课题:向量计算空间角（1）
课时：08
课型：新授课
教学内容及过程
（一）知识梳理：
1.巩固复习，由学生填写，教师课件演示
1.求两条异面直线所成的角
设,分别是两条异面直线,的方向向量,则
,所成的角
与夹角
范围
求法
2.求直线与平面所成的角
设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,则
3.求二面角的大小
(1)若,分别是二面角两个半平面内与棱垂直的异面直线,则二面角的大小就是_________________的夹角
(2)设,分别是二面角两个面,的法向量,则向量与的夹角(或其补角)的大小就是____________的大小
（二.）基础自测
让学生独立完成，检验所学知识，教师进行点评
1．在正方体中,是的中点,则异面直线与所成的角余弦值为( )
. . . .
2.在三棱锥中, 平面,,分别是棱的中点
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, .则直线与平面所成的角正弦值为( )
A． B. C. D.
3. 二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,则该二面角的大小为( )
. . . .
4.已知空间四边形的各边和对角线的长都等于,点分别是直线 的中点,则异面直线与所成的角余弦值为___________
（三）、规律方法总结：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）用空间向量解决立体几三步曲：
1. 化为向量问题或向量的坐标问题
2. 进行向量运算
3 .回到图形
（2）两种思维方法：
用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思维：
（1）一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建系；
（2）另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建系．
（四）、典例分析（教师讲解，师生共同完成）
例1. 如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；
（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，
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Q
P
D
C
B
A
使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，
求二面角Q-PD-A的大小．
解析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．
∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）．
（2）设点Q（1，x，0），则
．
显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．
因a>0，故a的取值范围为a≥0．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三点共线，
∴．
又，且，
故．
于是．
故．
∵，
∴．
∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
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∵，
∴所求二面角为．
方法小结：二面角的计算可以二面角的定义和采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解。最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角。
例2. 如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
A
E
D
C
B
A1
F
D1
C1
B1
（1）求二面角C-DE-C1的正切值；
（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值．
解析：（1）如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．
于是，，
．
设向量与平面C1DE垂直，则有
．
∴其中z＞0．
取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．
∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，
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∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．
∵，
∴．
（2）设EC1与FD1所成角为b，则
．
方法小结：空间向量在解决异面直线所成角的计算时，通常要先建立空间直角坐标系，然后利用计算出两个向量的坐标在带入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是 ，而异面直线所成角的范围确是 ，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值。
小结: 体会向量方法在研究立体几何问题的作用，体会数学转化的思想。
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