这样预测2003年的利润约为11.667万元．
(5)过A及△ABC的重心F(1，)(注：为3年的年平均利润)的直线作为预测直线l5，其方程为y＝x＋5，这样预测2003年的利润为11.667万元．
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(6)过C及△ABC的重心F(1，)(注：为3年的年平均利润)的直线作为预测直线l6，其方程为y＝x＋，这样预测2003年的利润为10.667万元．
(7)过A及以线段BC的斜率kBC＝1作为预测直线斜率，则预测直线l7的方程为y＝x＋5，这样预测2003年的利润为9万元．
(8)过B及以线段AC的斜率kAC＝作为预测直线斜率，则预测直线l8的方程为y＝x＋，这样预测2003年的利润为11.5万元．
(9)过C及以线段AB的斜率kAB＝2作为预测直线斜率，则预测直线l9的方程为y＝2x＋4，这样预测2003年的利润为12万元．
(10)过A及以线段AB的斜率kAB与线段AC的斜率kAC的平均数作为预测直线斜率，则预测直线l10的方程为y＝x＋5，这样预测2003年的利润为12万元．
还有其他方案，在此不一一列举．
点评：(1)读完以上的各种预测方案后，请你先思考两个问题：
①第(5)种方案与第(4)种方案的结果完全一致，这是为什么？
②第(7)种方案中，kBC的现实意义是什么？
(2)本题可从以下两个方面进一步拓展，其一是根据以上的基本解题思路，提出新的方案，如方案(6)过△ABC的重心F(1，)，找出以m为斜率的直线中与A、C两点距离的平方和最小的直线作为预测直线；其二是根据以上结论及你自己的答案估计利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？
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