专题二 解答题对点练
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解：(1)∵bsin A＝acos B，
∴sin Bsin A＝sin Acos B，tan B＝，
又B为△ABC的内角，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sinA，∴c＝2a ，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋4a2－2a·2acos ，解得a＝，
∴c＝2a＝2.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos B ＝，△ABC的周长为5，求b.
解：(1)由正弦定理，得＝，
即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，
所以sin C＝2sin A，因此＝2.
(2)由＝2得c＝2a.
由余弦定理及cos B＝得
b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
3．已知m＝(sin(2π－x)，cos x)，n＝sin，cos(π＋x)，f(x)＝m·n.
(1)求y＝f(x)的单调递增区间和对称中心；
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(2)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若有f(B)＝，b＝7，sin A＋sin C＝，求△ABC的面积．
解：(1)f(x)＝m·n＝sin(2π－x)·sin＋cos xcos(π＋x)
＝sin xcos x－cos2 x
＝sin 2x－cos 2x－
＝sin－.
因为函数y＝f(x)单调递增，所以2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得y＝f(x)的单调递增区间是kπ－，kπ＋，k∈Z，对称中心是，k∈Z.
(2)由f(B)＝得f(B)＝sin－＝，
所以sin＝1，
所以2B－＝，所以B＝.
由正弦定理得sin A＋sin C＝sin B，
即＝×，所以a＋c＝13.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
即49＝169－3ac，所以ac＝40，
所以S△ABC＝acsin B＝×40×＝10.
4．在锐角△ABC中，＝.
(1)求角A；
(2)若a＝，当sin B＋cos取得最大值时，求B和b.
解：(1)由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，
依题设得＝＝＝，
因为△ABC为锐角三角形，所以cos B>0，
所以sin 2A＝1，
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又0b>0)的离心率为，过椭圆C的右焦点H作两条互相垂直的弦EF与MN.当直线EF的斜率为0时，|EF|＋|MN|＝7.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求|EF|＋|MN|的取值范围．
解：(1)由题意知e＝＝，
即a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
当kEF＝0时，有|EF|＋|MN|＝2a＋＝4c＋3c＝7，
所以c＝1，a＝2，b＝，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，此时由题意知|EF|＋|MN|＝7；
②当两弦斜率均存在且不为0时，设E(x1，y1)，F(x2，
y2)，且设直线EF的方程为y＝k(x－1)，则直线MN的方程为y＝－(x－1)，
将直线EF的方程代入椭圆方程中，整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
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所以x1＝，x2＝，
所以|EF|＝|x1－x2|＝，
同理|MN|＝＝，
所以|EF|＋|MN|＝＋＝
＝＝＝
7－＝7－≥7－＝，又>0，
所以≤|EF|＋|MN|0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－1.
当01，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝1.
所以应满足g(x)max≤1，
因为g(x)＝x2eax，所以g′(x)＝(ax2＋2x)eax.
(ⅰ)当a＝0时，函数g(x)＝x2，∀x∈[0,2]，g(x)max＝g(2)＝4，
显然不满足g(x)max≤1，故a＝0不成立．
(ⅱ)当a≠0时，令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－.
①当－≥2，即－1≤a，得证．
(3)由(2)知，0)，令a＝n＋1，b＝n，n∈N*，则0，φ为参数)，得解得
所以曲线C1的普通方程为＋＝1，
设圆C2的半径为R，则圆C2的极坐标方程为ρ＝2Rcos θ，将点D代入，得＝2R·，解得R＝1，所以圆C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)曲线C1的极坐标方程为＋＝1，
将点A(ρ1，θ)，B代入，得＋＝1，＋＝1，所以＋＝＋＝.
1．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
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(1)若不等式f(x)≤6的解集为，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数t，使f≤m－f(－t)成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.
(2)∵f≤m－f(－t)，∴|t－1|＋|2t＋1|＋2≤m，
令y＝|t－1|＋|2t＋1|＋2，则y＝
分别求三段函数的最小值，可得ymin＝，∴m≥.
故实数m的取值范围为.
2．已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋3|，a∈R.
(1)当a＝－1时，解不等式f(x)≤1;
(2)若当x∈[0,3]时，f(x)≤4，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，不等式化为|x＋1|－|x＋3|≤1.
当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式无解；
当－32的解集为，
∴f(x)≤2的解集为，
∴实数x的取值范围为.
5．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2a2－x2＋2x在R上恒成立，
∴a2
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