2017高考数学复习坐标系与参数方程教案(理新人教A版选修4-4)
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资料简介
‎【创新方案】(新课标)2017届高考数学总复习 坐标系与参数方程教案 理 新人教A版选修4-4‎ 第一节 坐 标 系 考纲要求:1.理解坐标系的作用,了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.‎ ‎3.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程,通过比较这些图形在极坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.‎ ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系 ‎(1)极坐标系的概念 ‎①极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,点O叫做极点,自极点O引一条射线Ox,Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.‎ ‎②极坐标 一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.‎ ‎③点与极坐标的关系 一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点,特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R),和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.‎ 18‎ 如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ) 表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为: ‎3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rcos θ-≤θ≤ 圆心为,半径为r的圆 ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)‎ 过极点,倾斜角为α的直线 ‎(1)θ=α(ρ∈R) 或θ=π+α(ρ∈R);(2)θ=α和 θ=π+α 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos θ=a-<θ< 过点,与极轴平行的直线 ρsin_θ=a(0<θ<π)‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.(  )‎ ‎(2)在伸缩变换下,椭圆可变为圆,圆可变为椭圆.(  )‎ ‎(3)过极点,倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或 θ=π+α.(  )‎ ‎(4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为________.‎ 解析:由知 代入y=sin x中得y′=3sin 2x′.‎ 18‎ 答案:y′=3sin 2x′‎ ‎3.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为________.‎ 解析:因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.‎ 答案: ‎4.曲线ρ=4sin θ与ρ=2的交点坐标是________________.‎ 解析:由 ‎∴sin θ=,∴θ=或.‎ 答案:或 ‎5.在极坐标系中,圆心在(,π)且过极点的圆的方程为________.‎ 解析:如图,O为极点,OB为直径,A(ρ,θ),则∠ABO=θ-,‎ OB=2=,‎ 化简得ρ=-2cos θ.‎ 答案:ρ=-2cos θ ‎6.在极坐标系中,曲线C1:ρ=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=________.‎ 解析:曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=a2,曲线C1与x轴的交点坐标为,此点也在曲线C2上,代入解得a=.‎ 答案: ‎ [典题1] (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:求点A经过φ变换所得的点A′的坐标.‎ ‎(2)求直线l:y=6x经过φ:变换后所得到的直线l′的方程.‎ 18‎ ‎[听前试做] (1)设A′(x′,y′),由伸缩变换φ:得到由于点A的坐标为,‎ 于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1,‎ ‎∴A′(1,-1)为所求.‎ ‎(2)设直线l′上任意一点P′(x′,y′),‎ 由上述可知,将代入y=6x得 ‎2y′=6×,∴y′=x′,即y=x为所求.‎ 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.‎ 求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.‎ 解:设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),由上述可知,将代入x2-=1得-=1,化简得-=1,即-=1为曲线C′的方程,可见仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).‎ ‎ [典题2] (1)(2015·广东高考改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,求点A到直线l的距离.‎ ‎(2)(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.‎ ‎[听前试做] (1)由2ρsin=,‎ 得2ρ=,∴y-x=1.‎ 由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2,-2),∴d==.‎ ‎(2)以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.‎ 18‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2+2ρ-4=0,‎ 化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,‎ 即(x-1)2+(y+1)2=6,‎ 所以圆C的半径为.‎ 极坐标方程与普通方程互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.‎ ‎(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.‎ ‎1.(1)把点M的极坐标化成直角坐标;‎ ‎(2)把点M的直角坐标(-,-1)化成极坐标.‎ 解:(1)∵x=-5cos=-,y=-5sin=-,‎ ‎∴点M的直角坐标是.‎ ‎(2)ρ===2,‎ tan θ==.‎ ‎∵点M在第三象限,ρ>0,‎ ‎∴最小正角θ=.‎ 因此,点M的极坐标是.‎ ‎2.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.‎ ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.‎ 解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.‎ 18‎ ‎(1)ρ=4cos θ,两边同乘以ρ,得ρ2=4ρcos θ;ρ=-4sin θ,两边同乘以ρ,得ρ2=-4ρsin θ.‎ 由ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,‎ 得⊙O1,⊙O2的直角坐标方程分别为x2+y2-4x=0和x2+y2+4y=0.‎ ‎(2) ‎①-②得-4x-4y=0,即x+y=0为所求直线方程.‎ ‎[典题3] (2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程; ‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ ‎[听前试做] (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,‎ C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.‎ ‎(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.‎ 故ρ1-ρ2=,即|MN|=.‎ 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.‎ 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.‎ ‎1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:‎ ρsin=.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.‎ 解:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,‎ 圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,‎ 即x2+y2-x-y=0,‎ 18‎ 直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,‎ 则直线l的直角坐标方程为:y-x=1,即x-y+1=0.‎ ‎(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2.在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C1和C2的交点的直角坐标.‎ 解:由ρsin2θ=cos θ⇒ρ2sin2θ=ρcos θ⇒y2=x,‎ 又由ρsin θ=1⇒y=1,联立⇒ 故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1).‎ ‎—————————————[课堂归纳——感悟提升]——————————————‎ ‎[方法技巧]‎ 求曲线的极坐标方程的步骤:‎ ‎(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出.同直角坐标方程一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.‎ ‎2.把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.‎ ‎1.在极坐标系中,求直线ρ(cos θ-sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.‎ 解:ρ(cos θ-sin θ)=2化为直角坐标方程为x-y=2,即y=x-2.‎ ρ=4sin θ可化为x2+y2=4y,‎ 把y=x-2代入x2+y2=4y,‎ 得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,‎ 所以x=,y=1.‎ 18‎ 所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极坐标为.‎ ‎2.在极坐标系中,求曲线ρ=4cos上任意两点间的距离的最大值.‎ 解:由ρ=4cos可得ρ2=4ρ=2ρcos θ+2ρsin θ,即得x2+y2=2x+2y,配方可得(x-1)2+(y-)2=4,该圆的半径为2,则圆上任意两点间距离的最大值为4.‎ ‎3.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.‎ 解:在ρsin=-中令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).‎ 因为圆C经过点P,‎ 所以圆C的半径PC= =1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎4.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ 解:(1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4;‎ 因为ρ2-2ρcos=2,‎ 所以ρ2-2ρ=2,‎ 所以x2+y2-2x-2y-2=0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,‎ 即ρsin=.‎ ‎5.(2016·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.‎ ‎(1)求出以C为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形;‎ ‎(2)在直角坐标系中,以圆C所在极坐标系的极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点,Q(5,-),M是线段PQ的中点,当点P在圆C 18‎ 上运动时,求点M的轨迹的普通方程.‎ 解:(1)如图,设圆C上任意一点A(ρ,θ),则∠AOC=θ-或-θ.‎ 由余弦定理得,4+ρ2-4ρcosθ-=4,‎ ‎∴圆C的极坐标方程为 ρ=4cos.‎ 作图如图所示.‎ ‎(2)在直角坐标系中,点C的坐标为(1,),可设圆C上任意一点P(1+2cos α,+2sin α),‎ 又令M(x,y),由Q(5,-),M是线段PQ的中点,‎ 得点M的轨迹的参数方程为(α为参数),即(α为参数),‎ ‎∴点M的轨迹的普通方程为(x-3)2+y2=1.‎ ‎6.已知直线l:ρsin=4和圆C:ρ=2kcos(k≠0),若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标.‎ 解:∵ρ=kcos θ-ksin θ,‎ ‎∴ρ2=kρcos θ-kρsin θ,‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-kx+ky=0,‎ 即2+2=k2,‎ ‎∴圆心的直角坐标为.‎ ‎∵ρsin θ·-ρcos θ·=4,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,‎ ‎∴-|k|=2.‎ 即|k+4|=2+|k|,‎ 两边平方,得|k|=2k+3,‎ 18‎ ‎∴或 解得k=-1,故圆心C的直角坐标为.‎ 第二节 参 数 方 程 考纲要求:1.了解参数方程,了解参数的意义.‎ ‎2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.‎ ‎1.参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数:并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.‎ ‎2.直线、圆、椭圆的参数方程 ‎(1)过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数).‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)参数方程(t≥1)表示的曲线为直线.(  )‎ ‎(2)参数方程当m为参数时表示直线,当θ为参数时表示的曲线为圆.(  )‎ ‎(3)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(  )‎ ‎(4)参数方程表示的曲线为椭圆.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.参数方程(t为参数)化为普通方程为________.‎ 解析:∵x=,‎ y== ‎=4-3×=4-3x.‎ 又x== 18‎ ‎=2-∈[0,2),‎ ‎∴x∈[0,2),‎ ‎∴所求的普通方程为3x+y-4=0(x∈[0,2)).‎ 答案:3x+y-4=0(x∈[0,2))‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为________.‎ 解析:由C1得x2+y2=5,且 ①‎ 由C2得x=1+y, ②‎ ‎∴由①②联立解得或(舍)‎ 答案:(2,1)‎ ‎4.直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切,则切线的倾斜角为________.‎ 解析:直线的普通方程为bx-ay-4b=0,圆的普通方程为(x-2)2+y2=3,因为直线与圆相切,则圆心(2,0)到直线的距离为,从而有 =,即‎3a2+3b2=4b2,所以b=±a,而直线的倾斜角α的正切值tan α=,所以tan α=±,因此切线的倾斜角为或.‎ 答案:或 ‎[典题1] 将下列参数方程化为普通方程.‎ ‎(1)(t为参数);‎ ‎(2)(θ为参数).‎ ‎[听前试做] (1)∵2+2=1,‎ ‎∴x2+y2=1.‎ ‎∵t2-1≥0,∴t≥1或t≤-1.‎ 又x=,∴x≠0.‎ 当t≥1时,0

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