第三章 不等式整体设计
教学分析
本章知识网络
本章复习建议
本章为高中5个必修中的最后一章，我们在这一章中重点探究了三种不等式模型，即一元二次不等式、二元一次不等式(组)及均值不等式，在了解了这三种不等式的实际背景的前提下，重点探究了不等式的应用，那么如何复习好不等式这一章的内容呢？总纲是复习不等式要结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想，以及分类讨论思想，类比思想，换元思想等．
1．充分认识不等式的地位与作用．不等式是中学数学的重要内容，是求解数学问题的主要工具，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容，无一不与不等式有着密切联系，它所涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的．因此，不等式是永不衰退的高考热点，必须加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合．
2．加深对不等式性质的理解．不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛的应用，它又是高等数学的基础知识之一，因此，它是高考试题的热点，有时通过客观题直接考查不等式的某个性质，有时在解答题中的证明不等式或解不等式中，间接地考查不等式的性质，高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用，不等式的性质更是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段．在解不等式中往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系，因此在复习中对不等式性质的条件与结论要彻底弄清．解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜，如a＞b，c≠0ac＞bc(忘了c＞0)，ac＞bd(忘了a、b、c、d∈R＋)等等．
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3．加强等价变换在解不等式中的运用．解不等式是通过等价变形转化为简单不等式，从而得到解集．一定要注意变形是同解变形，即每一步变换必须既充分又必要．含参数的不等式或超越不等式必须进行讨论．在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类，然后对划分的每一类分别进行求解，再综合得出答案．在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简”的原则，有的问题还可能进行二次分类．另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段问题”的解集．
4．注重在证明不等式中推理论证能力的提高．不等式的证明非常活跃，它可以和很多内容结合，是高中数学的一个难点，又是历届高考中的热点问题．证明时不仅要用到不等式的性质，还要用到不等式证明的技能、技巧，其中，均值不等式是证明不等式的主要依据．证明不等式的方法有很多，比如常用的有比较法(归0、归1)、分析法、综合法等．
5．解不等式是高考中的常见题型，尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等式．一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系，在高考中频繁出现．这类题目思考性强，灵活新颖，对分析能力要求较高，解题的基本思路是等价转换，基本方法是化归化简．二是加强“三个二次结合”的深刻理解．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数简称“三个二次”，它们互相联系，互相渗透，使这个“知识块”的内容异常丰富，是历年高考命题的重点．求解时，常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定理、二次函数图象及函数性质等．很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的提高．
6．不等式的应用是本章的重点．不等式的应用主要表现在三个方面：一是研究函数的性质，如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等；二是方程与不等式解的讨论；三是用线性规划或均值不等式解决实际问题．对于第一个方面，要求学生运算准确．第二个方面，我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化，函数与不等式在一定条件下也可以相互转化．这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础，使我们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质，哪些是变化的规律和性质．第三个方面，可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型，只要我们揭示这些模型的本质规律，就一定能培养出学生的创新能力，真正做到以不变应万变．
本章复习分为两课时完成，第一课时侧重三种不等式模型的复习，第二课时侧重线性规划的复习．
三维目标
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1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用不等式的基本性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握均值不等式≥(a＞0，b＞0)的应用方法与技巧．
2．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的程序框图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．
3．通过对全章内容的复习，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观．
重点难点
教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式〕的概念、方法及应用．
2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．
3．掌握构建均值不等式解决函数的最值问题，利用均值不等式解决实际问题．
教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；均值不等式解函数最值的正确运用．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．
思路2.(问题导入)先让学生结合本章小结，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．
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推进新课
活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．本章共研究了三种不等式模型，它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式≥(a＞0，b＞0)．
由实数的基本性质，我们推出了常用的不等式的4条性质5个推论，教师可结合多媒体课件给出这些性质．在这些基本性质的基础上，我们接着探究了均值不等式≥(a＞0，b＞0)的代数及几何意义，以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用．在温故知新的基础上，我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系，并用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来，为前面学过的算法找到了用武之地．对一元二次不等式的求解集问题，老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写，加深对“三个二次”关系的理解.
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0的根
x1,2＝
x1＝x2＝－
Ø
ax2＋bx＋c＞0的解集
ax2＋bx＋c＜0的解集
由于本章是高中必修内容的最后一章，通过对以上内容的归纳整合，我们对不等式有了全面系统的认识，也因此对高中必修内容有了整体的理解．
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例1已知集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|| x＋2|＞3}，C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0，m∈R}．若(1)A∩C＝Ø，(2)A∩BC，分别求出m的取值范围．
活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．
解：(1)∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＞1或x＜－5}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}，
欲使A∩C＝Ø，只需m－1≥2或m＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5.
(2)欲使A∩BC，∵A∩B＝{x|1＜x＜2}，只需即即1≤m≤2.
点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．
变式训练
设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有__________个元素．
答案：6
解析：由(x－1)2＜3x＋7可得－1＜x＜6，结合题意可得A＝(－1,6)．
例2若正数x、y满足6x＋5y＝36，求xy的最大值．
活动：均值不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用均值不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值，应联想均值不等式．
解：∵x、y为正数，则6x、5y也是正数，∴≥＝，
当且仅当6x＝5y时，取“＝”．∵6x＋5y＝36，则≤，即xy≤.∴xy的最大值为.
点评：本例旨在说明均值不等式的应用．事实上，∵6x＋5y＝36，∴y＝.代入xy，得xy＝x·(36－6x)＝－x2＋x(x＞0)，利用二次函数的图象和性质也很容易解出来，教师可在活动前向学生说明．学生用均值不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨．
变式训练
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已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是__________．
解法一：由x＞0，y＞0，得2＝＋≥2.
∴xy≥6，当且仅当＝＝1，即x＝2，y＝3时，xy取得最小值为6.
解法二：令＝2cos2θ，＝2sin2θ，θ∈(0，)，∴x＝，y＝.
∴x·y＝＝.
∵sin22θ≤1，当且仅当θ＝时等号成立，这时x＝2，y＝3.∴xy的最小值是6.
解法三：由＋＝2，得y＝.∴xy＝(x＞1)．
令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1.∴＝＝(t＋＋2)≥(2＋2)＝6.
当且仅当t＝1时等号成立，即x－1＝1，x＝2.∴xy有最小值6.
答案：6
例3不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a.
活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式来思考．训练学生的等价转化能力．
解法一：将＜1化为＜0，即[(a－1)x＋1](x－1)＜0.
由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，∴[(1－a)x－1](x－1)＞0.
∴(1－a)x－1＜0，x＞.于是有＝2.解得a＝.
解法二：原不等式转化为[(a－1)x＋1](x－1)＜0，即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0.
依题意，方程(1－a)x2＋(a－2)x＋1＝0的两根为1和2，
∴解得a＝.
点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义．
变式训练
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若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝__________.
答案：4
例4为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200 m2的长方体二级净水处理池(如图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．一般情形下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
活动：教师引导学生观察题目的条件，可以先建立目标函数，再求解．可让学生独立探究，必要时教师给予适当的点拨．
解：设净水池长为x m，则宽为 m，高为h m，则总造价
f(x)＝400(2x＋2·)·h＋100··h＋60×200＝800h(x＋)＋12 000(x＞0)，
当且仅当x＝(x＞0)，即x＝15时上述不等式取到等号．故当净水池的长设计为15 m时总造价最低．
点评：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证．用均值不等式创设不等量关系，也是经常采用的方式方法，让学生以后在解决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用．
1．已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，则A∩B等于( )
A．[－3，－2)∪(1,2] B．(－3，－2]∪(1，＋∞)
C．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]
2．已知a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a，设不等式f(x)＞0的解集为A，又知集合B＝{x|1＜x＜3}，若A∩B≠，求a的取值范围．
3．已知关于x的不等式x＞ax2＋的解集是{x|2＜x＜}，求不等式ax2－(5a＋1)x＋ma＞0的解集．
4．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.
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5．已知a、b、c、d∈R，求证：ac＋bd≤.
答案：
1．A 解析：易得A＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|－3≤x≤2}．则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．
2．解：由f(x)为二次函数，知a≠0.令f(x)＝0，
解得其两根为x1＝－，x2＝＋.由此可知x1＜0，x2＞0.
(1)当a＞0时，A＝{x|x＜x1}∪{x|x＞x2}．
A∩B≠的充要条件是x2＜3，即＋＜3，解得a＞.
(2)当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}．
A∩B≠的充要条件是x2＞1，即＋＞1，解得a＜－2.
综上，使A∩B≠成立的a的取值范围为(－∞，－2)∪(，＋∞)．
3．解：x＞ax2＋ax2－x＋＜0,2＜x＜(x－2)(x－)＜0x2－(2＋)x＋2＜0.对照不等号方向及x2的系数可知a＞0且＝＝，解得a＝，m＝36.
∴ax2－(5a＋1)x＋ma＞0x2－(5×＋1)x＋36×＞0x2－13x＋36＞0(x－4)(x－9)＞0x＜4或x＞9.
点评：条件中的不等式含参数a，而其解集中又含有参数m，似乎有较大难度．策略之一，求出原不等式的解集，与{x|2＜x＜}比较；策略之二，抓住解集，即写出解集为{x|2＜x＜}的一元二次不等式，再与原不等式比较，若只求原不等式的解集，需讨论．
4．解：(1)当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，解集为{x|x＜2}．
(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)(x－)＜0，这时两根的大小顺序为2＞，所以解集为{x|＜x＜2}．
(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)(x－)＞0，①当0＜a＜1时，两根的大小顺序为2＜，所以原不等式的解集为{x|x＞或x＜2}；
②当a＝1时，2＝，所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}；
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③当a＞1时，两根的大小顺序为2＞，解集为{x|x＞2或x＜}．
综上所述，不等式的解集为a＝0时，{x|x＜2}，a＝1时，{x|x≠2}，a＜0时，{x|＜x＜2}，
0＜a＜1时，{x|x＞或x＜2}，a＞1时，{x|x＞2或x＜}．
点评：本例应对字母a分类讨论，分类的原则是不重、不漏．解完后教师引导学生思考本例的解法并注意书写的规范性．
5．证明：∵(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2
＝(a2c2＋2abcd＋b2d2)＋(b2c2－2abcd＋a2d2)＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2，
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
点评：能否联想到均值不等式≤或其变形形式上来？关键是探究根号里面的(a2＋b2)(c2＋d2)的变形问题．
1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？
2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系，体会了数学来源于生活的道理，也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美．
本章巩固与提高A组3、4、7、8、9；B组6、7、8、9.
设计感想
1．本课时设计体现了复习课的特点，从更高的角度对本章知识方法进行整合．复习不是简单的重复或阅读课本，把“发展为本”作为教学设计的中心，使各层次的学生在各个方面都有所提高，达到“温故而知新”的目的．
2．本课时设计重视了学生的探究活动，让学生在教师的引导下自主探究，避免了学生只当观众、听众．设计中体现把复习的机会还给学生，充分让学生在知识整合的基础上，再发展、再创造．
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3．本课时设计体现了复习中前后知识的联系．注重了复习应涉及哪些内容？重难点是什么？与其前沿知识和后继知识有哪些联系？在复习过程中应该注意什么等．针对这些情况，教师应该做到心中有数，这样，在复习过程中，才能够做到步步到位，使学生在复习中不至于盲目无从．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)上节课我们重点复习了不等式的基本性质，一元二次不等式的解法及均值不等式的应用．本节将重点对平面区域和线性规划问题做一归纳整合，由此展开复习．
思路2.(直接引入)我们曾对平面区域，线性规划问题进行了探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题．本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用．
推进新课
活动：教师引导学生回忆并思考以上问题．我们知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐标系中的一条直线．这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线ax＋by＋c＝0上或两侧．在直线上的点的坐标满足ax＋by＋c＝0，两侧点的坐标则满足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.这样，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax＋by＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．
由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正负情况便可判断ax＋by＋c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．
(此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳)
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用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：
平面区域
二元一次
不等式
Ax＋By＋C≥0
(A＞0，B＞0，
C＜0)
Ax＋By＋C≤0
(A＞0，B＞0，
C＜0)
Ax＋By＋C≥0
(A＞0，B＜0，
C＜0)
Ax＋By＋C≤0
(A＞0，B＜0，
C＜0)
说 明
对于二元一次不等式不带等号时，其表示的平面区域，应把边界直线画成虚线
本节课内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材．通过本节课的复习，让学生进一步了解到线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益．它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法．
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
(1)阅读题意，寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)；
(3)在可行域内求目标函数的最优解(设t＝0，画出直线l0，观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解)；
(4)由实际问题的实际意义作答．
讨论结果：(1)～(4)略．
例1画出不等式组表示的平面区域．
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活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后对出现的问题作点评．
解：不等式x＋y－6≥0表示在直线x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x＝5左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图所示．
点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握．
变式训练
已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( )
A．7 B．5 C．4 D．3
答案：B
解析：画出x，y满足的可行域，可得直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点使目标函数z＝x－y取得最小值．故由解得x＝，y＝.代入x－y＝－1，得－＝－1，解得m＝5.
例2某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：
级别
加工能力(个/人天)
成品合格率(%)
工资(元/天)
Ⅰ
240
97
5.6
Ⅱ
160
95.5
3.6
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工厂要求每天至少加工配件2 400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．
活动：学生对求解简单线性规划实际应用问题的步骤已经是很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养．本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域．
解：根据题意列出线性约束条件和目标函数．设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x、y人．
线性约束条件：
化简即为
目标函数为z＝[(1－97%)·240x＋(1－95.5%)·160y]×2＋5.6x＋3.6y，
化简即为z＝20x＋18y.根据题意知即求目标函数z的最小值．
画出约束条件的可行域，如图，根据图知，点A(6,6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小．然而A点非整数点．故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点距离最近，可知(6,7)为满足题意的整数解．
此时zmin＝20×6＋18×7＝246(元)，即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少．
答：每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人，工厂每天支出费用最少．
点评：通过本例的求解我们可以看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型．这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解．
例3A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运费如下表所示：
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(万元)
到D
到E
到F
从A
4
5
6
从B
5
2
4
怎样确定调运方案，使总的运费最少？
点评：本例表中的数据较多．可设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F就可用x、y表示，即12－x－y，则B运到D、E、F分别为8－x,6－y，x＋y－6.目标函数为f＝－3x＋y＋100.
解：设从A运到D为x，从A运到E为y，则从A运到F为12－x－y，B运到D、E、F分别为8－x,6－y，x＋y－6.
约束条件为目标函数为f＝－3x＋y＋100.
可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．易知，当x＝8，y＝0时，f最小，即运费最省．
故当从A运到D8千吨、从A运到F4千吨、从B运到E6千吨、从B运到F2千吨时，总的运费最少．
点评：通过本例的训练，让学生学会对多个数据的处理，进一步明确线性规划的应用性．
变式训练
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行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋(n为常数，n∈N)．做两次刹车试验，有数据如图，其中5＜y1＜7,13＜y2＜15.
(1)求出n的值；
(2)要求刹车距离不超过18.4 m，则行驶的最大速度应为多少？
解：(1)将x1＝40，x2＝70分别代入y＝＋，有y1＝n＋4，y2＝n＋.
依题意，有(n∈N)．解得n＝3.
(2)y＝＋≤18.4，解得x≤80，即最大行驶速度为80 km/h.
1．实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是( )
A．[－1，] B．[－，]
C．[－，＋∞) D．[－，1)
2．如图所示，在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是( )
A．[7,8] B．[7,15] C．[6,8] D．[6,15]
3．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少要两张，如果小明带有10元钱，问有多少种买法？
答案：
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1.
D 解析：设点D(x，y)在图中阴影部分内，如图．ω＝，即动点(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率．当动点为B点时，ω取得最小值，由得B点坐标为(1,0)．∴ω＝－.当动点在x－y＝0上，且x→＋∞时，ω趋向于最大值，即经过A点，斜率为ω的直线与x－y＝0平行．∴ω∈[－，1)．
2．A 解析：由题意知要求在约束条件下，目标函数z＝3x＋2y的取值范围，作出如图所示目标函数取最大值时的可行域．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋，
∴当x＋y＝3时，在B点处z取最大值；随着x＋y＝3的上移，z的最大值也随着增大．当平移经过C点时，z的最大值达到最大，且B(1,2)，C(0,4)．
∴当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]．
3．解：设8角邮票可买x张，2元邮票可买y张，根据题意有
不等式表示的平面区域如图所示，而在该区域内，x、y都是不小于2的整数，这样的点的个数为11，所以小明有11种购买方法，分别是(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(7,2)．
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1．由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？
2．本节课重点复习了平面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题．线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷地求最值的方法．进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤．还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定式，今后要注意这方面的思维训练，以培养学生思维的灵活性．
1．本章巩固与提高A组14、15；B组14、15.
2．本章自测与评估．
设计感想
1．本课时设计注重了教师的灵活操作．在复习时，采取提问、讨论、练习等方式，引导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系．用表格、图示、文字的方法串成线、连成片，建立起合理的认知结构，便于学生记忆，而不是简单的重复．
2．本课时设计关注了学生的层次，关注了学习要求上的分层．让学习较差层次的学生多回答一些概念识记性提问，要求学会做一些基础题目．让学习中等层次的学生，多回答一些需认真思索的提问，会做一些难度适中的综合练习．让学习较好层次的学生，多回答一些智力运用性的提问，会运用知识解决一些难度较大的综合性题目．
3．本课时设计注意了数学思想方法的教学．学生的能力最终体现在数学思想方法的应用上．在讲授数学知识的同时，更加注重数学思想方法的渗透和培养，把数学思维方法和数学知识、技能融为一体，不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力．
(设计者：郑吉星)
备课资料
一、备用例题
【例1】 已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．
活动一：原函数式可化为y＝－3x2＋x，利用二次函数求某一区间的最值．
解法一：(利用二次函数法可获得求解)(解略)
21
活动二：挖掘隐含条件，∵3x＋1－3x＝1为定值，且0＜x＜，则1－3x＞0；可用均值不等式．
解法二：∵0＜x＜，∴1－3x＞0.∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤()2＝，当且仅当 3x＝1－3x，即x＝时， ymax＝.
【例2】求y＝sinx＋的最小值，x∈(0，π)．
错解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.∴y＝sinx＋≥2.∴ymin＝2.
错因：y＝2的充要条件是sinx＝，即sin2x＝5，这是不存在的．
正解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.又y＝sinx＋＝sinx＋＋≥2＋，当且仅当sinx＝，即sinx＝1时，取“＝”．而此时也有最小值4，
∴当sinx＝1时，ymin＝6.
【例3】已知正数x、y满足2x＋y＝1，求＋的最小值．
错解：∵1＝2x＋y≥2，∴≤，即≥2.
∴＋≥2≥2·2＝4，即＋的最小值为4.
错因：过程中两次运用了均值不等式中取“＝”过渡，而这两次取“＝”的条件是不同的，故结果错．
正解一：∵2x＋y＝1，∴＋＝(2x＋y)(＋)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，取“＝”．
而即此时ymin＝3＋2.
正解二：∵＋＝＋＝3＋＋(以下同解一)．
小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取“＝”成立的诸条件是否相容．
【例4】 已知正数x、y满足xy＝x＋y＋3，试求xy、x＋y的范围．
解法一：由x＞0，y＞0，则xy＝x＋y＋3xy－3＝x＋y≥2，即()2－2＋3≥0.
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解得≤－1(舍去)或≥3，当且仅当x＝y且xy＝x＋y＋3，即x＝y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)．
又x＋y＋3＝xy≤()2 (x＋y)2－4(x＋y)－12≥0x＋y≤－2(舍去)或x＋y≥6，当且仅当x＝y且xy＝x＋y＋3，即x＝y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是 [6，＋∞)．
解法二：由x＞0，y＞0，xy＝x＋y＋3 (x－1)y＝x＋3，知x≠1，则y＝.
由y＞0＞0x＞1，则
xy＝x·＝＝＝(x－1)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x－1＝(x＞0)，即x＝3，并求得y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)．
x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－1)＋＋2
≥2＋2＝6.
当且仅当x－1＝(x＞0)，即x＝3，并求得y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是[6，＋∞)．
点评：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧．
总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的．
【例5】 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米，
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)．
解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得
消去h′，解得a＝(a＞0)．
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(2)由V＝a2h＝(h＞0)，
得V＝，而h＋≥2＝2.
所以V≤，当且仅当h＝，即h＝1时取等号；
故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为立方米．
二、不等式的证明方法探究
1．配方法
把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的．
2．判别式法
通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程，然后利用二次方程的判别式，从而使不等式得证．
3．比较法
为了证明A＞B，可转化为证明 A－B＞0，或者当B＞0时转化为证明＞1.
4．放缩法
为了证明A＜B，可设法证明A＜C，且C＜B.有时也可考虑证明加强命题．
5．数学归纳法
常用来证明与正整数有关的命题．
6．构造法
构造适当的图形，使要证的命题比较直观地反映出来．
7．辅助函数法
函数是数学中的一个重要内容，它与不等式有密切的联系．
通过构造辅助函数，然后利用函数的有关性质去证明该不等式．通常我们可以利用以下一些函数的性质：
(1)函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，则y≥0Δ≤0；(2)三角函数的有界性；(3)函数的单调性；(4)函数的凸性；(5)函数的导数．
8．换元法
通过添设辅助元素，使原来不等式变成与新的变量有关的不等式．
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应用换元法，可把字母多化成字母少，可把紊乱的不等式化成简单的、条理清晰的不等式．
常用的换元方法有三角换元和均值换元．
(1)三角换元
x2＋y2＝r2(r＞0)(0≤α＜2π)；x2＋y2≤a2(0≤α＜2π，r≤|a|)；x2－y2＝r2(r＞0) (0≤α＜2π)．
(2)均值换元
x＋y＝ax＋y＋z＝a
另外，在证明的过程中还经常使用整体换元，即用一个变量代替一个整式．
9．逐步调整法
在证明不等式的过程中，对某一个函数式的某些变元进行调整(变大或变小)，观察其值的变化，从中发现函数式的最值．
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