三角形一边的平行线
教学内容:
一、知识精要
1、三角形一边的平行线的判定定理:如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理推论:如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
3、平行线分线段成比例定理:两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例。
4、平行线等分线段定理:两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等。
格式:如果直线L1∥L2∥L3,,那么:,如图l
说明:由此定理可知推论1和推论2Ⅰ
推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
格式:如果梯形ABCD,AD∥EF∥BC,,那么,如图2
推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
格式:如果△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC,那么,如图3
说明:平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。
图1 图2 图3
热身练习
1、如图所示,G为△ABC的重心,D为BC中点,则下列关系成立的是 ( )
A.; B.;
C.; D..
4
2、如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E,若,则 。
(2题图) (3题图) (4题图)
3、如图,DE∥BC,DF∥AC,cm,cm,cm,那么________cm。
4、如图,△ABC中,点P在BC上,四边形ADPE为平行四边形,则_______。
(5题图) (6题图) (7题图)
5、如图,在△ABC中,E是AC中点,延长BC到D,使,连接DE,并延长交AB于F,则 。
6、如图,,G为AF中点,则 。
7、如图,△ABC中,EF∥BC,FD∥AB,,,,求线段EF的长。
精解名题:
例1、如图,点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,且,求证:∥。
例2、如图,下列各组线段中不能说明DE∥BC的是 ( )
A.,,,;
B.,,,;
C.,,,;
4
D.,,,.
B
D
A
C
N
M
L1
L2
L3
例3、如图,已知∥∥,直线AB、CD分别与它们相交,
如果cm,cm,cm,求CD的长。
B
D
A
C
E
F
例4、如图所示,△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,且,联结BF,并延长交AC于点E。求证:.
例5、如图所示,在△ABC中,D是BC上一点,且,求证:。
1
A
C
B
D
2
自我测试:
1、已知AC∥BD,AB与CD交于点O,,,,则 , .
2、直角三角形两直角边分别为3厘米和4厘米,则垂心到重心的距离是 。
3、已知平行四边形ABCD中,E为BC延长线上一点,AE交CD与F,,
则
D
A
BD
C
EEE
D
C
A
B
E
F
G
4、梯形ABCD中,AB∥DC,E、F分别在AD、BC上,且,EF∥AB,交AC与点G,则 。
5、在△ABC中,DE∥BC,若,,则
6、在△ABC中,DE∥AB,,,则
4
7、如图所示,D是AB的中点,CF∥AB,G、F、E、D在一条直线上,
求证:。
8、如图,直线BD交AC、AB于D、F,交CB的延长线于E,且.
求证:.
9、如图,AD为△ABC的角平分线,BF⊥AD的延长线于点F,AM⊥AD于A交BC的延长线于M,FC的延长线交AM于E.求证:.
10 、如图,已知△ABC中,,,AD与CE相交于F,
求的值.
4