课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(1)【教学简案】
课时：06
课型：新授课
教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．
（1）点到平面的距离：
1．（一般）传统方法：
利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，
再计算这个垂线段的长度；
2．还可以用等积法求距离；
3．向量法求点到平面的距离.
在中，
又
（其中为斜向量，为法向量）
例１：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．
解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴ ，，
，，
- 4 -
．
设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，
∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由平面EFG，得，，于是
，．
∴
整理得：，解得．
∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．
∴
故点B到平面EFG的距离为．
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例2：
如图，在正方体中，棱长为1，为的中点，求下列问题：
（1） 求到面的距离；
解：如图，建立空间直角坐标系，则
，设为面的法向量
- 4 -
则
取，得，
选点到面的斜向量为
得点到面的距离为
课后练习：
B1
A1
B
C1
A
C
1．如图在直三棱柱中，, ，，求点到面的距离.
2.在三棱锥中， 是边长为4的正三角形，平面平面，黄肌瘦，、分别为、的中点,求点到平面的距离.
- 4 -
S
A
B
C
N
M
O
教学反思:
- 4 -
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