第2节 种群数量的变化
[学习目标] 1.根据细菌数量增长的实例，学会建构种群增长模型的方法。2.探究培养液中酵母菌种群数量的变化，尝试建构种群增长的数学模型。3.理解种群“J”型增长的数学模型。4.理解种群“S”型增长的数学模型。
一、建构种群增长模型的方法
1．数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式。
2．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代。
(1)请根据该细菌分裂繁殖的规律，完善下表：
时间(min)
0
20
40
60
80
100
120
180
繁殖代数(代)
0
1
2
3
4
5
6
9
细菌数量(个)
1
2
4
8
16
32
64
512
(2)观察上表中细菌数量(N)和繁殖代数(n)之间的关系，写出相应的方程式：N＝2n。
(3)根据所得到的方程式，在给出的坐标系中画出细菌种群数量增长的曲线并思考：
答案 如图
①同数学方程式相比，曲线图有什么优点？
答案 同数学方程式相比，曲线图能更直观地反映出种群数量的增长趋势。
②如果是在培养基中培养，细菌的数量会一直按照上述数学模型增长吗？为什么？
答案 不会。因为培养基中的营养物质有限，空间等也有限，细菌不可能无限繁殖。
二、种群的增长曲线
1. “J”型曲线
人们在将环颈雉引入美国的一个岛屿后，其种群数量迅速增长，请分析：
(1)该岛环颈雉种群数量能够快速增长的原因可能什么？
答案 迁入初期，食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等，条件比较理想。
12
(2)若该种群的起始数量为N0，并且第二年的数量是第一年的λ倍(λ>1，每年的增长倍数都保持不变)，如何计算t年后该种群的数量？
答案 Nt＝N0λt。
(3)结合上述结果，绘出种群数量Nt随t的变化曲线图。
答案 如图
(4)“J”型增长能一直持续下去吗？
答案 不能。
2．“S”型曲线
在0.5 mL培养液中放入5个大草履虫，定期统计大草履虫的数量，绘出如图曲线：
(1)该模型曲线称为“S”型曲线。
(2)曲线中B、C两点种群数量增长有何特点？
答案 B点为曲线斜率最大的点，种群增长速率最大；C点种群增长速率为零，种群数量趋于稳定。
(3)同一种群的K值是固定不变的吗？影响K值大小的因素有哪些？
答案 不是。生物自身的遗传特性和所生存的环境条件等。
(4)种群数量的变化只有增长这一种变化吗？
答案 种群数量的变化除了增长外，还有稳定、波动和下降。
三、探究“培养液中酵母菌种群数量的变化”
1．探究步骤
(1)将10 mL无菌马铃薯培养液或肉汤培养液加入试管中。
(2)将酵母菌接种到试管的培养液中。
(3)将试管放在25℃条件下培养。
(4)每天取样计数酵母菌数量。用血细胞计数板在显微镜下计数，估算10 mL酵母菌的初始种群数N0，然后连续观察七天，记录每天的数值。
(5)分析数据，以时间为横坐标，酵母菌数量为纵坐标，画出坐标曲线图，分析曲线走向，揭示酵母菌种群数量变化规律。
2．结果分析
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(1)培养酵母菌开始一段时间内，种群数量的增长属于哪种类型？
答案 呈“J”型增长。
(2)再过一段时间后，种群数量的增长将会发生什么变化？为什么？
答案 酵母菌数量呈“S”型增长。随着时间推移，由于营养物质的消耗、有害代谢产物的积累、pH的改变，使种群数量趋于稳定。
3．思考与讨论
(1)从试管中吸出培养液进行计数之前，为什么要轻轻振荡几次？
答案 使酵母菌均匀分布，计数准确。
(2)若一个小方格内酵母菌过多，难以数清，采取的措施是什么？
答案 可增大稀释倍数后再计数。
(3)对于压在小方格界线上的酵母菌，怎样计数？
答案 只计数相邻两边及其顶角的酵母菌。
(4)该探究需要设置对照及重复实验吗？
答案 酵母菌种群数量的变化在时间上形成前后自身对照，所以无需设置对照实验。但要获得准确的实验数据，必须重复实验，求得平均值。
一、辨析“J”型曲线和“S”型曲线
如图是种群数量增长的两种曲线，请据图回答下列问题：
1. “J”型曲线出现的前提条件是什么？
答案 “J”型曲线是在理想状态条件下：资源无限、空间无限、不受其他生物制约等。
2．图中两曲线间阴影部分代表的是什么？
答案 存在环境阻力的情况下，在生存斗争中被淘汰的个体。
3. “S”型曲线的种群增长速率是如何变化的？什么时候最大？
答案 先增加后减慢；在种群数量为K/2时，增长速率最大。
4．池塘养鱼，如何保证既能保持可持续发展，还能收获尽量多的鱼？
答案 保证鱼生存的环境条件，尽量提升K值， 捕捞后，使鱼的种群数量维持在K/2，鱼的种群数量会迅速回升。
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5．对家鼠等有害动物的控制，应当采取什么措施？
答案 降低环境容纳量。如将食物储藏在安全处；硬化地面，减少挖造巢穴的场所；养殖它们的天敌等。
二、辨析种群的增长率和增长速率
增长率是指一段时间内种群数量增加的部分占初始种群数量的比例。计算公式为：增长率＝种群数量差/初始总数×100%。增长速率是指种群数量在单位时间内的增长的数量。计算公式为：增长速率＝种群数量差/时间。若某种群的起始数量为N0，并且第二年的数量是第一年的λ倍。请分析：
1．在营养和生存空间没有限制的情况下，假设该种群每年增长倍数都保持不变(“J”型曲线)，那么该种群的增长率是如何变化的？用曲线怎样表示？
分析 “J”型曲线的增长率：
初始总数＝N0×λt1，最终总数＝N0×λt2；
种群数量差＝N0×λt2－ N0×λt1＝ N0×λt1(λ t2－ t1－1)；
增长率＝种群数量差/初始总数×100%＝λt2－ t1－1；
因t2－t1为定值，λ保持不变，所以，单位时间内，种群增长率为定值。
答案 增长率为定值，曲线如图：
2. 若在营养和生存空间有限制的情况下(“S”型曲线)，该种群的增长率如何变化的？用曲线怎样表示？
分析 “S”型曲线的增长率：
存在环境阻力的现实情况，由于种群数量增加，种内斗争加剧，环境阻力增大，种群增长率会逐渐减小。
答案 种群增长率逐渐降低，如图所示：
3．结合上述分析方法， 推算“J”型曲线和“S”型曲线的增长速率的变化曲线分别是怎样的？
分析 (1)“J”型曲线的增长速率：
初始总数＝ N0×λt1，最终总数＝ N0×λt2；
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种群数量差＝ N0×λt2－ N0×λt1＝ N0×λt1(λt2－ t1－1)；
增长速率＝种群数量差/t＝ N0×λt1(λt2－ t1－1)÷(t2－ t1)；
因为t2－ t1为定值，t1时间越长，λt1越大；
所以时间越往后，单位时间内，种群增长速率越大。
(2)“S”型曲线的增长速率：
因为“S”型曲线变化规律没有固定的公式，而种群增长速率与曲线的斜率是等价的，由 “S”型曲线的斜率变化趋势得知，种群增长速率先增加后减少， 其中种群数量为K/2时，种群的增长速率最大，种群数量为K时，种群的增长速率为0。
答案 分别如下图所示：
1．生态学家高斯(Gause)在0.5 mL培养液中放入5个大草履虫，在培养第5 d之后，大草履虫的数量基本维持在375个左右。对此实验认识不正确的是( )
A．高斯实验得到的K值受到培养液容量的限制
B．高斯实验得到的K值是375
C．在相同条件下培养变形虫，K值也是375
D．重复此实验，K值有可能不同
答案 C
解析 在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群最大数量称为K值，受到营养、温度等因素的影响，A正确；大草履虫的数量基本维持在375个左右，说明K值是375，B正确；不同的生物在相同的环境里，K值不一定相同，C错误； K值受到营养、温度等因素的影响，可能不同，D正确。
2．经调查，第一年某种昆虫种群数量为N0，如果在理想的条件下，每年的增长率为0.2保持不变，则第三年该种群数量为( )
A．1.2N0 B．1.44N0
C．2.2N0 D．3.6N0
12
答案 B
解析 根据题意，在理想的条件下，种群数量持续增加，种群数量呈现“J”型增长。第一年某种昆虫种群数量为N0，每年的增长率为0.2保持不变，第二年的数量是第一年的1.2倍，则第三年该种群数量Nt＝N0(1.2)2＝1.44N0。
3．下图所示为自然环境中的生物种群数量变化曲线，下列有关叙述错误的是( )
A．d处波动可能是因为出生率和死亡率变动所致
B．“涸泽而渔”会使鱼的数量下降至b处以下，使生态系统发展停滞甚至崩溃
C．灭鼠时如果仅杀死一半的老鼠，可能会适得其反
D．c处种群个体数量不再上升的原因与环境容纳量无关
答案 D
解析 A项中，d处波动可能是出生率和死亡率变动造成的；B项中，“涸泽而渔”使鱼的种群数量过少，小于K/2，增长速率低，使生态系统发展停滞甚至崩溃；C项中，灭鼠时杀死一半的老鼠，即剩余K/2，鼠群增长速率最高，很快能恢复到原状；D项中， 环境容纳量限制了c处种群个体数量的上升。
4．下列关于种群数量变化的叙述中，不正确的是( )
A．1990年紫茎泽兰侵入我国四川凉山地区后，泛滥成灾，其增长曲线近似于“J”型
B．对农作物合理密植时，其数量不应大于K值
C．一个呈“S”型增长的种群，数量在左右时增长速率最大
D．一个物种引入新的地区后，一定呈“J”型增长
答案 D
解析 紫茎泽兰侵入后，能泛滥成灾，说明环境条件适宜，所以开始一段时间其种群近似于“J”型增长，A正确；K值是环境容纳量，所以合理密植时，其数量不应超过此量，B正确；一个呈“S”型增长的种群，种群增长速率先增加后减少为0，在时种群增长速率最大，C正确；在种群增长有限制的情况下，不可能呈“J”型增长，D错误。
5．下列有关种群特征和种群数量变化的叙述，正确的是( )
A．组成种群个体的空间分布不属于种群特征
B．样方法可用于估算某些动物的种群密度
C．当种群数量达到K/2时种群的出生率最大
D．迁入大量同种个体会使该种群的K值增大
12
答案 B
解析 组成种群个体的空间分布属于种群特征，A错误；对于不活动或活动能力弱，活动范围小的动物，用样方法估算动物的种群密度，B正确；当种群数量达到K/2时种群的增长速率最大，C错误；K值是环境允许种群生存的最大容量，迁入大量同种个体不会使该种群的K值增大，D错误。
知识点一 种群增长模型的比较和应用
1．数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式，建立数学模型一般包括以下步骤：
①根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达
②观察研究对象，提出问题
③通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正
④提出合理的假设
下列排列顺序正确的是( )
A．①②③④ B．②④①③
C．④①②③ D．③①②④
答案 B
解析 建构数学模型的一般步骤是：②观察研究对象，提出问题→④提出合理的假设→①根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达→③通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正。
2．关于自然界中生物种群增长的“S”型曲线的说法，正确的是( )
A．种群增长不受种群密度的制约
B．“S”型曲线表示种群数量与食物的关系
C．达到K值后，种群数量保持不变
D．“S”型曲线表示种群数量与时间的关系
答案 D
解析 种群增长受种群密度的制约，不会无限增长，A错误； “S”型曲线表示种群数量与时间的关系，B错误、D正确；达到K值后时，种群增长速率为0，种群数量保持相对稳定，而不是不变，C错误。
3．不适当引入外来物种可能会使该物种大量繁殖，造成严重危害，下面哪种情况可能和外来物种的大量繁殖无关( )
A．缺乏天敌
B．食物丰富
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C．气候适宜
D．对本地物种一定没有影响
答案 D
解析 外来物种的大量繁殖呈现“J”型增长，“J”型增长出现的原因是气候适宜、食物丰富和缺乏天敌等。外来物种一般具有生存优势，往往会造成某些本土物种的消失，从而降低生物多样性。
4．在自然界中，大多数种群总是处在波动中的原因是( )
A．人类的干扰 B．食物的不足
C．多种因素的影响 D．环境条件是无限的
答案 C
解析 在自然界中，大多数种群总是处在波动中，原因是种群数量受到多种外源性因素和内源性因素的影响。
5. 20世纪30年代，人们将环颈雉引入一个美国的岛屿，在1937～1942年期间，这个种群数量增长的情况如下表所示，下列相关叙述正确的是( )
年份/年
1937
1938
1939
1940
1941
1942
种群数量/个
25
46
208
440
770
1380
A.该种群的环境容纳量(K值)为1 380个
B．随着种群数量的增加，该种群种内斗争逐渐减弱
C．在1937～1942年期间，该种群数量增长大致呈“S”型
D．该种群数量增长的主要原因之一是食物和空间条件充裕
答案 D
解析 环境容纳量是指在环境条件不受破坏的情况下，一定空间中所能维持的种群的最大数量，题中所给的数据不充足，无法判断K值，A错误；岛上的食物和空间有限，随着种群数量的增加，该种群种内斗争逐渐增强，B错误；在1937～1942年期间，该种群数量增长大致呈“J”型，C错误；该种群数量增长的主要原因之一是食物和空间条件充裕，D正确。
6．如图表示某物种迁入新环境后，种群增长速率随时间的变化关系，下列有关叙述，不正确的是( )
A．第10年后，该种群的数量开始下降
B．经调查该种群在第10年时为n，估算该种群在此环境中的环境容纳量约为2n
C．该种群在20年内呈“S”型增长
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D．经调查该种群在第20年时的出生率为m，估算种群在此环境中的死亡率为m
答案 A
解析 分析曲线可知，第10年，种群增长速率最大，此时种群数量是环境容纳量的一半，第10年后，种群数量仍然增长，所以A错误；若该种群在第10年时为n，该种群在此环境中环境容纳量为2n，所以B正确；分析曲线可知，该曲线是“S”型曲线的种群增长速率随时间的变化关系，所以C正确；由前面分析知，该种群在20年内呈“S”型增长，第20年时达到相对稳定的最大值，此时出生率与死亡率相等，因此该种群在第20年时的出生率为m，估算种群在此环境中的死亡率为m，所以D正确。
7. 下列有关种群数量变化的叙述中，正确的是( )
A．增长型种群的种群数量在近期内一定能不断增加
B．在环境条件没有剧烈变化时，种群数量增长趋势一般呈现“S”型
C．农业生产中利用性引诱剂可以直接明显降低种群数量
D．种群数量与该种群个体大小有关，而与种群所处的环境条件无关
答案 B
解析 增长型属于年龄组成，能预测种群数量的变化，但还与环境条件的变化有关，因此在一段时间内不一定增长，A错误；种群数量与环境容纳量有关，而资源和空间是有限的，因此种群数量增长一般呈现“S”型曲线，B正确；性引诱剂能吸引同种的异性个体前来交尾，人工施放性引诱剂则引诱来大量的雄性害虫，通过性引诱剂的干扰，使其不能与雌性害虫完成正常的交尾，从而降低昆虫的出生率，使得种群密度降低，C错误；种群数量与该种群个体大小有关，与种群所处的环境条件也有关，D错误。
知识点二 探究“培养液中酵母菌种群数量的变化”
8．将酵母菌培养在由硝酸铵、硫酸镁、氯化钙、磷酸二氢钾、必需的微量元素和水配成的营养液中，图中能表示在一段时间内酵母菌数量变化的曲线是( )
A．a B．b C．c D．d
答案 D
解析 根据题干的信息：“硝酸铵、硫酸镁、氯化钙、磷酸二氢钾、必需的微量元素和水配成的营养液中”这个营养液中，没有有机成分(如葡萄糖)，而酵母菌的能源物质就是含碳的有机物，即在此培养基中，酵母菌没有能量来源，不能正常生存，因此一段时间后，酵母菌的数量变化是越来越少。
12
9．对于酵母菌种群数量变化的叙述，错误的是( )
A．在不利条件下，酵母菌种群数量会急剧下降甚至消亡
B．酵母菌种群数量的变化包括增长、波动、稳定、下降等
C．在自然界中，酵母菌种群的增长不存在“J”型曲线
D．酵母菌种群数量的变化受外界环境因素的影响，包括生物因素和非生物因素
答案 C
解析 在不利条件下，酵母菌种群数量会急剧下降甚至消亡，A正确；酵母菌种群数量的变化包括增长、波动、稳定、下降等，B正确；在一个新物种引入新地区后，开始一段时间可能呈“J”型增长，C错误；酵母菌种群数量的变化受外界环境因素的影响，包括生物因素和非生物因素，D正确。
10．对于酵母菌种群数量变化的叙述，错误的是( )
A．实验过程中酵母菌种群的年龄组成有变化
B．种群数量在不同时间的增长速率可能相同
C．本实验中不存在对照
D．每次取样前应将培养瓶振荡摇匀
答案 C
解析 在C点之前种群年龄组成是增长型，CD段为稳定型，DE段为衰退型，A正确；种群增长速率最大在K/2时，所以K/2两侧可能有增长速率相同的时刻，B正确；本实验前后之间形成自身对照，C错误；每次取样前应将培养瓶振荡摇匀，使酵母菌充分混匀，D正确。
综合训练
11. 某人承包了一个鱼塘，放养了2 000尾鲫鱼，在最初4个月内，由于资源和空间充足，每个月鱼的数量是上一个月的2倍。为了研究鲫鱼的生长发育及繁殖情况，他设计了如下建立数学模型的步骤：
鱼的情况
研究方法
鱼的数量每个月是上一个月的2倍
①
4个月内池塘的资源和空间充足，鱼的增长不受鱼的密度增加的影响
②
③
根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达
12
观察统计鱼的数量，对自己所建立的模型进行检验或修正
通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正
请对该步骤进行补充，即写出上表中①②③处的内容：
①________________________________________________________________________；
②________________________________________________________________________；
③________________________________________________________________________。
答案 ①观察研究对象，提出问题 ②提出合理的假设
③Nt＝N0λt(其中，Nt代表t个月后鱼的数量，t表示时间，λ表示倍数，N0表示最初的鱼的数量)
解析 数学模型的构建步骤是：观察现象，提出问题→提出合理假设→用适当的数学形式进行表达→通过进一步的实验或观察等，对模型进行检验或修正。
12．下图为种群在不同环境条件下的增长曲线，据图回答下列问题：
(1)A曲线呈“J”型，表示种群在________________时的增长。
(2)B曲线呈“S”型，表示种群在________________时的增长，阴影部分表示________________________________________________________________________。
(3)若“S”型曲线表示某个鼠群迁入一个新的生态系统后的增长曲线，那么，K点以后曲线保持不变的原因是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
(4)根据种群变动的曲线，解释投药灭鼠在短期内能控制鼠害，但很快又会鼠灾泛滥的原因是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
对此，应采取哪些有效措施？ __________________________________________________
________________________________________________________________________。
答案 (1)无环境阻力 (2)有环境阻力 生存斗争中被淘汰的个体数量 (3)由于空间资源有限，天敌增加等因素的限制，种群的出生率等于死亡率，数量趋于稳定 (4)①老鼠种群的抗药性增强；②毒杀一部分个体，剩余的个体数目在环境容纳量以下很快会恢复到原来数量 原则上是降低环境负载能力，无污染，具可行性。如：①严密封储粮食；②清除生活垃圾；③生物防治，保护老鼠天敌等(其他方法符合以上原则即可)
12
13．下图表示种群在不同环境中的增长曲线，据图回答下列问题：
(1)图中曲线表示种内斗争最激烈的是________段，t3后种群数量不能无限增长的原因是____________________，同一种群的K值是固定不变的吗？请判断并说明：__________
______________________________________________________________。
(2)若此图表示池塘中某鱼类种群的增长曲线，希望长期获得较高的鱼产量，每次捕捞后该种鱼的数量需保持在________点左右，原因是____________________________________
________________________________________________________________________。
(3)若此图表示某地老鼠种群数量变化，如果灭鼠时只采用杀死的办法，采取措施后老鼠的数量会很快恢复到原有的数量。请你依图提出更有效的控制鼠害的方案：
________________________________________________________________________。
(4)现将酵母菌菌种培养在盛有无菌马铃薯培养液的固定容器中，若探究培养液中酶母菌种群数量的变化，利用血细胞计数板(2 mm×2 mm)、滴管、显微镜等器具，测定容器中酵母菌数量的方案是_____________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
答案 (1)CD 受到食物、空间等因素的限制 不是。因为受到环境(食物、天敌、气候等)因素的影响
(2)B 既能捕获一定数量的个体，又能使鱼类种群数量尽快的增长和恢复 (3)增加老鼠生存环境阻力(可从食物来源、生活场所、天敌等方面考虑)，使其环境容纳量降低 (4)用滴管吸取培养液，滴在盖玻片边缘，让培养液自行渗入；放在显微镜下分别计数几个小方格内的酵母菌的数量并算出一个小方格内的平均值；以此为依据，估算容器中的酵母菌总数
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